秋季人教七年级数学上册《一元一次方程与解决问题》提升练习题.docx
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秋季人教七年级数学上册《一元一次方程与解决问题》提升练习题
人教七年级数学上册提升练习题
《一元一次方程与实际问题》
1．配套问题
（1）一般情况下，配套问题总有两种事物，一般不是1个配1个，而是1配多，或按比列配置．比如螺钉、螺母，且一个螺钉配两个螺母；桌面、桌腿，一个桌面配四条桌腿，等．
（2）常用等量关系：
个数相等．不管是2个配1个，还是4个配1个，通过乘以扩大倍数，得到两种事物个数相等从而列出方程．这是配套问题中的等量关系，也是列方程的方法．
析规律配套问题 一般是用式子表示出各自的个数，再通过乘以倍数扩大数目少的或列比例式列出方程．
1.某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件120个，若甲、乙两种零件分别取3个、2个配成一套，那么要在30天内生产最多的成套产品，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
分析：
可设安排生产甲种零件x天，那么（30－x）天生产乙种零件，x天生产甲种零件180x个，（30－x）天生产乙种零件120（30－x）个，根据比例关系可知甲∶乙＝3∶2，或甲×2＝乙×3，列出方程求解．
解：
若安排生产甲种零件x天，那么生产乙种零件（30－x）天，根据题意，得180x∶120（30－x）＝3∶2（或列式子：
2×180x＝3×120（30－x））．
化简，得360x＝360（30－x），解得x＝15，30－x＝15.
答：
安排生产甲、乙两种零件各15天，能生产最多的成套产品．
2．工程问题
（1）基本关系量：
主要有三个量：
工作量、工作效率、工作时间．在工程问题中，通常把全部工作量表示为1，如果甲单独完成一项工作需要n小时，那么平均每小时完成的工作量就是
.其中
即是1小时的工作量，也是甲的工作效率（工作效率：
单位时间完成的工作量）．
（2）基本关系式子：
①工作量＝工作效率×工作时间；②工作量＝人均效率×人数×工作时间．
（3）常用等量关系：
①各阶段完成的工作量之和＝完成的工作总量；
②各人完成的工作量之和＝完成的工作总量．
解题技巧工程问题的解法 ①在同一工程问题中，一般都有两个或两个以上的工作效率，相对应的就有两个或两个以上的工作时间，但不论何种情况，应注意：
必须是相对应的工作效率乘以工作时间才是工作量．②先干、后干或是甲干、乙干，只有全部完成，才等于1，只是完成部分，工作量就不是1，工作量要由具体情况得出．
【例2－1】一件工作，甲单独做20小时可以完成，乙单独做12小时可以完成．现在先由甲先做4小时，余下的工作由二人合作完成．问余下的部分二人几小时可以完成？
分析：
把总工作量看作“1”，由题意可知，甲的工作效率是
，乙的工作效率是
.若设余下的部分二人合作需要x小时完成，则根据“甲先做4小时的工作量＋甲、乙二人合作的工作量＝总工作量1”列方程解出．
解：
设余下的部分二人合作需要x小时完成，则
＋
＋
＝1，解得x＝6.
答：
余下的部分甲、乙二人用6小时可以完成．
【例2－2】某中学的学生自己动手整修操场，如果让初一学生单独工作，需要7.5小时完成；如果让初二学生单独工作，需要5小时完成．如果让初一、初二学生一起工作1小时，再由初二学生单独完成剩余部分，共需多少时间完成？
分析：
初一学生的工作总量＋初二学生的工作总量＝全部工作量．
解：
设还需要x小时完成，得
＋
＋
＝1，解得x＝
，
所以共需要：
1＋
＝
（小时）．
答：
共需
小时完成．
3．营销问题
营销问题是应用题中最重要的一部分，也是在中考中出现最多的题，这类问题术语较多、数量关系较复杂，使得题目变化较多，题目难易程度不一，并与我们的生活联系最密切．
（1）关键词：
成本价（进价），标价，零售价；利润，利润率；折扣数（打x折），盈利、亏损、让利、买入（价）、卖出（价）等．
（2）常用等量关系
①售价、进价、利润、利润率的关系式：
商品利润＝商品售价－商品进价．
商品利润＝商品进价×利润率．
②标价、折扣数、商品售价关系：
商品售价＝标价×
.
