实验21多项式插值的振荡现象.docx
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实验21多项式插值的振荡现象
向宏志20120047
（2012-10-13）
实验2.1（多项式插值的振荡现象）
问题提出：
考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时，
是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数
实验内容：
考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为
则拉格朗日插值多项式为
其中的
是n次拉格朗日插值基函数。
实验要求：
（1）选择不断增大的分点数目n=2,3….，画出原函数f（x）及插值多项式函数
在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数
重复上述的实验看其结果如何。
（3）区间[a,b]上切比雪夫点的定义为
以
为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析原因。
实验方法：
考虑到：
1、一幅图中太多的曲线会相互覆盖；2、n取奇偶数可能结果不同；3、不同的节点选取方式可能导致不同的结果。
故而n的选择分为n=2:
2:
8、n=3:
2:
9或者n=2:
4:
10、n=3:
4:
11与n=40三种情况；而节点的选取分为均匀节点、不均匀节点和切比雪肤节点三种。
说明：
以下所有图中，蓝色曲线为原函数，绿色曲线为插值函数，插值节点数与两者交点数目相等。
实验数据及其分析：
（1）
1.节点为均匀节点时
节点是对称的
a）当节点数取为奇数个时，即n=2:
2:
8时。
得到的图像如下：
从图中可以看出：
节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；
节点数越多，0附近的区域拟合越好；
节点数越多，两端误差越大；
b）当节点数取为偶数个时，即n=3:
2:
9时
此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的；
观察结论与节点数为奇数时几乎一样：
在0附近的拟合性随节点数的增加而变好；
在两端节点数越多，误差越大；
只是由于0不再是节点，故而此时的插值函数也不再经过（0,1）点。
那么，n更大的时候是否也满足这样的趋势呢，我们考虑了第三种情况。
c）当n=40时
从图中我们看到，插值函数左右对称，0附近几乎和被插值函数重合，而在两端，其误差达到10^5量级。
故而，上面的观察结论是正确的。
2.节点为不均匀节点时
节点是不对称的
a）当节点数取为奇数个时，即n=2:
2:
6时。
得到的图像如下：
其中，最下面一条为n=6
从图中可以看出：
节点数为基数个并且不对称时，插值函数也是不对称的；
节点数越多，0右侧的区域拟合越好；
节点数越多，0左侧误差越大；
b）当节点数取为偶数个时，即n=3:
2:
7时
其中最下面那条是n=7；
此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的；
观察结论与节点数为奇数时几乎一样：
节点数为偶数个并且不对称时，插值函数也是不对称的；
节点数越多，0右侧的区域拟合越好；
节点数越多，0左侧误差越大；
那么，n更大的时候是否也满足这样的趋势呢，我们考虑了第三种情况。
c）当n=40时
从图中我们看到，插值函数左右对称，0右侧几乎和被插值函数重合，而在左侧，其误差达到10^13量级。
故而，上面的观察结论是正确的。
3.节点为切比雪肤节点时
即
，节点是对称的
a）当节点数取为奇数个时，即n=2:
2:
8时。
得到的图像如下：
从图中可以看出：
节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；
节点数越多，所有区域拟合都越好；
b）当节点数取为偶数个时，即n=3:
2:
9时
此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的；
观察结论与节点数为奇数时几乎一样：
节点数越多，所有区域拟合都越好；
只是由于0不再是节点，故而此时的插值函数也不再经过（0,1）点。
那么，n更大的时候是否也满足这样的趋势呢，我们考虑了第三种情况。
c）当n=40时
从图中我们看到，插值函数左右对称，插值函数几乎和被插值函数重合。
故而，上面的观察结论是正确的。
（2）
1.节点为均匀节点时
节点是对称的
