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力与曲线运动

专题三　力与曲线运动

高考真题回顾

1.（2018·全国Ⅰ卷,20）（多选）2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100s时,它们相距约400km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈.将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星（　　）

A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度

2.（2018·全国Ⅲ卷,17）在一斜面顶端,将甲、乙两个小球分别以v和

的速度沿同一方向水平抛出,两球都落在该斜面上.甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的（　　）

A.2倍B.4倍

C.6倍D.8倍

3.（2017·全国Ⅰ卷,15）发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）.速度较大的球越过球网,速度较小的球没有越过球网;其原因是（　　）

A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多

B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大

C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少

D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大

4.（2017·全国Ⅱ卷,17）如图,半圆形光滑轨道固定在水平地面上,半圆的直径与地面垂直.一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道,并从轨道上端水平飞出,小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关,此距离最大时对应的轨道半径为（重力加速度大小为g）（　　）

A.

B.

C.

D.

5.（2018·北京卷,20）根据高中所学知识可知,做自由落体运动的小球,将落在正下方位置.但实际上,赤道上方200m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6cm处.这一现象可解释为,除重力外,由于地球自转,下落过程小球还受到一个水平向东的“力”,该“力”与竖直方向的速度大小成正比.现将小球从赤道地面竖直上抛,考虑对称性,上升过程该“力”水平向西,则小球（　　）

A.到最高点时,水平方向的加速度和速度均为零B.到最高点时,水平方向的加速度和速度均不为零

C.落地点在抛出点东侧D.落地点在抛出点西侧

高考题源

题图示例

核心点拨

技法提炼

2018全国Ⅰ卷,20

（双星问题）

两中子星绕其连线上某点转动,它们间万有引力提供向心力,列式并运用圆周运动的关系求解

1.平抛运动问题的规律

（1）牢记一个思路:

应用运动的分解,化曲为直.

（2）熟记两个斜面上的平抛模型

①从斜面上平抛,又打在斜面上,物体位移与水平位移的夹角等于斜面的倾角;

②从斜面外平抛,垂直打在斜面上,物体末速度方向与竖直方向的夹角等于斜面倾角.

（3）灵活运用两个重要的推论

①平抛运动轨迹上任何一点的速度方向的反向延长线过水平位移的中点;

②平抛运动过程中,物体任意时刻速度方向与水平方向的夹角φ和位移的方向与水平方向的夹角θ,满足tanφ=2tanθ.

（4）平抛运动的规律对类平抛运动都适用.

2.圆周运动问题的规律

（1）牢记一个思路:

运用动能定理和牛顿第二定律求解.

（2）把握小球过最高点的临界条件:

区分是轻绳模型还是轻杆模型,物体在最高点的最小的向心力对应物体的临界速度.

（3）熟记物体不脱离光滑圆形内轨道的两种情况:

①物体恰好能完成圆周运动;

②物体冲不过半径高度.

3.天体运动问题的规律

（1）牢记两个基本思路

①天体运动的向心力由万有引力提供;

②不考虑星球自转,星球表面上物体的重力等于万有引力.

（2）变轨规律

①加速会离心,轨道半径变大;减速会向心,轨道半径变小;

②轨道升高机械能增加,轨道降低机械能减少,同一轨道上稳定运行过程中机械能守恒.

（3）天体运行时线速度、角速度、周期与半径的关系口诀:

高轨道低转速长周期.

（4）牢记同步卫星的两个特点

①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期;

②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上.

2018全国Ⅱ卷,16

（天体运动中

的临界问题）

由万有引力提供向心力,密度公式求解

2018全国Ⅲ卷,15

（天体的运行规律）

用开普勒第三定律求解

2018全国Ⅲ卷,17

（斜面上的平抛运动问题）

两小球落到斜面位移方向相同,末速度方向也相同

2017全国Ⅱ卷,17

（平抛运动与圆

周运动综合

中的极值问题）

用平抛运动的规律、机械能守恒定律或动能定理及数学知识求解

2017全国Ⅱ卷,19

（行星运动中的功能关系）

用开普勒三定律和机械能守恒定律求解

2017全国Ⅲ卷,14

（卫星的运行规律）

由万有引力提供向心力求解

2016全国Ⅰ卷,25

（曲线运动中的综合问题）

用平抛运动的规律和机械能守恒定律或动能定理求解

2016全国Ⅲ卷,20

（圆周运动与动能

定理综合）

用动能定理和牛顿第二定律及向心力公式求解

考向一　运动的合成与分解

【典例1】（2018·安徽六安一中高三模拟）如图所示,完全相同的两个弹性小球A,B用不可伸长的、长为L的轻绳连接,分别套在水平细杆OP和竖直细杆OQ上,OP与OQ在O点用一小段圆弧杆平滑相连,且OQ足够长.初始时刻,将轻绳拉至水平位置伸直,然后释放两个小球,A球通过小段圆弧杆速度大小保持不变,重力加速度为g,不计一切摩擦,试求:

（1）当B球下落

时A球的速度大小;

（2）A球到达O点后再经过多长时间能够追上B球?