③商品售价、进价、利润率的关系：
商品售价＝进价×（1＋利润率）．
（3）列方程常用等量关系
①同一个量的不同表示结果相等．最常用的就是售价－进价＝进价×利润率．
②根据上面的公式设未知数列方程．
谈重点营销问题 运用方程解决有关市场营销问题的关键：
一是抓住其中的两个基本等量关系：
利润＝售价－进价，利润＝进价×利润率，再就是弄清成本价（有时是进价）、售价、零售价、标价、打几折、打折后的实际售价、利润、实际利润、实际利润率等的关系，只有理清它们之间的关系，才能寻找正确的等量关系，列出方程．
【例3】某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打9折（即原价的90%），并再让利40元销售，仍可获利10%，求该商品的进价．
分析：
实际售价是900×90%，实际利润是在原利润的基础上让利40元，设进价为每件x元，根据实际获得的利润（不同的表示法）相等列方程求解．
解：
设该商品的进价为每件x元，依题意，
得900×0.9－40＝10%x＋x.
解得x＝700.
所以此商品的进价是700元．
4．销售中的盈亏
（1）意义：
学会通过计算进行比较判断的理性决策方式，认识盈亏需要通过计算，用数据说明问题．
（2）根据营销问题中的计算公式、法则分别进行计算，综合比较判断是盈是亏，方案是优是劣，以及怎样才能获得更大利润效益．
【例4】新华书店一天内大批量销售了两种书籍，甲种书籍共卖得1560元；为了发展农业科技，乙种书籍送书下乡共卖得1350元，若按甲、乙两种书籍的成本分别计算，甲种书籍可盈利25%，乙种书籍亏本10%，试问该书店这一天两种书籍共盈利（或亏本）多少元？
分析：
分别计算出两种书籍的进价支出，与售价收入对比求出．
解：
设甲种书籍的成本为x元，乙种书籍的成本为y元，
则甲种书籍：
（1＋25%）x＝1560，
解得x＝1248.
乙种书籍：
（1－10%）y＝1350.
解得y＝1500.
所以盈利：
（1560＋1350）－（1248＋1500）
＝162（元）．
答：
该书店这一天售出两种书籍共盈利162元．
5.球赛积分表问题
积分办法：
篮球：
胜一场积2分，负一场积1分，没有平局情况；足球：
胜一场积3分，平一场各积1分，输一场积0分．
【例5】下表是某赛季国内篮球甲A联赛常规赛的最终积分榜：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
八一双鹿
22
18
4
40
上海东方
22
18
4
40
北京首钢
22
14
8
36
吉林恒和
22
14
8
36
辽宁盼盼
22
12
10
34
广东宏远
22
12
10
34
前卫奥神
22
11
11
33
江苏南钢
22
10
12
32
山东润洁
22
10
12
32
浙江万马
22
7
15
29
双星济军
22
6
16
28
沈部雄师
22
0
22
22
（1）列式表示总积分与胜、负场数之间的数量关系．
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
分析：
（1）从表格中最后一行看：
负22场，积22分，可知负一场积1分．所以若设胜一场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出胜一场的积分．
（2）根据胜负积分及胜负场次列方程计算，观察结果，得出结论．
解：
（1）设胜一场积x分，从第一行得出方程：
18x＋1×4＝40，解得x＝2.
所以胜一场积2分．
如果用M表示胜场，则负（22－M）场，胜场积分为2M分，负场积分为（22－M）分，总积分W，那么W＝2M＋（22－M）＝（M＋22）分．
（2）设一个队胜了x场，则负了（22－x）场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则有方程2x＝（22－x）．
解得x＝
.
