第5458节课 课时教学设计.docx

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第5458节课课时教学设计

第54节课课时教学设计

第周年月日

2．先化简，再求值：

（x-

y-1）（x-

y+1）-（x-

y-1）2，其中x=1.7，y=3.9；

（2）已知x+y=4，xy=2，求x2+y2+3xy的值．

前提测评及导入新课

§14．3．2公式法

（一）

一、1．复习提公因式法分解因式．

2．将a2-b2分解因式．

用平方差公式分解因式：

a2-b2=（a+b）（a-b）

二、例题讲解

[例2]略

课题与板书设计

教学知识点

1．运用平方差公式分解因式．

2．能说出平方差公式的特点．

3．能较熟练地应用平方差公式分解因式．

4．知道因式分解的要求：

把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．

情感与价值观要求

培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．

教学目标（知识点，能力提高与思想教育，情感目标）

教学重点

应用平方差公式分解因式．

教学难点

灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．

教学重点，教学难点

多媒体课件

教学与学习手段

教学方式：

讲解法，引导法，鼓励法，提问法，练习法

学习方式：

听课，做练习，参加思考

教学方法与学习方法

课前三分钟教育

教学过程设计

Ⅰ．提出问题，创设情境

出示投影片，让学生思考下列问题．

问题1：

你能叙述多项式因式分解的定义吗？

问题2：

运用提公因式法分解因式的步骤是什么？

问题3：

你能将a2-b2分解因式吗？

你是如何思考的？

[生]1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．

2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．

3．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解．

[生]要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：

a2-b2=（a+b）（a-b）．

[师]多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．

Ⅱ．导入新课

[师]观察平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？

（让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论）

（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．

（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．

（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式．

由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．

出示投影片

[做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2=（4a）2这一类错误]

填空：

（1）4a2=（）2；

（2）

b2=（）2；

（3）0.16a4=（）2；（4）1.21a2b2=（）2；

（5）2

x4=（）2；（6）5

x4y2=（）2．

[例1]分解因式

（1）4x2-9

（2）（x+p）2-（x+q）

[例2]分解因式

（1）x4-y4

（2）a3b-ab

可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．

[师生共析]

[例1]

（1）

（教师可以通过多媒体课件演示

（1）中的2x，

（2）中的x+p相当于平方差公式中的a；

（1）中的3，

（2）中的x+q相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法）

[例2]

（1）x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．

（2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a3b-ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．

解：

（1）x4-y4=（x2+y2）（x2-y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y）．

（2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）．

学生解题中可能发生如下错误：

（1）系数变形时计算错误；

（2）结果不化简；

（3）化简时去括号发生符号错误．

最后教师提出：

（1）多项式分解因式的结果要化简：

（2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．

练一练：

把下列各式分解因式

（1）36（x+y）2-49（x-y）2

（2）（x-1）+b2（1-x）

（3）（x2+x+1）2-1（4）

-

．

解：

（1）36（x+y）2-49（x-y）2

=[6（x+y）]2-[7（x-y）]2

=[6（x+y）+7（x-y）][6（x+y）-7（x-y）]

=（13x-y）（13y-x）．

（2）（x-1）+b2（1-x）

=（x-1）-b2（x-1）

=（x-1）（1-b2）

=（x-1）（1+b）（1-b）．

（3）（x2+x+1）2-1

=[（x2+x+1）+1][（x2+x+1）-1]

