放缩法在不等式证明中的应用本科论文.docx
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存档编号
赣南师范学院学士学位论文
放缩法在不等式
证明中的应用
教学学院 数学与计算机科学学院
届 别 2014届
专 业 数学与应用数学
学 号 100700039
姓 名 肖常旺
指导教师 曹 新
完成日期 2014年5月1日
作者声明
本毕业论文（设计）是在导师的指导下由本人独立撰写完成的，没有剽窃、抄袭、造假等违反道德、学术规范和其他侵权行为。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。
毕业论文（设计）成果归赣南师范学院所有。
特此声明。
作者专业
：
数学与应用数学
作者学号
：
100700039
作者签名
：
2014年 月 日
放缩法在不等式证明中的应用
肖常旺
Thezoommethodintheapplicationoftheinequalityproof
XiaoChangwang
2014年5月 日
目 录
内容摘要……………………………………………………………………………1
关键词………………………………………………………………………………1
Abstract……………………………………………………………………………1
Keywords……………………………………………………………………………1
序言…………………………………………………………………………………2
2放缩法的应用依据-不等式的基本性质…………………………………………2
2.1 不等式理论依据……………………………………………………………..2
2.2 不等式的传递性………………………………………………………………2
2.3 利用绝对值不等式的性质……………………………………………………2
2.4 利用均值不等式的性质………………………………………………………3
3放缩法在不等式中的应用………………………………………………………4
3.1放缩的基本类型………………………………………………………………4
3.1.1舍添一些恒正或恒负的项…………………………………………………4
3.1.2适当地将分式的分子（或分母）放大或缩小………………………………5
3.1.3利用基本不等式……………………………………………………………5
3.1.4利用函数的单调性…………………………………………………………6
3.1.5利用二项式定理进行适度地放缩…………………………………………6
3.2放缩的目的……………………………………………………………………6
3.2.1有利于约分……………………………………………………………………6
3.2.2有利于差分…………………………………………………………………7
3.2.3有利于消元…………………………………………………………………8
3.2.4有利于运用公式……………………………………………………………8
4如何进行适当地放缩…………………………………………………………9
5总结……………………………………………………………………………10
参考文献……………………………………………………………………………11
摘要 ：
放缩法是不等式证明中一种很精细、很巧妙的证明方法，但是，如何快速、有效地进行放缩这是我们数学学习者必须要掌握的内容，以及如何灵活、适度地进行这是我们研究学习的重难点.
关键词：
放缩法;不等式 ;证明 ;方式 ;目标 ;适度
Abstract：
Scalingisaveryfine,veryclevermethodofproof,proofofinequalitybut,howtofast,effectivelyscalingthisisourmathematicslearnersmustmasterthecontent,aswellashowflexible,reasonablythisisheavyanddifficultwestudy
Keywords:
scaling;inequality;prove;target;moderate
1.序言
不等式在数学学科中占有重要的地位，特别是不等式的证明，因此，学会灵活地运用其证明不等式是我们学习的重点，在不等式的证明中，我们往往遇到从直接给出的已知条件是很难以证明的，这时如果我们对式子进行放大或缩小，使问题发生相应的变化，这样就使问题得以解决，我们称这种方法为放缩法.清楚地说放缩法就是在证明不等式中，利用不等式的传递性，作相应的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明，放缩法的目的性很强，在利用放缩法中，其要求很高，在运用时必须要恰到好处，否则不能达到目的，至于放缩法适用于哪种不等式，这没有明确的规定，这需要我们在学习过程中认真总结、归纳.
2. 放缩法应用的依据——不等式的基本性质。
2.1理论依据：
（1）不等式的传递性：
如果A>C,C>B,那么A>B；
（2）等量加不等量为不等量；
（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。
放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法 .
2.2不等式的传递性：
若则
我们常常说借别人的东西，就是借别人的东西来使用，在不等式的证明中我们也使用到，当我们不能直接证明A 例：
已知，且，求证：
证明：
2.3利用绝对值不等式的性质：
在数学证明里，证明两个数（式子）的大小方法很多，如作差法，作商法法，分析法等，当这些方法难以证明时，特别是在绝对值不等式中时，我们可以利用我们学过的绝对值不等式的性质进行证明.