因为x＝
虽是方程的解，但场数只能是正整数，所以任何一队都不可能有胜场总积分等于负场总积分的情况．
6．图表信息题的应用
图表信息题，就是根据实际问题中所呈现出来的图象、图表信息，要求依据这些给出的信息通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题．主要考查同学们识图看表的能力以及处理信息的能力．解答这类试题的关键是对图表信息认真分析、合理利用，按照题意要求，准确地输出信息，结合所学知识，运用数学的手段加以解决．
解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【例6】长风乐园的门票价格规定如下表所列．某校七年级
（1）、
（2）两个班级共104人去游长风乐园，其中
（1）班人数较少，不到50人，
（2）班人数较多，有50多人．经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节省不少钱．问两班各有多少学生？
购票人数
1～50人
51～100人
100人以上
每人门票价
13元
11元
9元
分析：
若设
（1）班有x人，那么
（2）班有（104－x）人，根据
（1）班购票款＋
（2）班购票款＝总支付款1240元．列方程求出
（1）班人数，再求
（2）班人数．
解：
设
（1）班有x人，那么
（2）班有（104－x）人，根据题意，得13x＋11（104－x）＝1240.解得x＝48，
所以，
（2）班人数是104－x＝104－48＝56（人）．
答：
（1）班、
（2）班分别有48人，56人．
7.银行利率问题解法
银行利率问题是应用题一种常见题目，也是居民生活和企业经营中经常遇到的问题．是与生活息息相关实用性较强的数学问题．
（1）相关量名称：
存款利率、贷款利率、年利率、月利率、利息、本金、本息和．
（2）主要等量关系式：
利息＝本金×年利率×年数．
利息＝本金×月利率×月数（或×12个月×年）．
本息和＝本金＋利息．
（3）应用特点：
①一般都是根据所给数据直接计算，以算式直接进行运算的方式较多，如计算所得利息，本息和，应交贷款利息等．
②随着人们投资理财意识的增强，通过计算选择最优方案问题最常见，且实用性较强．
破疑点银行利率 银行利率问题是比较简单的问题，变化不大，很多时候就是用公式代入计算，只是很多学生不理解专业术语，这与接触、认识较少有关．
【例7－1】某企业存入银行甲、乙两种不同性质用途的存款共20万元，甲种存款的年利率为5.4%，乙种存款的年利率为8.28%，该企业一年可获利息收入12240元，问该企业存入银行的甲、乙两种存款各是多少万元？
分析：
甲种存款利息收入＋乙种存款利息收入＝12240元．
解：
设甲种存款为x万元，则乙种存款为（20－x）万元，依题意，得x×5.4%＋（20－x）×8.28%＝1.224.
解得x＝15.20－x＝5（万元）．
答：
甲、乙两种存款分别是15万元，5万元．
【例7－2】银行开办的教育储蓄，一年期、三年期、六年期的定期存款利率分别为2.26%,2.70%,2.88%.小华的父母为准备她六年后上大学的费用，决定现在就参加教育储蓄，他们准备存入10000元，下面有两种储蓄方式：
（1）直接存一个六年期．
（2）先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存下一个三年期．小华的父母不知选择哪一种储蓄方式获利较多，你能帮助他们吗？
解：
（1）设直接存一个六年期期满后获利息为y元，根据题意，得y＝10000×2.88%×6＝1728（元）．
（2）设先存一个三年期的，三年后将本息和自动转存下一个三年期．期满后获利息为x元，根据题意，得x＝10000×2.70%×3＋（10000＋10000×2.70%×3）×2.70%×3＝1685.61（元）．
显然y＞x，∴小华的父母选择直接存一个六年期获利较多．
8.百分比问题
（1）意义：
百分比问题在应用题中出现很多．百分比是最常见的描述数量变化问题的数据，随着经济在人们生活中重要性的变化，关于用百分数来描述经济问题的情况越来越多，因此在中考中出现的次数也越来越频繁．
（2）主要题型：
关于百分数的计算特别是在工作效率问题，营销问题中出现最多，此外在农业种植、工业生产、经济、人口变化、溶液浓度等问题中也经常出现．常常与增长（增加）、提高、降低、减少等联系在一起，用来描述事物等的变化．
（3）应用注意事项：
①应用百分比问题最主要的是弄清谁比谁的问题，也就是基数问题，比谁谁作分母，这是关键点也是易错点，如标价a元的某商品降价10%后，再提价10%，价格就不是a元，两个10%的基数不同（分母不同）；②含百分数的问题大多不易理解，计算也较复杂，一般是采取类似于去分母的方法去掉百分数，变为整数解决．
【例8－1】某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%.求这个月的石油价格相对上个月的增长率．
分析：
把上个月石油进口量看作1，则这个月的进口量是1×（1－5%），上月的价格也为1，那么这个月的费用就是1×（1－5%）×1×（1＋增长率），实际这个月费用是1×（1＋14%），所以相等，列出方程．
解：
设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x，根据题意，得（1＋x）（1－5%）＝1＋14%.