=（x2+x+2）（x2+x）

=x（x+1）（x2+x+2）．

（4）方法一：

-

=（

）2-（

）2

＝（

+

）（

-

）=-xy．

方法二：

-

＝

（x2-2xy+y2）-

（x2+2xy+y2）

=

x2-

xy+

y2-

x2-

xy-

y2=-xy．

（这种解法为使用完全平方公式分解因式打下伏笔）

作

业

练习册有关部分

课

后

反

思

教研组长意见：

年月日

第55节课课时教学设计

第周年月日

把下列各式分解因式

3m+n）2-n2②169（a-b）2-196（a+b）2

③（2x+y）2-（x+2y）2④（a+b+c）2-（a+b-c）2

⑤4（2p+3q）2-（3p-q）2⑥（x2+y2）2-x2y2．

前提测评及导入新课

§14．3．2公式法

（二）

一、用完全平方公式分解因式．

分解因式→公式法→a2±2ab+b2

（a2±b2）←多项式乘多项式←整式乘法，两数平方和加（或减）两数积的2倍＝两数和（或差）的平方．

二、例题解析：

[例1]（略）[例2]（略）

课题与板书设计

教学知识点

用完全平方公式分解因式

能力训练要求

1．理解完全平方公式的特点．

2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．

3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．

4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．

情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．

教学目标（知识点，能力提高与思想教育，情感目标）

教学重点

用完全平方公式分解因式．

教学难点

灵活应用公式分解因式．

教学重点，教学难点

多媒体课件

教学与学习手段

教学方式：

讲解法，引导法，鼓励法，提问法，练习法

学习方式：

听课，做练习，参加思考

教学方法与学习方法

课前三分钟教育

教学过程设计

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题1：

根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？

能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？

问题2：

把下列各式分解因式．

（1）a2+2ab+b2

（2）a2-2ab+b2

[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．

[师]能不能用语言叙述呢？

[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．

问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：

a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2．

[师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．

Ⅱ．导入新课

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2-4a+4

（2）x2+4x+4y2

（3）4a2+2ab+

b2（4）a2-ab+b2

（5）x2-6x-9（6）a2+a+0.25

结果：

（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2

（3）4a2+2ab+

b2=（2a）2+2×2a·

b+（

b）2=（2a+

b）2

（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2

（2）、（4）、（5）都不是．

方法总结：

分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．

[例1]分解因式：

（1）16x2+24x+9

（2）-x2+4xy-4y2

[例2]分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2

（2）（a+b）2-12（a+b）+36

学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．

[例1]