（3）两球发生第一次碰撞后当绳子再次恢复到原长时B球距离O点的距离.

1.运动合成与分解的一般思路

（1）明确合运动或分运动的运动性质.

（2）明确是在哪两个方向上的合成或分解.

（3）找出各个方向上已知的物理量（速度、位移、加速度）.

（4）运用力与速度的关系或矢量的运算法则进行分析求解.

2.关联速度分解问题

对于用绳、杆相牵连的物体,在运动过程中,两物体的速度通常不同,但两物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等.

（1）常用的解答思路:

先确定合运动的方向,然后分析合运动所产生的实际效果,以确定两个分速度的方向（作出分速度与合速度的矢量关系的平行四边形）.

（2）常见的模型

3.小船过河的时间t=.其中v垂为小船在静水中的速度沿垂直于河岸方向的分速度.

【预测练1】（2018·信阳二模）如图,在灭火抢险的过程中,消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处救人或进行灭火作业.为了节省救援时间,人沿梯子匀加速向上运动的同时消防车匀速后退,则关于消防队员的运动,下列说法中正确的是（　　）

A.消防队员做匀加速直线运动B.消防队员做匀变速曲线运动

C.消防队员做变加速曲线运动D.消防队员水平方向的速度保持不变

【预测练2】（2018·南充模拟）一艘船过河,船相对静止的河水的速度大小恒定,当船头垂直于河岸过河时,过河的时间为t0,位移为d0,当水流速度增大时（　　）

A.t0一定不变B.t0一定变大C.d0一定不变D.d0一定变小

【预测练3】（2018·濮阳二模）（多选）在光滑的水平面上,一滑块的质量m=2kg,在水平面上的恒定外力F=4N（方向未知）作用下运动,如图所示为滑块在水平面上运动的一段轨迹,滑块过P,Q两点时速度大小均为v=5m/s,滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角α=37°,sin37°=0.6,则下列说法正确的是（　　）

A.水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角

B.滑块从P到Q的时间为3s

C.滑块从P到Q的过程中速度最小值为4m/s

D.P,Q两点连线的距离为10m

考向二　抛体运动问题

【典例2】（2018·安徽皖南八校联考）如图所示是运动员将网球在边界A处正上方B点水平向右击出,恰好过网C的上边沿落在D点的示意图,不计空气阻力,已知AB=h1,网高h2=

h1,AC=x,重力加速度为g,下列说法中正确的是（　　）

A.落点D距离网的水平距离为

x

B.网球的初速度大小为x

C.若击球高度低于

h1,无论球的初速度多大,球都不可能落在对方界内

D.若保持击球高度不变,球的初速度v0只要不大于

一定落在对方界内【预测练4】（2018·北京师大附中月考）（多选）如图所示,a,b两点位于同一条竖直线上,从a,b两点分别以速度v1,v2水平抛出两个相同的小球,可视为质点,它们在水平地面上方的P点相遇.假设在相遇过程中两球的运动没有受到影响,空气阻力忽略不计,则下列说法正确的是（　　）

A.两个小球从a,b两点同时抛出

B.两小球抛出的初速度v1

C.从b点抛出的小球着地时水平射程较小

D.从a点抛出的小球着地时重力的瞬时功率较大

【预测练5】（2018·昆明模拟）如图所示,水平面上固定有一个斜面,从斜面顶端向右平抛一个小球,当初速度为v0时,小球恰好落到斜面底端,平抛的飞行时间为t0.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球,以下哪个图像能正确表示小球的飞行时间t随v变化的函数关系（　　）

【预测练6】（2018·安徽省六安市一中高三模拟）（多选）空间分布有竖直方向的匀强电场,现将一质量为m的带电小球A从O点斜向上抛出,小球沿如图所示的轨迹击中绝缘竖直墙壁的P点.将另一质量相同、电荷量不变、电性相反的小球B仍从O点以相同的速度抛出,该球垂直击中墙壁的Q点（图中未画出）.对于上述两个过程,下列叙述中正确的是（　　）