解得x＝20%.
答：
这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%.
【例8－2】一种商品原来的销售利润率是47%.现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了多少？
分析：
可设原来的进价为a元，原来的利润就是47%a，进价提高了5%a，现在的进价就是（1＋5%）a，现在的利润就是47%a－5%a.
解：
设这种商品原来的进价为a元，原来的利润就是47%a，进价提高了5%a，
所以现在的利润率＝
＝40%.
也可设现在该商品的利润率变为x%，得47%a－5%a＝（1＋5%）a·x%，解得x＝40.
所以该商品的销售利润率变成了40%.
9．日历表中的方程问题
日历题也是一元一次方程中常见的问题，要解决这类问题，就要先熟悉一下月历，以2013年6月份的月历为例（其他月历也一样），每一行表示一周，而且每周是从星期日开始的，自左向右，后一个数都比前一个数大1；每一列表示相同的星期几，自上而下，下一个数都比上一个大7.
所以，日历问题实际上就是数列问题，如图：
任意用一个正方形框出四个数，若设其中左上角一个为x，那么其他数分别是x＋1，x＋7，x＋8，根据已知的和就可以列方程，求出日期，从而判断是周几或其他情况．
【例9－1】本周的星期三到星期五这三天的号数之和等于18，你知道星期三是几号吗？
解：
星期三为x号，那么星期四就是（x＋1）号，星期五就是（x＋2）号，根据题意，得x＋（x＋1）＋（x＋2）＝18，解得x＝5，所以本周的星期三是5号．
【例9－2】小明和小莉出生于2001年12月份，他们的出生日期不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（ ）．
A．15号 B．16号 C．17号 D．18号
解析：
因为两人的生日不是同一天，但都是星期五，且两人都是12月生日，则两人的生日可能相差7天或14天或21天或28天，又根据两人出生日期之和为22，则两人生日不能相差28天，即两人生日只能相差7天或14天或21天三种情况．设小莉出生日期为x号，则小明的出生日期为（x－7）号或（x－14）号或（x－21）号，根据题意，得①x＋（x－7）＝22；②x＋（x－14）＝22；③x＋（x－21）＝22.分别解这三个方程，得x＝
，或x＝18，或x＝
.因为日期为正整数，所以符合题意的只有x＝18，即小莉的出生日期是18号．故应选D.
答案：
D
10.设参数解应用题
在解百分比问题过程中，有些题目中的量必须用到，但又未给出，为使题目直观、明确，我们一般在设未知数的同时也设一个辅助未知数（参数），以便于题目的理解和应用，这就是设参数解题法，这种解法，在解题过程所设的参数未知数在解题过程中自然约掉，从而帮助我们顺利理解问题，解决问题．如：
某商品降价20%后，若想恢复原价，需要在现价的基础上提高百分之几？
此题要求“提高现价的百分之几”，但题中没有给出原价，也未给出现价，由题意知，现价与原价有联系，若将原价设为a元，则现价就是（1－20%）a，再设需提高现价x%，那么价格就是a（1－20%）（1＋x%），这样与原价持平，所以a（1－20%）（1＋x%）＝a，这就可以使题目明显化、直观化．在解题过程中，a就是辅助未知数，并且在解的过程中，根据等式的性质，a自然约掉．从而解得x＝25.即需要在现价的基础上提高25%.
【例10－1】苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克__________元．
解析：
有两种方法，一种是假设只进1千克苹果，那么设定价至少为x元，那么3.8×1＝（1－5%）x，解得x＝4.另一种设共购进a千克苹果，那么损耗就是5%a千克，同样设定价至少为x元，那么总进价就是3.8a元，损耗后的总售价是（a－5%a）x元．列出方程，可求得x＝4.所以定价至少应该是4元．
答案：
4
【例10－2】高一某班在入学体检中，测得全班同学平均体重是48千克，其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%，而女同学人数比男同学人数多20%.求男、女同学的平均体重各是多少？
分析：
设女生平均体重为x千克，则男生平均体重为1.2x千克．设男生有y人，则女生有1.2y人，则男生的体重是1.2xy，女生的体重为1.2yx，根据男生的体重＋女生的体重＝总体重列出方程．
解：
设女生平均体重为x千克，则男生平均体重为1.2x千克；男生有y人，则女生有1.2y人，
由题意，得1.2xy＋1.2yx＝48（y＋1.2y）．
整理，得2.4xy＝48×2.2y.
