d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
5.求圆的方程时常用的四个几何性质
6．与圆有关的最值问题的常见类型
（1）形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题．
7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
（1）几何方法
运用弦心距（即圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
（2）代数方法
运用根与系数的关系及弦长公式
|AB|＝|xA－xB|
＝.
注：
圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
8．空间中两点的距离公式
空间中点P1（x1，y1，z1），点P2（x2，y2，z2）之间的距离|P1P2|＝.
类型一 求圆的方程
例1 根据条件求下列圆的方程．
（1）求经过A（6,5），B（0,1）两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；
（2）求半径为，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4的圆的方程．
解
（1）由题意知，线段AB的垂直平分线方程为
3x＋2y－15＝0，
∴由
解得
∴圆心C（7，－3），半径为r＝|AC|＝.
∴所求圆的方程为（x－7）2＋（y＋3）2＝65.
（2）方法一 设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
则圆心坐标为（a，b），半径为r＝，
圆心（a，b）到直线x－y＝0的距离为d＝.
由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得
d2＋（）2＝r2，
即＋8＝10，∴（a－b）2＝4.
又∵b＝2a，
∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，
∴所求圆的方程为（x－2）2＋（y－4）2＝10
或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10.
方法二 设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝10，
∵圆心C（a，b）在直线y＝2x上，∴b＝2a.
由圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，
将y＝x代入（x－a）2＋（y－b）2＝10，
得2x2－2（a＋b）x＋a2＋b2－10＝0.
设直线y＝x交圆C于点A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AB|＝
＝＝4，
∴（x1＋x2）2－4x1x2＝16.
∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝，
∴（a＋b）2－2（a2＋b2－10）＝16，即a－b＝±2.
又∵b＝2a，∴或
∴所求圆的方程为（x－2）2＋（y－4）2＝10
或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10.
反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
第一步：
选择圆的方程的某一形式．
第二步：
由题意得a，b，r（或D，E，F）的方程（组）．
第三步：
解出a，b，r（或D，E，F）．
第四步：
代入圆的方程．
注：
解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：
圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．
跟踪训练1 如图所示，圆C与x轴相切于点T（1,0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2，则圆C的标准方程为________．
答案 （x－1）2＋（y－）2＝2
解析 取AB的中点D，连接CD，AC，则CD⊥AB.
由题意知，|AD|＝|CD|＝1，故|AC|＝＝，即圆C的半径为.又因为圆C与x轴相切于点T（1,0），所以圆心C（1，），故圆的标准方程为（x－1）2＋（y－）2＝2.
类型二 直线与圆的位置关系
例2 已知点M（3,1），直线ax－y＋4＝0及圆（x－1）2＋（y－2）2＝4.
（1）求过M点的圆的切线方程；
（2）若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
（3）若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
解
（1）圆心C（1,2），半径为r＝2.
①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C（1,2）到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切．
②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k（x－3），
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知，＝2，解得k＝.
∴方程为y－1＝（x－3），即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
（2）由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
（3）∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴2＋2＝4，解得a＝－.
反思与感悟 当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路
（1）代数方法：
将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．
（2）几何方法：
若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2.
解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．
跟踪训练2 已知点P（0,5）及圆C：
x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
（1）若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
（2）求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程．
解
（1）如图所示，|AB|＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
∴|AD|＝2，|AC|＝4.
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离为＝2，得k＝，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
（2）设过P点的圆C弦的中点为D（x，y），
则CD⊥PD，所以kCD·kPD＝－1，
即·＝－1，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
类型三 圆与圆的位置关系
例3 已知一个圆的圆心坐标为A（2,1），且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1、P2两点，若点A到直线P1P2的距离为，求这个圆的方程．
解 设圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，
所以直线P1P2的方程为x＋2y－5＋r2＝0.
由已知得＝，
解得r2＝6.
故所求圆的方程是（x－2）2＋（y－1）2＝6.
反思与感悟
（1）当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法
若圆C1：
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：
x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0.
（2）公共弦长的求法
①代数法：
将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：
求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
跟踪训练3 已知两圆（x＋1）2＋（y－1）2＝r2和（x－2）2＋（y＋2）2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为（1,2），则点Q的坐标为________．
答案 （－2，－1）
解析 两圆的圆心坐标分别为O1（－1,1）和O2（2，－2），
由平面几何知，直线O1O2垂直平分线段PQ，
则＝kPQ·＝－1，∴kPQ＝1.
∴直线PQ的方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.
由点P（1,2）在圆（x＋1）2＋（y－1）2＝r2上，
可得r＝，
联立
解得或
∴Q（－2，－1）．
类型四 数形结合思想的应用
例4 曲线y＝1＋与直线y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，）B．（，＋∞）
C．（，]D．（，]
答案 D
解析 首先明确曲线y＝1＋表示半圆，
由数形结合可得＜k≤.
反思与感悟 数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数（方程）的思想反映几何问题．
跟踪训练4 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________．
答案 －
解析 如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点（2,0）为圆心，以为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，
则当圆心（2,0）到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.
（也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°）
1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是（ ）
A．a＜－2或a＞B．－＜a＜2
C．a＞1D．a＜1
答案 D
解析 由题意知a2＋4a2－4（a2＋a－1）＞0，
解得a＜1.
2．以点（－3,4）为圆心，且与x轴相切的圆的方程是（ ）
A．（x－3）2＋（y＋4）2＝16
B．（x＋3）2＋（y－4）2＝16
C．（x－3）2＋（y＋4）2＝9
D．（x＋3）2＋（y－4）2＝9
答案 B
3．过点P（－，－1）的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α≤30°B．0°＜α≤60°
C．0°≤α≤30°D．0°≤α≤60°
答案 D
解析 设l：
y＋1＝k（x＋），即kx－y＋k－1＝0，
圆心（0,0）到直线l的距离为d＝≤1，
解得0≤k≤，
即0≤tanα≤，∴0°≤α≤60°.
4．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案 C
解析 两圆的标准方程分别为（x－3）2＋（y＋8）2＝121；
（x＋2）2＋（y－4）2＝64，则两圆的圆心与半径分别为
C1（3，－8），r1＝11；C2（－2,4），r2＝8.
圆心距为|C1C2|＝＝13.
∵r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，
∴两圆相交，则公切线共2条．
5．已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
（1）当直线与圆相切时，求实数m的值；
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