A.球A的加速度大于球B的加速度

B.P点位置高于Q点

C.球A的电势能增大,球B的电势能减小

D.电场力对球A的冲量大于对球B的冲量大小

考向三　圆周运动问题

【典例3】（2018·肇庆一模）如图所示,水平转台上有一个质量为m的物块,用长为L的细绳将物块连接在转轴上,细线与竖直转轴的夹角为θ,此时绳中张力为零,物块与转台间动摩擦因数为μ（μ

A.转台一开始转动,细绳立即绷直对物块施加拉力

B.当绳中出现拉力时,转台对物块做的功为μmgLsinθ

C.当物块的角速度为

时,转台对物块支持力为零

D.当转台对物块支持力为零时,转台对物块做的功为

【预测练7】（2018·西安二模）利用双线可以稳固小球在竖直平面内做圆周运动而不易偏离竖直面,如图,用两根长为L的细线系一质量为m的小球,两线上端系于水平横杆上,A,B两点相距也为L,若小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动,则小球运动到最低点时,每根线承受的张力为（　　）

A.2

mgB.3mgC.2.5mgD.

mg

【预测练8】（2018·吉林二模）如图所示,两个相同的小木块A和B（均可看作质点）,质量均为m.用长为L的轻绳连接,置于水平圆盘的同一半径上,A与竖直轴的距离为L,此时绳子恰好伸直无弹力,木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是（　　）

A.木块A,B所受的摩擦力始终相等

B.木块B所受摩擦力总等于木块A所受摩擦力的两倍

C.ω=

是绳子开始产生弹力的临界角速度

D.若ω=

则木块A,B将要相对圆盘发生滑动

【预测练9】（2018·湖南师大附中模拟）（多选）在半径为R的光滑绝缘竖直圆形轨道的最低点,有一个电荷量为+q的介质小球,以初速度v0=

向右冲上轨道.下面四种情形中,A图圆心处放置正点电荷,B图加上竖直向下的匀强电场,电场强度的大小E1=

C图加上水平向右的匀强电场,电场强度的大小E2=

D图加上垂直纸面向外的匀强磁场.则小球一定能够在圆轨道内做完整的圆周运动的是（　　）

考向四　圆周运动与抛体运动的组合问题

【典例4】（2018·无锡模拟）如图所示,从A点以v0=4m/s的水平速度抛出一质量为m=1kg的小物块（可视为质点）,当物块运动至B点时,恰好沿切线方向进入固定的光滑圆弧轨道BC,经圆弧轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面的长木板上,圆弧轨道C端切线水平.已知长木板的质量M=4kg,A,B两点距C点的高度分别为H=0.5m,h=0.15m,R=0.75m,物块与长木板之间的动摩擦因数μ1=0.5,长木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.2,g=10m/s2,求:

（1）小物块运动至B点时的速度大小和方向与水平面夹角的正切值;

（2）小物块滑至C点时,对圆弧轨道C点的压力大小;

（3）长木板至少为多长,才能保证小物块不滑出长木板?

【拓展变式】在“典例4”的情景中,若地面光滑,则长木板至少为多长,才能保证小物块不滑出长木板?

【预测练10】（2018·咸阳模拟）固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道ABCD,其A点与圆心等高,D点为轨道的最高点,DB为竖直线,AC为水平线,AE为水平面,如图所示.今使小球自A点正上方某处由静止释放,且从A点进入圆轨道运动,只要适当调节释放点的高度,总能使球通过最高点D,则小球通过D点后（　　）

A.一定会落到水平面AE上

B.一定会再次落到圆轨道上

C.可能会再次落到圆轨道上D.不能确定

【预测练11】（2018·浙江模拟）嘉年华上有一种回力球游戏,如图所示,A,B分别为一固定在竖直平面内的光滑半圆形轨道的最高点和最低点,B点距水平地面的高度为h,某人在水平地面C点处以某一初速度抛出一个质量为m的小球,小球恰好水平进入半圆轨道内侧的最低点B,并恰好能过最高点A后水平抛出,又恰好回到C点抛球人手中.若不计空气阻力,已知当地重力加速度为g,求:

（1）小球刚进入半圆形轨道最低点B时轨道对小球的支持力;

（2）半圆形轨道的半径;

（3）小球抛出时的初速度大小.