∵y≠0，∴2.4x＝48×2.2.
解得x＝44,1.2x＝52.8（千克）．
答：
男、女生平均体重分别为52.8千克和44千克．
11.一元一次方程自编型题
在近几年中考题中，出现了一种新题型——自编题，它对能力的要求更高，要求同学们能在真正理解教材、掌握教材的基础上，达到变“学会”为“会学”的境界，同时也体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念．
自编题一般给定条件，让编出一道符合条件的题目，答案都不唯一，并具有开放性．一元一次方程这章的自编题一般分为两类，一是自编方程，给出一个方程的解或再加其他条件限制，编写一道适合的方程；另一种是自编应用题：
一般是给出一个一元一次方程，结合这个方程特点，发挥自己的想象力，从生产、生活的各个方面取材编写，编写一道符合所给一元一次方程的应用题，有时还要求出解．
【例11－1】展开你想象的翅膀，尽可能多的从方程
＋
＝1中，猜想出它可能会是哪一类的应用题并将其编写出来．
分析：
此题的方程可从教材中找到类似的原型，等于1，含分母，可以当作工程问题的原型，也可从其他方面入手编写，只要符合实际，所列方程是
＋
＝1即可．
解：
如：
向电脑输入一篇文章，若单独输入，小红需10分钟输完，小华需15分钟输完，若由小华先输入2分钟，余下的两人合作，问还需多少分钟输完？
【例11－2】小明根据方程5x＋2＝6x－8编写了一道应用题．请你把空缺的部分补充完整，并求出结果．
某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；__________.请问手工小组有几人？
（设手工小组有x人）
答案：
如果每人做6个，那么比计划多做8个；
解方程5x＋2＝6x－8，
得x＝10.
答：
手工小组有10人．
12.选择最优方案的问题
运用数学知识解决生活、生产实际问题，一般地说要求学生具备以下三种能力：
一、阅读理解能力，即要把实际问题转化、抽象、提炼为数学问题．二、数学建模能力，即列出数学式子并能对整个问题作出合理的数学分析．三、数学求解能力，要以科学知识为依据，善于灵活地、创造性地运用知识解决问题．最优方案选择，则是运用数学知识，选择最经济、效果最好的方法．从而在科学研究、生产实践等方面取得事半功倍的作用．
最优方案问题常见的题目背景一般有：
（1）买赠活动
（2）活动组合选优
（3）买赠活动与打折
（4）电话计费问题
简单的说就是：
一般设两种方式花费一样多时的情况，
列出方程，求出临界点时的情况，再根据变化通过讨论，选择最优方案．
【例12】根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题．
（1）若一个月内在本地通话250分，按哪种方式交费更合算？
（2）在某地每月通话时间为多少分时，两种计费方式收费一样多？
方式一
方式二
月租费
30元/月
0
本地通话费
0.30元/分
0.40元/分
分析：
（1）分别计算一个月内在本地通话250分时，两种收费方式下需缴纳的费用，进行比较即可；
（2）分别列出收费方式一、二下费用与通话时间的关系，即收费方式一，费用＝30元＋0.30元×通话时间，收费方式二，费用＝0.40元×通话时间，令二者相等解出答案即可．
公告
用方式一每月收月租费30元，此外根据累计通话时间按0.30元/分加收通话费；用方式二不收月租费，根据累计按0.40元/分收通话费．
解：
（1）一个月内本地通话250（分）时，
按方式一交费为：
30＋0.30×250＝105（元），
按方式二交费为：
0.40×250＝100（元），
因此本地通话250（分）时，按方式二交费更合算．
（2）设每月通话x分，按方式一要收费（30＋0.3x）元，按方式二要收费0.4x元．
如果两种计费方式的收费一样，则0.4x＝30＋0.3x，
移项得：
0.4x－0.3x＝30，
合并同类项得：
0.1x＝30，
系数化为1得：
x＝300.
答：
如果一个月内通话300分，那么两种计费方式的收费一样多．
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