a）当节点数取为奇数个时，即n=2:
4:
10时。
得到的图像如下：
从图中可以看出：
节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；
节点数越多，0附近的区域拟合越好；
节点数越多，两端误差越大；
b）当节点数取为偶数个时，即n=3:
4:
11时
此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的；
观察结论与节点数为奇数时几乎一样：
在0附近的拟合性随节点数的增加而变好；
在两端节点数越多，误差越大；
那么，n更大的时候是否也满足这样的趋势呢，我们考虑了第三种情况。
c）当n=40时
从图中我们看到，插值函数左右对称，0附近几乎和被插值函数重合，而在两端，其误差达到10^5量级。
故而，上面的观察结论是正确的。
2、节点为不均匀节点时
节点是不对称的
a）当节点数取为偶数个时，
其中，第一幅图为n=3:
4:
11，第二幅图为n=3:
4:
7
从图中可以看出：
节点数为基数个并且不对称时，插值函数也是不对称的；
节点数越多，0右侧的区域拟合越好；
节点数越多，0左侧误差越大；
b）当节点数取为奇数个时，即n=2:
2:
6时
其中最下面那条是n=6；
此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的；
观察结论与节点数为奇数时几乎一样：
节点数为偶数个并且不对称时，插值函数也是不对称的；
节点数越多，0右侧的区域拟合越好；
节点数越多，0左侧误差越大；
那么，n更大的时候是否也满足这样的趋势呢，我们考虑了第三种情况。
c）当n=40时
从图中我们看到，插值函数左右对称，0右侧几乎和被插值函数重合，而在左侧，其误差达到10^16量级。
故而，上面的观察结论是正确的。
3、节点为切比雪肤节点时
a）当n=2:
4:
10时，节点个数为基数
从图中可以看出，
插值函数过两端和原点，并且也是奇函数；
n越大拟合度越好，没有出现误差增大的现象；
b）当n=3:
4:
11时，节点数目为偶数
从图中可以看出，
插值函数不经过两端，但也是奇函数；
节点数越多，拟合度也越好
c）当n=40时
N取得很大的时候，插值函数和被插值函数几乎重合。
（3）
1.节点为均匀节点时
节点是对称的
a）当节点数取为奇数个时，即n=2:
4:
10时。
得到的图像如下：
从图中可以看出：
节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；
节点数越多，0附近的区域拟合越好；
节点数越多，两端误差越大；
b）当节点数取为偶数个时，即n=3:
4:
11时
此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的；
观察结论与节点数为奇数时几乎一样：
在0附近的拟合性随节点数的增加而变好；
在两端节点数越多，误差越大；
那么，n更大的时候是否也满足这样的趋势呢，我们考虑了第三种情况。
c）当n=40时
从图中我们看到，插值函数左右对称，0附近几乎和被插值函数重合，而在两端，其误差达到10^3量级。
故而，上面的观察结论是正确的。
4、节点为不均匀节点时
节点是不对称的
a）当节点数取为偶数个时，n=3:
4:
11
其中，最下一条线为n=11
从图中可以看出：
节点数为基数个并且不对称时，插值函数也是不对称的；
节点数越多，0右侧的区域拟合越好；
节点数越多，0左侧误差越大；
b）当节点数取为奇数个时，即n=2:
4:
10时
其中最下面那条是n=10；
此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的；
观察结论与节点数为奇数时几乎一样：
节点数为偶数个并且不对称时，插值函数也是不对称的；
节点数越多，0右侧的区域拟合越好；
节点数越多，0左侧误差越大；
那么，n更大的时候是否也满足这样的趋势呢，我们考虑了第三种情况。
c）当n=40时
从图中我们看到，插值函数左右对称，0右侧几乎和被插值函数重合，而在左侧，其误差达到10^11量级。
故而，上面的观察结论是正确的。
5、节点为切比雪肤节点时
a）当n=2:
4:
10时，节点个数为基数
b）当n=3:
4:
11时，节点数目为偶数
c）当n=40时
从以上几幅图中得到的结论与实验
（2）一模一样。
实验现象对比分析
被插值函数
插值点类型
插值点数目
对称性
收敛性及误差
均匀节点
奇数
对称，同原函数对称性
不收敛，节点数越多，0附近的区域拟合越好，两端误差越大
偶数
对称，同原函数对称性
不收敛，节点数越多，0附近的区域拟合越好，两端误差越大
40
