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优秀论文
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A
储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
在本问题的处理过程中主要运用幂级数进行替换，尤其是有代表性的泰勒级数。
由于一个确定的函数都能表示成一个幂级数，或者是幂函数，因此在定性判断要处理的问题是连续可导的函数后，就能用相应的幂函数替代，直到幂的次数保留到误差允许范围内。
对于问题1：
首先，用幂函数拟合数据所对应的曲线，得到较满意的标高和油量的替代函数。
在随后的比较过程中都将这个拟合函数作为处理对象。
然后，对这些函数进行对比，通过考察相对误差的大小，来确定油高应保持在什么水平比较准确。
就能得到偏转时的影响大小。
最后生成标高和油量的表。
对于问题2：
首先考虑解析的方法，建立标高和油量的关系。
结合运动的相对性，即固定水平面时油罐看作倾斜了，和固定油罐时水平面倾斜了是等效的。
利用这个等效原理决油罐面的函数式及其复杂形式的问题，即始终把油罐面看做不动，并且竖直，改变水平面的法线方向，就改变了水平面。
通过新的水平面和油罐函数联立求解出面积函数。
对面积函数进行高度积分得到体积函数。
此时的方程组表达的虽然很准确，但是实用性却不强，即不容易求解。
主要是由于油罐面函数的分段性。
因此采用方向导数的分量代替原平面的法向量。
直接研究垂直于坐标轴的平面的面积进行积分再结合方向导数的运算求算出体积。
这样就能用很简单的积分关系代替原来复杂情况。
由于计算积分比较繁琐，因此将各个函数转化成泰勒幂级数。
为降低计算难度，并不是直接积分在泰勒展开，而是将原函数和泰勒幂级数微分，将拟合函数微分。
理论上这拟合函数和泰勒幂级数是同一个函数，因此利用对应项系数相等求解出各个分量。
结合方向余弦求算各个方向的偏转角度。
得到偏转角之后通过能量的角度分析合理性。
最后利用投影向量的方法修正标高。
得到标高和容量的关系式，同时生成累计油量可容量两张表格。
关键词
泰勒级数；相对运动；相交弦定理；方向导数；方向余弦；解析几何
目录
摘要...1
关键词...1
目录...2
一、符号说明...3
二、模型假设...3
三、问题重述...3
四、模型建立和求解...3
问题1.3
问题2.6
1．确定油罐表面方程...6
2．确定“水平面”.6
3．得到截面方程和油量...7
4．投影变换...7
5．方向向量的确定...7
6．将实验测得的值代入方程，得到参数，确定偏角。
...7
五、模型改进...7
1．方向导数...7
2．曲线拟合...8
3．确定参数...8
4．罐体变位后标定罐容表（附录biao.m）...8
六、模型评价...8
七、参考文献...9
八、附录...10
附录1.10
附录2.11
附录3.12
一、符号说明
V油的体积；
h油罐标高；
A,B,C和法向量和坐标轴的夹角；
α，β法向量和坐标平面的夹角；
R球冠体的半径。
二、模型假设
1）在不考虑地震等大规模的地质运动时，油罐变化很小。
2）油罐中的各种管道从大小和厚度来讲远小于罐体，假设其厚度为0。
3）通过附表发现浸出油的差别，因此进出油的损耗不能忽略，假设油进油和出油2个
表盘分别显示。
三、问题重述
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验。
建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位标高间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐内储油量与油位标高及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位标高间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
四、模型建立和求解
对于确定的容器，其装载体积是装载深度的函数，因此从微分方程的角度来求解。
但是
没有具体的实验容器的图纸，而是有很多次的实验测定，根据泰勒级数
【1】
可以将阶可导的函数进行任意精度的替换。
因此根据数据不去反推容器的几何属性，而是直接用幂函数拟合油高—进油量或者油高—出油量的关系。
【2】
图1：
累计加油量与标高的曲线拟合
观察两者表达式，在数量级上一样，在系数上差别不算很大，因此，说明的问题是：
由于进油或者是出油的操作，会造成油的损失，但是总体上不算是很大。
通过对标高和进油量的函数分析，执行wuchafenxi.m可以得知最大的相对误差和该误差的标高是[2.9006%159.0200]，最小的相对误差和该误差对应标高[0.0011%352.560]。
因此这个函数适合在352.560附近做预测，方便的做法是让油经常保持在这个标高附近，来进行补充加油。
（见附件程序wuchafenxi.m，根据允许误差控制加油）。
同理可以得出倾斜时以上所有结论，不再赘述。
有变位和无变位对累积进油量的影响，如图2
图
2
实际的标高就有标准标高减去对应修正，而要得到间隔1cm的标高标定值就由一个底线、间隔和需要值的个数来确定应函数值就可以。
（见程序chu.m和ru.m）
执行程序ru.m.ru（500，10,24）表示从下限500毫米开始，间隔10毫米，生成24个值的表