例：
已知且，求证：
证明：
所以
我们知道任何数的平方都大于或等于0，即，化简得，即任何两个数的平方之和大于或等于他们积的2倍，而在均值不等式中，因为且与同号，所以要满足上述公式，可知，下面我们谈谈其性质
2.4利用均值不等式的性质：
若，则.
例：
若，，且，求证：
证明：
所以
3.放缩法在不等式中的应用
3.1放缩的基本类型
3.1.1舍添一些恒正或恒负的项
为了往不等式的解靠近，我们在不能直接解题的情况下，我们可以将式子添加（或减去）某些正项或者负项，这样就能使式子放大或缩小.
例：
证明级数收敛.
证明：
当时，有而，所以， ，于是，对，只须，当时，根据柯西收敛准则知收敛
3.1.2适当地将分式的分子（或分母）放大或缩小
在分式中，如果分母不变、分子变大（或变小）则值变大（或变小）；反之，如果分子不变、分母变大（或变小）则值变小（或变大），这是我们在放缩过程中应该掌握的结论.
例：
已知，求S的整数部分
证明：
由，知道
（1）;
,由
（1）、
（2）知S=165
3.1.3利用基本不等式
放缩是没有固定的方式，这要看情况而选，在选择时重要的还是根据题意所给的条件来决定的，如下是选择利用不等式的性质来进行放缩
例：
已知，求证：
证明：
因为，所以
所以
所以
3.1.4利用函数的单调性
我们已经学习了函数的单调性，知道单调函数具有增减性，而其增减性正相似于放缩法里面的放大或缩小，其实放大就是往右移动，缩小就是往左边移动.
例：
已知各项为正数的数列满足，求证：
证明：
（1）当时，由已知有，于是，所以，因为，所以，即当时不等式成立
（2）假设时不等式成立，即，由已知有，因为，所以在上单调递增，所以，即当时不等式成立，综合
（1）、
（2）知，对时不等式都成立
3.1.5利用二项式定理进行适度地放缩
在不等式的证明中，如果正面不能进行的话，我们要想到作一些相应的变形，使题目变成我们熟悉的公式或恒等式.如二项式定理在不等式证明中的应用
例：
设，且，求证：
证明：
令，则，即证，因，故，所以结论得证，即
3.2放缩的目的
在运用放缩法证明不等式时，我们一定要认真审题，我们应该明白我们应该怎么放缩，这样放的目的是什么，这就是放缩过程中的重要性，如：
3.2.1有利于约分
我们知道放缩法就是放与缩的过程，重要的是我们如何放和缩，使它达到我们要证明的问题，像在分式中，如果式子不能直接化简，我们可以给式子放或缩，使它能够含有公因式这样就可以约去公因式达到化简，明白的说就是让分母不变、分子变大（或变小）使其值变大或变小；反之，让分子不变、分母变大（或变小）使值变小（或变大，）. 如下题 就是利用分母变小，使值变大的放缩.
例：
证明：
证明：
因为
因此，对，只要，即，取，当时，有，即
所以
3.2.2有利于差分
数学是很讲究技巧的，表面上有些式子是无法求出来的，但是，如果我们
认真审题，找出题意的本质，我们就会发现它里面蕴含着很大的秘密或技巧，例如，的结果我们可以通分很快就可以算出来，但是，甚至时我们该怎么求呢？
我们知道他们他们各子分数都是可以拆开的，当他们拆开时我们发现中间两项之和刚好等于0，最后只剩下首尾两项.下面我们再看一题
例：
证明数列收敛，其中
证明：
对，取，当时，
所以
3.2.3 有利于消元
我们知道解题的过程就是化简，使问题由繁化简，由难化易，当由已知
件无法化简时，我们可以给问题进行适度地放缩，使得问题能够化简消元，使问题得以解决.
例:
证明级数的敛散性
证明：
取，则不论取多大，若令，则有，根据柯西收敛准则之知级数发散
3.2.4有利于运用公式
数学里面我们学习了很多数学公式，但是我们应该如何运用这些公式呢，这要具体问题具体分析，我们要认真地审题，题目的意思跟哪个公式比较接近，然后把我们所要求的问题向所需要的公式靠拢，使问题得以解决.
例
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