对称，同原函数对称性
不收敛，节点数越多，0附近的区域拟合越好，两端误差越大
不均匀节点
奇数
不对称
不收敛，节点数越多，原点右侧拟合越好，原点左侧误差越大
偶数
不对称
不收敛，节点数越多，原点右侧拟合越好，原点左侧误差越大
40
不对称
不收敛，节点数越多，原点右侧拟合越好，原点左侧误差越大
切比雪肤点
奇数
对称，同原函数对称性
收敛，节点数越多，拟合得越好
偶数
对称，同原函数对称性
收敛，节点数越多，拟合得越好
40
对称，同原函数对称性
收敛，节点数越多，拟合得越好
均匀节点
奇数
对称，同原函数对称性
不收敛，节点数越多，0附近的区域拟合越好，两端误差越大
偶数
对称，同原函数对称性
不收敛，节点数越多，0附近的区域拟合越好，两端误差越大
40
对称，同原函数对称性
不收敛，节点数越多，0附近的区域拟合越好，两端误差越大
不均匀节点
奇数
不对称
不收敛，节点数越多，原点右侧拟合越好，原点左侧误差越大
偶数
不对称
不收敛，节点数越多，原点右侧拟合越好，原点左侧误差越大
40
不对称
不收敛，节点数越多，原点右侧拟合越好，原点左侧误差越大
切比雪肤点
奇数
对称，同原函数对称性
收敛，节点数越多，拟合得越好
偶数
对称，同原函数对称性
收敛，节点数越多，拟合得越好
40
对称，同原函数对称性
收敛，节点数越多，拟合得越好
均匀节点
奇数
对称，同原函数对称性
不收敛，节点数越多，0附近的区域拟合越好，两端误差越大
偶数
对称，同原函数对称性
不收敛，节点数越多，0附近的区域拟合越好，两端误差越大
40
对称，同原函数对称性
不收敛，节点数越多，0附近的区域拟合越好，两端误差越大
不均匀节点
奇数
不对称
不收敛，节点数越多，原点右侧拟合越好，原点左侧误差越大
偶数
不对称
不收敛，节点数越多，原点右侧拟合越好，原点左侧误差越大
40
不对称
不收敛，节点数越多，原点右侧拟合越好，原点左侧误差越大
切比雪肤点
奇数
对称，同原函数对称性
收敛，节点数越多，拟合得越好
偶数
对称，同原函数对称性
收敛，节点数越多，拟合得越好
40
对称，同原函数对称性
收敛，节点数越多，拟合得越好
实验结论：
从上表可以看出：
1.节点数目的奇与偶对实验结果没有影响
2.插值节点的数目不一定是越多拟合得越好，很多时候会出现发散现象
3.对称的节点选取，得到的插值函数的对称性与被插值函数相同
4.节点的位置不对称，则得到的插值函数也不对称
5.节点位置的选取会影响插值函数的收敛性和误差
6.切比雪肤插值节点确实比以上用到的均匀节点、不均匀节点要好
7.对于不同的被插值函数，同样的插值节点选取往往能得到类似的结果
原因分析：
1节点数目的奇与偶对实验结果没有影响
原因：
所谓实验结果，是指插值函数的对称性与收敛性、误差。
对称性的分析如下，同时奇偶只导致了节点中是否存在差值区间的中心点，而节点的整体对称性不变，故而由3中的分析可知，插值函数的对称性不会因节点的奇偶数而变。
收敛性、误差都是一个趋势问题，讲究的是不断增大，与其直接相关的是节点的绝对数值和节点的位置，而合节点数是奇数还是偶数无关。
2插值节点的数目不一定是越多拟合得越好，很多时候会出现发散现象
原因：
龙哥现象的直接反映，从插值余项上看，n增大，其分母（n+1）!
是增大，但是分子
也在不断增大，它们谁的影响大是和节点选取直接相关的，不一定就谁大。
3对称的节点选取，得到的插值函数的对称性与被插值函数相同
原因：
这一点从拉格朗日插值函数的结构很容易发现，对于对称的
，由于
，其中
对具有对称性的，而整体上关于对称的
，
，故而成立
4节点的位置不对称，则得到的插值函数也不对称
原因：
首先，插值函数在节点上都与原函数重合，节点不对称意味着这些点不对称，那么插值函数必然不对称
5节点位置的选取会影响插值函数的收敛性和误差
原因：
从拉格朗日插值函数的余项表达式可以看出，其系数
直接和
相关联，故而
的改变自然影响其误差和收敛性。
6切比雪肤插值节点确实比以上用到的均匀节点、不均匀节点要好
原因：
切比雪肤点的选取特征是：
密疏密。
即在需要多节点加以约束的地方给予足够多的点，而在和能够容易用多项式近似的地方放置较少的点，这样合理的安排也许就是愿意。
同时由于点越多多项式次数就越高，所以不能依据密而均匀增加很多点，要有疏有密，疏密有致。
7对于不同的被插值函数，同样的插值节点选取往往能得到类似的结果
原因：
导致这一点的原因可能是插值误差中唯一和被插值函数
相关的系数是
，在n不断增大的情况下，
变化趋势可能是比较一致的，或者变化不大；从而整个插值误差大致由
决定，而
决定于节点选取。
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