（1）分析：

在

（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即

解：

（1）16x2+24x+9=（4x）2+2·4x·3+32=（4x+3）2．

（2）分析：

在

（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．

所以：

解：

-x2+4xy-4y2=-（x2-4xy+4y2）=-[x2-2·x·2y+（2y）]2=-（x-2y）2．

[例2]分析：

（1）题中，多项式有公因式3a，应考虑先提公因式，然后考虑另一因式的结构特征，再进一步分解．

（2）题中要把a+b当作一个整体进行代换，在此可进一步渗透换元思想，理解完全平方公式中的a、b可以是数，可以是单项式，也可以是多项式等．

解：

（1）3ax2+6axy+3ay2

（2）（a+b）2-12（a+b）+36

=3a（x2+2xy+y2）=（a+b）2-2·（a+b）·6+62

=3a（x+y）2．=（a+b-6）2．

作

业

练习册有关部分

课

后

反

思

教研组长意见：

年月日

第56节课课时教学设计

第周年月日

把下列多项式分解因式：

（1）6a-a2-9；

（2）-8ab-16a2-b2；

（3）2a2-a3-a；

（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2

前提测评及导入新课

§14．3．2公式法（三）

一、用完全平方公式分解因式．

分解因式→公式法→a2±2ab+b2

（a2±b2）←多项式乘多项式←整式乘法，两数平方和加（或减）两数积的2倍＝两数和（或差）的平方．

二、例题解析：

[例1]（略）[例2]（略）

三、练一练：

（1）、

（2）、（3）、（4）．

课题与板书设计

教学知识点

1．用完全平方公式分解因式

2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．

3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．

4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．

情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．

教学目标（知识点，能力提高与思想教育，情感目标）

教学重点

用完全平方公式分解因式．

教学难点

灵活应用公式分解因式．

教学重点，教学难点

多媒体课件

教学与学习手段

教学方式：

讲解法，引导法，鼓励法，提问法，练习法

学习方式：

听课，做练习，参加思考

教学方法与学习方法

课前三分钟教育

教学过程设计

学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？

（引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）

把下列多项式分解因式：

（1）6a-a2-9；

（2）-8ab-16a2-b2；

（3）2a2-a3-a；（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2

解：

（1）6a-a2-9=-（a2-6a+9）=-（a-3）3．

（2）-8ab-16a2-b2=-（16a2+8ab+b2）=-[（4a）2+2·（4a）b+b2]=-（4a+b）2．

（3）2a2-a3-a=-a（a2-2a+1）=-a（a-1）2．

（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2=（2x）2+2·2x·5（1-x）+[5（1-x）]2

=[2x+5（1-x）]2=（5-3x）2．

活动与探究

将下列多项式分解因式，观察分解结果，你能发现什么规律吗？

（1）x2+7x+10；

（2）x2-2x-8；

（3）y2-7y+12；（4）x2+7x-18；

过程：

渗透分组分解法的思想．启发学生拆项，找公因式．

（1）x2+7x+10=x2+2x+5x+10=x（x+2）+5（x+2）=（x+2）（x+5）．

拆项原则：

找7与10的关系．2+5=7，2×5=10．

（2）x2-2x-8=x2-4x+2x-8=x（x-4）+2（x-4）=（x-4）（x+2）

其中-4+2=-2，-4×2=-8

（3）y2-7y+12=y2-3y-4y+12=y（y-3）-4（y-3）

=（y-3）（y-4）

其中-3+（-4）=-7，（-3）×（-4）=12．

（4）x2+7x-18=x2+9x-2x-18=x（x+9）-2（x+9）

=（x+9）（x-2）

其中9+（-2）=7，9×（-2）=-18

总结上述四个式子的运算，可以发现：

x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x-q）

结果：

x+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．

[例]把下列各式分解因式：

（1）15x3y2+5x2y-20x2y3；

（2）3（x-1）3y-（1-x）3z；

（3）16a2-9b2；（4）（x2+4）2-（x+3）2；

（5）-4a2-9b2+12ab；（6）（x+y）2+25-10（x+y）．

本题复习提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式基本方法．

解：

（1）15x3y2+5x2y-20x2y3=5x2y（3xy+1-4y2）．

（2）3（x-1）3y-（1-x）3z=3（x-1）3y+（x-1）3z=（x-1）3（3y+z）．

（3）16a2-9b2=（4a）2-（3b）2=（4a+3b）（4a-3b）．

（4）（x2+4）2-（x+3）2=（x2+4+x+3）（x2+4-x-3）=（x2+x+7）（x2-x+1）．

（5）-4a2-9b2+12ab=-[（2a）2-2·2a·3b+（3b）2]=-（2a-3b）2．

（6）（x+y）2+25-10（x+y）=（x+y）2-2·（x+y）·5+52=（x+y-5）2．

[例]把下列各式分解因式．

（1）x3-xy2；

（2）1-a4b4；（3）16a4-8a2b2+b4；（4）（x2+3x）2-（x-1）2；

选编本例的目的是复习综合应用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式，同时再一次复习分解因式，必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止．