表1：
没变位时标高—累加进油量量表
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
标高/m
0.5
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
累加进油量/kL
1.3051
1.3467
1.3883
1.4301
1.4719
1.5138
1.5557
1.5977
编号
9
10
11
12
13
14
15
16
标高/m
0.58
0.59
0.6
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
累加进油量/kL
1.6397
1.6817
1.7238
1.7658
1.8078
1.8498
1.8918
1.9338
编号
17
18
19
20
21
22
23
24
标高/m
0.66
0.67
0.68
0.69
0.7
0.71
0.72
0.73
累加进油量/kL
1.9756
2.0175
2.0592
2.1009
2.1424
2.1839
2.2253
2.2665
表2：
变位时标高—累加进油量量表
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
标高/m
0.5
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
累加进油量/kL
1.0882
1.128
1.1681
1.2085
1.2492
1.2901
1.3313
1.3728
编号
9
10
11
12
13
14
15
16
标高/m
0.58
0.59
0.6
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
累加进油量/kL
1.4145
1.4564
1.4986
1.5409
1.5834
1.6261
1.6689
1.7119
编号
17
18
19
20
21
22
23
24
标高/m
0.66
0.67
0.68
0.69
0.7
0.71
0.72
0.73
累加进油量/kL
1.7549
1.7981
1.8414
1.8847
1.928
1.9714
2.0149
2.0583
（注：
罐体变位后油位标高间隔为1cm的罐容表标定值见表2）。
正如前面所说，进油和出油的过程中存在着损失，所以要用进油和出油的两张表进行相互修正并随时重新生成新表，由于程序中只有函数式不同，因此不过多占用篇幅显示出油的表格。
问题2
1．确定油罐表面方程
对于容器尺寸确定要看深度和油量的关系，就要建立坐标系，用解析法确定其函数关系。
首先确定球冠部分的方程，由相交弦定理，得到球的半径，和它的定心方程。
经过平移得到对应位置。
平面曲线在对
x轴旋转，得到油罐面的方程。
如图，截面示意图2
我们通常考虑就是水平面不动，变化储油罐，但是这样的弊端就是储油罐的方程比较复杂。
因此考虑运动的相对性，固定地面和储油罐的位置建立坐标，而重新定义水平面。
无论这个平面的变化如何，空间坐标系下的平面方程式是很容易确立的。
2．确定“水平面”
由于要和角度产生联系，而和角度紧密联系的就是向量的内积。
因此选用平面的“点法式”方程。
法向量，过Y轴的点，得到平面方程
水平面位置示意图，如图
5．方向向量的确定
对于法向量求出对三个坐标轴的夹角余弦值，即这向量的方向余弦，结合测量的值得到方程组
反解方程组就可得到深度，偏角和油量的关系。
6．将实验测得的值代入方程，得到参数，确定偏角。
五、模型改进
按照上述方法，理论上得到方程很精确，但是由于G（X,Y,Z）的分段使得计算量和计算难度很大。
为解决这个问题，牺牲精度使用方向导，将油量的进出看做是各个方向向量的叠加
方向余弦确定之后就相当于各个方向上的倒数的线性叠加，根据积分的可加性，就可以说油量的可加性。
1．方向导数
按照G（x,y,z）的曲面，分别求出ix,oy,oz方向上的面积，对其积分就是从这个方向上油量体积变化。
从下到上的油量体积。
由于沿x轴旋转，从后到前的油量体积。
从左到右的油量体积
这样根据线性叠加的原理得到【4】
2．曲线拟合
将加油前的油高和容积拟合
对加油后的拟合
发现比较接近。
因此用用所有数据拟合
3．确定参数
根据d[f（x）]=d[taylor（f（x）]【5】，即对原函数的微分和对原函数的泰勒级数的所有项微分是相等的，不需要对Vx或者Vy的表达式求出来。
只要对其微分，然后展开成泰勒级数，和拟合函数的微分相比较，对应项系数相等，按照方向导数的运算求解系数即可。
求得系数cosA=0.99809,cosB=0.195424。
由于正常情况下偏离量是很小的，因此这两个值近似和对应的角度余弦相等。
求得α=3.5°，β=12°
从能量角度来说是合理的，因为沿x轴转动比垂直x轴转动需要的能量少的多。
4．罐体变位后标定罐容表（附录biao.m）
使用biao.m文件，biao（2510,100,24）表示以2510毫米为上限，间隔100毫米，生成24个值的表同时输出输出油的量。
表3：
标高—容量表
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
标高/10m
0.251
0.241
0.231
0.221
0.211
0.201
0.191
0.181
容量/万升
5.923
5.721
5.502
5.266
5.018
4.758