【培优练1】（2018·广西南宁外国语学校月考）如图（甲）所示,质量m=1kg的物体在水平外力的作用下在水平面上运动,已知物体沿x方向和y方向的x

t图像和vy

t图像如图（乙）、（丙）所示.t=0时刻,物体位于原点O.g取10m/s2.则以下说法正确的有（　　）

A.物体做匀变速曲线运动,加速度大小为3m/s2

B.t=5s时刻物体的位置坐标为（15m,5m）

C.t=10s时刻物体的速度大小为7m/s

D.水平外力的大小为0.8N

【培优练2】（2018·泉州二模）如图,可视为质点的小球,位于半径为

m半圆柱体左端点A的正上方某处,以一定的初速度水平抛出小球,其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点.过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°,则初速度为（不计空气阻力,重力加速度为g=10m/s2）（　　）

A.

m/sB.4

m/s

C.3

m/sD.

m/s

【培优练3】（2018·济南校级模拟）如图所示,BC为半径等于

m竖直放置的光滑细圆管,O为细圆管的圆心,在圆管的末端C连接倾斜角为45°、动摩擦因数μ=0.6的足够长粗糙斜面,一质量为m=0.5kg的小球从O点正上方某处A点以v0水平抛出,恰好能垂直OB从B点进入细圆管,小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F=5N的作用,当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失,小球能平滑地冲上粗糙斜面.（g=10m/s2）求:

（1）小球从O点的正上方某处A点水平抛出的初速度v0为多少?

OA的距离为多少?

（2）小球在圆管中运动时对圆管的压力是多少?

（3）小球在CD斜面上运动的最大位移是多少?

第2讲　万有引力与航天

考向一　万有引力定律的应用

【典例1】（2018·河南校级模拟）由于地球自转的影响,地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同:

若地球表面两极处的重力加速度大小为g0,在赤道处的重力加速度大小为g,地球自转的周期为T,引力常量为G,地球可视为质量均匀分布的球体.求:

（1）地球半径R;

（2）地球的平均密度.

【拓展变式】在“典例1”的情境中,若地球自转速度加快,当赤道上的物体恰好能“飘”起来时,求地球自转周期T'.

【预测练1】（2018·江西省浮梁一中冲刺考试）若银河系内每个星球贴近其表面运行的卫星的周期用T表示,被环绕的星球的平均密度用ρ表示.

与ρ的关系图像如图所示,已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2.则该图像的斜率约为（　　）

A.7×10-10N·m2/kg2B.7×10-11N·m2/kg2

C.7×10-12N·m2/kg2D.7×10-13N·m2/kg2

【预测练2】（2018·西宁模拟）为了实现人类登陆火星的梦想,航天工作者进行了各类“模拟登火星”的实验活动,假设火星半径与地球半径之比为1∶2,火星质量与地球质量之比为1∶9.已知地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,忽略自转的影响,则（　　）

A.火星表面与地球表面的重力加速度之比为2∶9

B.火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为

∶3

C.火星的密度为

D.宇航员以相同初速度在火星表面与地球表面能竖直跳起的最大高度之比为9∶2

【预测练3】（2018·山西实验中学高三模拟）（多选）天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在,证实了GW150914是两个黑洞并合的事件.该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳的36倍和29倍,假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动,且这两个黑洞的间距缓慢减小.若该双星系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响,则关于这两个黑洞的运动,下列说法正确的是（　　）

A.甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36∶29

B.甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等

C.随着甲、乙两个黑洞间距的缓慢减小,它们运行的周期也在减小

D.甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等

考向二　卫星运行参量的分析

【典例2】（2018·成都模拟）（多选）如图所示,A是地球的同步卫星.另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内,离地面高度为h,A,B绕行方向与地球自转方向相同,已知地球半径为R,地球自转角速度为ω0,地球表面的重力加速度为g,O为地球中心.关于A,B两卫星的下列叙述正确的是（　　）

A.同步卫星A离地面的高度是B的2倍,必等于2h

B.B的周期应为TB=2π

C.某时刻A,B两卫星相距最近（O,B,A在同一直线上）,当它们再一次相距最近,则至少经过时间t=

D.A,B两卫星的线速度之比为

∶

【预测练4】（2018·黑龙江模拟）环境监测卫星是专门用于环境和灾害监测的对地观测卫星,利用三颗轨道相同的监测卫星可组成一个监测系统,它们的轨道与地球赤道在同一平面内,当卫星高度合适时,该系统的监测范围可恰好覆盖地球的全部赤道表面且无重叠区域.已知地球半径为R,地球表面重力加速度为g,关于该系统下列说法正确的是（　　）

