运用元认知解题策略加强数学解题能力.docx
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运用元认知解题策略加强数学解题能力
运用元认知解题策略，加强数学解题能力
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运用元认知解题策略，加强数学解题能力-中学数学论文
运用元认知解题策略，加强数学解题能力
姚力娇
（宁波市第七中学，浙江宁波315040）
摘要：
元认知是影响解决问题能力的重要变量。
在初中阶段，学生的心理发展正从具体运演阶段向形式运演阶段过渡时期，可塑性强，本文系统的介绍了运用元认知进行解题的策略，培养学生良好的解题习惯，为学生形成真正的解题能力打下厚实基础至关重要。
关键词：
元认知；解题策略；三角形全等
中图分类号：
G633文献标识码：
A文章编号：
1005-6351（2013）-07-0064-02
笔者对初中数学几何中的三角形全等习题方面进行思维策略训练。
总结出解题的三个阶段（八条策略）。
一、在解题之前，全面，仔细，深入地分析理解题意
策略1：
全面地分析题意，看清楚题目中的已知条件和未知条件，特别要注意发现隐含条件。
策略2：
仔细地分析题意，将已知和未知条件逐一与学过的知识联系起来，必要时画出图帮助理解。
策略3：
深入地理解题意，找出解题的关键，凭直觉判断解题的思路，并选择最优的思路。
已知：
如图1,直线AC与BD交于点O,AO=CO,BO=DO.
求证：
AB∥CD.
已知条件：
（1）直线AC与BD交于点O；
（2）AO=CO,BO=DO。
隐含条件：
两直线相交，对顶角相等。
有关知识：
（1）运用三角形全等的判定，得出相应的两个三角形全等；
（2）运用三角形全等的性质，得出某对对应角相等；
（3）内错角相等两直线平行。
分析：
已知中给的条件，初看跟求证的两条直线平行，没有任何的联系。
但是，条件中可推得角相等，而角相等又可推得直线平行。
于是根据已知条件和隐含条件，可以由SAS，推出⊿AOB与⊿COD全等。
但是推得全等又有什么用处呢？
可得出对应边相等，对应角相等。
对应边相等在这题中是多余结论，对应角相等才是我们要的结论。
可选择其中一对角，比如：
∠A=∠C，根据内错角相等，得到两直线平行。
思路1：
∵AO=CO（已知），
BO=DO（已知），
∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴⊿AOB≌⊿COD（SAS）.
∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）.
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
思路2：
∵直线AC与BD交于点O,
∴∠AOB=∠COD（对顶角相等）.
（其余同上）
最优思路：
思路2。
只有保证AC与BD都是直线，才有结论对顶角：
∠AOB=∠COD。
在考虑思路时，多跟同学进行沟通，如果条件和结论没法联系起来，可以尽可能多想几条思路，然后凭直觉选出最优的一条思路。
同时，不要丢弃其它思路，当选择的“最优思路”行不通时，再回头选“最优思路”。
二、在解题中，充分利用已知条件进行双向推理
策略4：
在直觉地判断优先考虑的思路之后，要充分利用已知条件进行顺向推理，防止没有充分的利用已知条件及隐含条件的情况下，运用错误的定理进行匆忙作答。
已知：
如图2，在⊿ABC中D是BC上的一点，E是AD上一点，且EB=EC，∠ABE=∠ACE.
在⊿AEB和⊿AEC中，
EB=EC（已知）,
∠ABE=∠ACE（已知）,
AE=AE（公共边）,
∴⊿AEB≌⊿AEC（SSA）.
∴∠BAE=∠CAE（全等三角形对应角相等）.
这位同学的错误在于：
没有挖掘隐含条件，想当然的运用两个三角形全等的判定中，并不存在的两边及其中一边的对角对应相等来做判断方法。
看似题目条件充分运用，但判定方法是错误的。
另外一位同学解此题的思维过程：
由EB=EC，得到∠EBD=∠ECD,由已知∠ABE=∠ACE，从而得到∠ABD=∠ACD,进而得到AB=AC.于是，在⊿AEB和⊿AEC中，AB=AC,AE=AE,BE=CE,⊿AEB和⊿AEC全等.则∠BAE=∠CAE。
这位同学的成功之处在于：
善于挖掘隐含条件，他充分利用了已知条件中EB=EC，隐含着∠EBD=∠ECD这一结论，即在同一个三角形中等边对等角。
运用等式的性质可得∠ABD=∠ACD，从而得到AB=AC，即在同一个三角形中，等角对等边。
策略5：
在解题遇到困难时，不要灰心，要问自己还有那些已知条件没有用上？
应如何使用这些已知条件？
并作辅助线分析此题。
策略6：
不仅要善于运用问题作为思维推理的方向，指引顺向推理，而且要采用逆向推理，使已知条件与未知条件联系起来。
只有把两者结合起来使用双向推理，求解才能取得最佳效果。
例3:
已知：
如图3，AD是⊿ABC的高，E是AD上一点.若AD=BD,DE=DC,判断BE与AC位置关系，并说明理由。
分析：
题目要求说明线与线的关系。
线与线的位置关系分为两大类：
平行或者相交，垂直是特殊的相交。
但是，由已知条件和图，BE与AC并没有直接相交。
那就很难说明位置关系，似乎求解没有任何头绪，不要灰心，试探添辅助线使BE与AC发生联系，于是会联想到延长BE交AC于点F（如图4）。
虽然添上辅助线，但根据已知条件，也只能说明⊿ADC与⊿BDE这两个三角形全等。
跟结论也没有直接联系。
从结论出发，这两条直线的位置关系不可能是平行，那么猜测这两条直线垂直的可能性比较大。
两条直线相交，如果有一个角是直角，那么这两条直线垂直。
于是，只要说明∠AFB或者∠CFB是直角就可以。
思路：
由已知证得⊿BDE≌⊿ADC，可得∠EBD=∠CAD.又因对顶角∠BED=∠AEF,则∠DAC﹢∠AEF=∠EBD﹢∠BED=90°.根据三角形内角和可得∠AFE=90°.所以BE⊥AC.