解：

（1）x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）．

（2）1-a4b4=（1+a2b2）（1-a2b2）=（1+a2b2）（1+ab）（1-ab）．

（3）16a4-8a2b2+b4=（4a2-b2）2=（2a+b）2（2a-b）2．

（4）（x2+3x）2-（x-1）2=（x2+3x+x-1）（x2+3x-x+1）

=（x2+4x-1）（x2+2x+1）=（1+x）2（x2+4x-1）．

[例]将下列各式分解因式

（1）x2-2x-3

（2）x2+6x+5

解：

（1）x2-2x-3

（2）x2+6x+5

=（x2-2x+1）-4=x2+6x+9-4

=（x-1）2-22=（x+3）2-22

=[（x-1）+2][（x-1）-2]=[（x+3）+2][（x+3）-2

=（x+1）（x-3）．=（x+5）（x+1）

作

业

练习册有关部分

课

后

反

思

教研组长意见：

年月日

第57节课课时教学设计

第周年月日

把下列各式分解因式

1．16a2-9b22．（x2+4）2-（x+3）2

3．x3-xy24．（xy-x2）3-x3（y-x）

5．（5a2-2b2）2-（2a2-5b2）26．152-4×2.52

前提测评及导入新课

习题14.3

课题与板书设计

教学知识点

（1）知道因式分解在实数范围内的拓展，

（2）掌握x²+（p+q）x+pq型分解因式，

（3）实际问题化为数学模型。

情感与价值观要求

经历探索过程，获得成功体验，形成学生良好的思想品质和探索习惯。

教学目标（知识点，能力提高与思想教育，情感目标）

教学重点

对各类因式分解的综合运用。

教学难点

准确熟练地进行各类因式分解运算。

教学重点，教学难点

教学与学习手段

教学方式：

讲解法，引导法，鼓励法，提问法，练习法

学习方式：

听课，做练习，参加思考

教学方法与学习方法

课前三分钟教育

教学过程设计

作

业

练习册有关部分

课

后

反

思

教研组长意见：

年月日

第58节课课时教学设计

第周年月日

1.分解因式：

（1）x²+7x+10

（2）x²-2x-8

（3）y²-7y+12（4）y²+7y-18

2.若多项式x²+axy+by²=（x-3y）（x+2y），则a=____，b=____。

前提测评及导入新课

复习题14

1.同底数幂的乘除：

（1）.

（m、n都是正整数）

（2）.

（a≠0，m、n都是正整数，m>n）

（3）.规定：

a°=1（a≠0）

2.幂的乘方：

（m、n均为正整数）3.积的乘方：

课题与板书设计

教学知识点

（1）知道因式分解在实数范围内的拓展，

（2）掌握x²+（p+q）x+pq型分解因式，

（3）实际问题化为数学模型。

情感与价值观要求

经历探索过程，获得成功体验，形成学生良好的思想品质和探索习惯

教学目标（知识点，能力提高与思想教育，情感目标）

教学重点

对各类因式分解的综合运用。

教学难点

准确熟练地进行各类因式分解运算。

教学重点，教学难点

教学与学习手段

教学方式：

讲解法，引导法，鼓励法，提问法，练习法

学习方式：

听课，做练习，参加思考

教学方法与学习方法

课前三分钟教育

教学过程设计

例1.下列运算①x·x²=x³②（ab）³=a³b³，③（a³）²=

，

④3a+2a=5a²，⑤（a-1）²=a²-1，其中正确的个数有（）个。

（A）.4（B）.3（C）.2（D）.1

解：

①②正确，选C

例2.计算：

（1）.（2a）³（b²）³÷（2ab）²

（2）.

例3.比较大小：

解：

例4.先化简，再求值：

〔x²（2x+3y）-（x-y）（x²+5xy）〕÷x，其中x=1，y=0.2

解：

〔x²（2x+3y）-（x-y）（x²+5xy）〕÷x

=（2x³+3x²y-x³-5x²y+x²y+5xy²）÷x

=（x³-x²y+5xy²）÷x=x²-xy+5y²当x=1，y=0.2时，

原式=1²-1×0.2+5×0.2²=1

例5.计算：

（1）.（x+3）（x²+9）（x-3）

（2）.（x+2y-1）（x+1-2y）

解：

（x+3）（x²+9）（x-3）解：

（x+2y-1）（x+1-2y）

=（x²-9）（x²+9）=〔x+（2y-1）〕〔x-（2y-1）〕

=

=x²-（2y-1）²=x²-4y²+4y-1

计算：

（1）.1.02×1.98

（2）.43²

（3）.已知x+y=-5，xy=3，求代数式（x-y）²的值。

作

业

练习册有关部分

课

后

反

思

教研组长意见：

年月日