A.卫星的运行速度大于7.9km/sB.卫星的加速度为

C.卫星的周期为4π

D.这三颗卫星的质量必须相等

【预测练5】（2018·黑龙江哈尔滨六中高三考前检测）有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星,其运行周期是地球近地卫星的2

倍,卫星轨道平面与地球赤道平面重合.卫星上的太阳能收集板可以把光能转化为电能,提供卫星工作所需的能量.已知地球表面重力加速度为g,地球半径为R,忽略地球公转,且此时太阳处于赤道平面上,近似认为太阳光为平行光.则卫星绕地球一周,太阳能收集板的工作时间为（　　）

A.

B.

C.

D.

【预测练6】（2018·枣庄一模）如图所示,a为地球赤道上的物体,b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星,c为地球同步卫星.则下列说法正确的是（　　）

A.角速度的大小关系是ωa<ωb

B.向心加速度的大小关系是aa>ab

C.线速度的大小关系是va>vb

D.周期的大小关系是Ta

考向三　卫星的变轨与对接

【典例3】（2018·泸州校级模拟）发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆轨道1,然后经Q点时发动机点火,使其沿椭圆轨道2运行,经P点时再次点火,将卫星送入同步圆轨道3.轨道1,2相切于Q点,轨道2,3相切于P点,则（　　）

A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B.卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度

C.卫星在轨道1上经过Q点时的速率小于它在轨道2上经过Q点时的速率

D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度大于它在轨道3上经过P点时的加速度

【预测练7】（2018·天津二模）我国嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器、上升器四个部分组成.根据计划,嫦娥五号探测器将实现月球软着陆及采样返回,其中采样返回是上升器携带样品从月球表面升空,先在近月圆轨道Ⅰ上运行,从P点经调整轨道Ⅱ在Q点与较高轨道Ⅲ上的轨道器对接,最后由轨道器携带样品返回地球,如图所示.已知P,Q分别是轨道Ⅱ与轨道Ⅰ,Ⅲ的切点,下列关于此过程中说法正确的是（　　）

A.轨道器在轨道Ⅲ上的加速度必定大于上升器在轨道Ⅰ上的加速度

B.上升器应在轨道Ⅰ上的P点通过减速进入轨道Ⅱ

C.上升器与轨道器对接后,组合体速度比上升器在P点的速度小

D.若上升器和轨道器均在轨道Ⅲ运行,上升器在后,只要上升器向前加速,就可追上轨道器

【预测练8】（2018·重庆高三质量抽检）2018年2月6日,马斯克的SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆特斯拉跑车发射到太空,其轨道示意图如图中椭圆Ⅱ所示,其中A,C分别是近日点和远日点,图中Ⅰ,Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道,B点为轨道Ⅱ,Ⅲ的交点,若运动中只考虑太阳的万有引力,则以下说法正确的是（　　）

A.跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率

B.跑车经过B点时的加速度大于火星经过B点时的加速度

C.跑车在C的速率大于火星绕日的速率

D.跑车由A到C的过程中动能减小,机械能也减小

【预测练9】（2018·天津二模）我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后,与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体,如图所示.组合体通过几次点火程序,轨道高度降低.组合体在高、低轨道上运行时均可视为匀速圆周运动.下列说法正确的是（　　）

A.在低轨道上运行时组合体的加速度较小

B.在低轨道上运行时组合体的周期较小

C.某次点火过程组合体的机械能守恒

D.点火使组合体速率变大,从而降低了轨道高度

【培优练1】（2018·宁夏一模）（多选）“嫦娥四号”是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星,主要任务是更深层次、更加全面地科学探测月球地貌、资源等方面的信息,完善月球档案资料.已知月球的半径为R,月球表面的重力加速度为g,引力常量为G,若嫦娥四号在离月球中心的距离为r的轨道上运行,绕月周期为T.根据以上信息可求出（　　）

A.“嫦娥四号”绕月运行的速度为

B.“嫦娥四号”绕月运行的速度为

C.月球的平均密度为

D.月球的平均密度为

【培优练2】（2018·红桥区二模）银河系的恒星中有一些是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动.由天文观测得其周期为T,S1到O点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已知万有引力常量为G.由此可求出S2的质量为（　　）

A.

B.

C.

D.

【培优练3】（2018·重庆模拟）北京时间2016年8月16日下午1时40分,中国科学院国家空间科学中心研