充分利用已知条件，结合三角形全等的知识点，进行推理作出辅助线，然后利用逆向推理，从结论出发，往已知方向进行推理。
三、在解题之后，对解题思路进行概括，总结
策略7：
在解题之前，要考虑目前这道题与过去哪种题目类型相似，解题之后，就要考虑这个题目与过去做过的不同之处。
找出这个思路中的不同之处，即这道题的“关键”，要引起注意，进行熟记，以便在碰到类似的情境时，可以运用。
回过头看例3，如果求证中，有阶梯式的提问，题目似乎不会显得那么难。
例4:
已知：
如图3，AD是⊿ABC的高，E是AD上一点.若AD=BD,DE=DC,
求证：
（1）⊿BDE≌⊿ADC,
（2）∠EBD=∠CAD,（3）BE⊥AC.
分析：
要解答第
（2）题，必须先完成第
（1）题的解答，同时也是完成第（3）题基础。
下面两个例题，请分析它们之间的联系和区别，并理清解题思路。
例5:
如图5，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，直线a经过点C，AD⊥a，BE⊥a,垂足分别为D,E.
求证：
DE=AD+BE.
例6:
如图6，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，直线a经过点C，AD⊥a，BE⊥a,垂足分别为D,E.
问：
DE，AD，BE有什么关系？
并加以证明。
分析：
例5与例6是属于类型相同的题目。
例5是基础题，要证DE=AD+BE，只要说明AD=CE,CD=BE。
如何证明成立，只需说明⊿ADC≌⊿CEB,由已知不难说明这两个三角形全等。
例5就是直线a在整个直角三角形的外部。
而例6就是直线a经过点C，经过⊿ABC的内部，图形变了，其它条件都没有变，容易证得⊿ADC≌⊿CEB。
所以AD=CE,CD=BE，由此得AD=CE=CD+DE。
即DE=AD-BE.
可以看出，一个基本题型通过某个基本图形的旋转，可以演变出很多题，如果将直线a再绕着点C继续旋转，仍然经过⊿ABC的内部，不知结论会不会有所不同呢？
通过题目的演变过程以及解题思路分析，加强解题的举一反三的能力。
策略8：
在解题之后，与同学讨论，各自说出对题目原本的思维过程，走了什么弯路，后来是如何找到正确的解题思路，注意找出自己的思维过程与其他同学的不同之处，以便总结解题方法，发现成功的思维策略或方法。
在这个策略中，教师一定要创设一个良好的氛围，或者好的情境，让学生能够把自己存在的问题，毫无保留，畅所欲言。
具体方法有：
1、让学生陈述自己的解题思路——把自己和同学的认识过程作为研究对象；
2、对解法进行归类——评价同一认知结果的不同认知过程；
3、讨论其它解法——利用有意思考激活相关知识，进一步获得元认知体验；
4、讨论最优思路——促使学生评价不同思路在达到解题这个认知目标中的优劣；
5、让做不完和做错的同学叙述原因——把错误认知过程也作为研究对象；
6、说出解题后反思的收益，或者说出是否能听懂或掌握所有的解题方法，并估计自己今后在遇到类似的情景，能否想到并正确运用这些方法。
通过讨论，学生们将内因的思维过程，用外显的语言表达出来，也进一步激发了学生的元认知过程。
在初中，重视元认知开发，学生形成元认知习惯，他们会终生受益。
参考文献：
［1］程素萍.问题解决中的元认知研究综述.教育理论与实践［J］.1996,（3）:
15-19.
［2］范良火.数学八年级下册［M］.浙江教育出版社,2006.
［3］华琼.数学八年级下数学同步练习［M］.浙江教育出版社,2009.
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