4.488
4.212
编号
9
10
11
12
13
14
15
16
标高/10m
0.171
0.161
0.151
0.141
0.131
0.121
0.111
0.101
容量/万升
3.929
3.643
3.354
3.065
2.776
2.490
2.209
1.933
编号
17
18
19
20
21
22
23
24
标高/10m
0.091
0.081
0.071
0.061
0.051
0.041
0.031
0.021
容量/万升
1.665
1.407
1.160
0.928
0.711
0.512
0.335
0.182
表4：
标高—累计出油表
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
标高/10m
0.251
0.241
0.231
0.221
0.211
0.201
0.191
0.181
累计出油/万升
0
0.2015
0.4211
0.6564
0.9051
1.1651
1.4344
1.7112
编号
9
10
11
12
13
14
15
16
标高/10m
0.171
0.161
0.151
0.141
0.131
0.121
0.111
0.101
累计出油万升
1.9936
2.28
2.5687
2.8581
3.1465
3.4323
3.7139
3.9895
编号
17
18
19
20
21
22
23
24
标高/10m
0.091
0.081
0.071
0.061
0.051
0.041
0.031
0.021
累计出油/万升
4.2574
4.5157
4.7623
4.9952
5.212
5.4103
5.5875
5.7408
注：
累计出油相对于编号1而言
六、模型评价
1．由于采用泰勒级数的替代，所以误差是避免不了了，但是相对误差已经能控制在2%以下。
可以保留更高的幂来提高精度。
2．幂函数常用，且方便观测，虽然实际情况中有损耗在内，需要经常标定。
考虑到角度变化不算是很大，标定周期也不会太短。
3．采用的幂级数拟合程序方便修改和推广。
4．对于偏转角度采用的近似值，是为了方便了解题，但在实际中应计算出准确值。
七、参考文献
[1]XX百科，泰勒级数
[2]葛哲学，精通matlab北京，电子工业出版社，2008.2
[3][4]同济大学数学系，高等数学（下册）北京：
高等教育出版社，2007.6
[5]实验教学成果
八、附录
附录1
Ru.m
functionru=ru（x,h,c）%加油的表（无倾斜）
%x,h,c表的下限，间隔，个数
a=[];
b=x;
fori=1:
c
b=x+（i-1）*h;%得到步长是h的数列
a=[ab];
end
j=1;
k=[];
fori=1:
30
j=j/10;
k=[kj];%0.10.010.001...数量级
end%方便数量级的输入
k;
d=[]
fori=1:
c
x=a（i）;
y=-2.0872*k（12）*x*x*x*x*x+6.2839*k（9）*x*x*x*x-9.2692*k（6）*x*x*x+7.6193*k（3）*x*x+0.99469*x-265.93;%拟合函数
d=[dy];
end
f=[a;
d]%表
q=d
（1）-d;
g=[a;
q]%累计出油
附录2
biao.m
functionbiao=biao（y,h,c）%加油的表
%y,h,c表的标高上限，以毫米为单位的间隔，个数
a=[];
fori=1:
c
b=y-（i-1）*h;%得到步长是h的数列
a=[ab];
end
a
j=1;
k=[];
fori=1:
30
j=j/10;
k=[kj];%0.10.010.001...数量级
end%方便数量级的输入
k;
d=[];
fori=1:
c
x=a（i）;%输入要标定的值
x=x/0.99809/（1-0.195424*0.195424）^（1/2）%修正标高
y=-1.5168*k（13）*x*x*x*x*x+1.1362*k（9）*x*x*x*x-5.9351*k（6）*x*x*x+1.649*k
（2）*x*x+7.4246*x-476.05;%修正后的值
d=[dy];
end
f=[a;
d]
q=d
（1）-d;
g=[a;
q]
附录3
wuchafenxi.m
a=[]%自己输入标高向量
b=[]%自己输入对应累计进油向量
j=1;
k=[];
fori=1:
30
j=j/10;
k=[kj];
end%方便数量级的输入
k;
q=1
g=[]
d=[]
fori=1:
size（a,1）
x=a（i）
y=-2.0872*k（12）*x*x*x*x*x+6.2839*k（9）*x*x*x*x-9.2692*k（6）*x*x*x+7.6193*k（3）*x*x+0.99469*x-265.93;%拟合函数
d=[dy];
end
n=[];
fori=1:
size（a,1）
m=d（i）-b（i）;
m=abs（m）;
w=m/b（i）;
n=[nw];
end
n=n*100
min=10000;
max=0;i
g=0;
h=0;
fori=1:
size（n,2）
ifn（i）>max
max=n（i）;
g=i
end
ifn（i）min=n（i）;
k=i;
end
end
[maxa（g）]
[mina（k）]
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