矢量分析与场论谢树艺习题答案清晰版.docx
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矢量分析与场论谢树艺习题答案清晰版
习题1解答
1.写出下列曲线的矢量方程,并说明它们是何种曲线。
解:
,其图形是平面上之椭圆。
,其图形是平面与圆柱面之交线,为一椭圆。
2.设有定圆与动圆,半径均为,动圆在定圆外相切而滚动,求动圆上一定点所描曲线的矢量方程。
解:
设点的矢径为,,与轴的夹角为;因有
则
故
4.求曲线的一个切向单位矢量。
解:
曲线的矢量方程为
则其切向矢量为
模为
于是切向单位矢量为
6.求曲线在处的一个切向矢量。
解:
曲线矢量方程为
切向矢量为
在处,
7.求曲线在对应于的点M处的切线方程和法平面方程。
解:
由题意得曲线矢量方程为
在的点M处,切向矢量
于是切线方程为
于是法平面方程为,即
8.求曲线上的这样的点,使该点的切线平行于平面。
解:
曲线切向矢量为,⑴
平面的法矢量为,由题知
得。
将此依次代入⑴式,得
故所求点为
习题2解答
1.说出下列数量场所在的空间区域,并求出其等值面。
解:
场所在的空间区域是除外的空间。
等值面为,这是与平面平行的空间。
场所在的空间区域是除原点以外的的点所组成的空间部分。
等值面为,
当时,是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外);
当时,是除原点外的平面。
2.求数量场经过点的等值面方程。
解:
经过点等值面方程为
,
即,是除去原点的旋转抛物面。
3.已知数量场,求场中与直线相切的等值线方程。
解:
设切点为,等值面方程为,因相切,则斜率为
,即
点在所给直线上,有
解之得
故
4.求矢量的矢量线方程。
解矢量线满足的微分方程为
,
或
有
解之得
5.求矢量场通过点的矢量线方程。
解矢量线满足的微分方程为
由,
按等比定理有即解得
故矢量线方程为又求得
故所求矢量线方程为
习题3解答
1.求数量场在点处沿的方向导数。
解:
因,其方向余弦为
在点处有
所以
2.求数量场在点处沿曲线朝增大一方的方向导数。
解:
所求方向导数,等于函数在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
曲线上点M所对应的参数为,从而在点M处沿所取方向,曲线的切向方向导数为,
其方向余弦为
又。
于是所求方向导数为
3.求数量场在点处沿哪个方向的方向导数最大?
解:
因,
当时,方向导数最大。
即函数沿梯度方向的方向导数最大
最大值为。
4.画出平面场中的等值线,并画出场在与点处的梯度矢量,看其是否符合下面事实:
(1)梯度在等值线较密处的模较大,在较稀处的模较小;
(2)在每一点处,梯度垂直于该点的等值线,并指向增大的方向。
解:
所述等值线的方程为:
其中第一个又可以写为
为二直线,其余的都是以轴为实轴的等轴双曲线
(如下图,
图中
)
由于
故
由图可见,其图形都符合所论之事实。
5.用以下二法求数量场在点处沿其矢径方向的方向导数。
直接应用方向导数公式;
作为梯度在该方向上的投影。
解:
点P的矢径其模其方向余弦为
又
所以
故
6,求数量场在点与点处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为0?
解:
其模依次为:
于是的方向余弦为
的方向余弦为
求使之点,即求坐标满足之点,由此解得故所求之点为
7.通过梯度求曲面上一点处的法线方程。
解:
所给曲面可视为数量场的一张等值面,因此,场在点
处的梯度,就是曲面在该点的法矢量,即
故所求的法线方程为
8.求数量场在点处等值面朝轴正向一方的法线方向导数。
解:
因
梯度与夹角为钝角,所以沿等值面朝轴正向一方的法线方向导数为
习题4
1.设S为上半球面求矢量场向上穿过S的通量。
【提示:
注意S的法矢量n与r同指向】
解:
2.设S为曲面求流速场在单位时间内下侧穿S的流量Q。
解:
其中D为S在xOy面上的投影区域:
用极坐标计算,有
3.设S是锥面在平面的下方部分,求矢量场向下穿出S的通量。
解:
4.求下面矢量场A的散度。
(1)
(2)
(3)
解:
(1)
(2)
(3)
5.求在给定点处的值:
(1)
(2)
(3)
解:
(1)
(2)
(3)
,故。
6.已知求。
解:
7.求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量:
(1)
(2)
解:
(1)
其中为S所围之球域今用极坐标计算,有
(2)。
习题五
1.求一质点在力场的作用下沿闭曲线
从运动一周时所做的功。
解:
功
2.求矢量场沿下列曲线的环量:
(1)圆周;
(2)圆周。
解:
(1)令,则圆周的方程成为,于是环量
(2)令,则圆周的方程成为
,于是环量
3.用以下两种方法求矢量场在点M(1,2,3)处沿方向的环量面密度。
(1)直接应用环量面密度的计算公式;
(2)作为旋度在该方向上的投影。
解:
(1)故的方向余弦为
又根据公式,环量面密度
(2)于是
4.用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。
(1)
(2)
(3)
解:
(1)故有
(2)故有
(3)故有
。
5.已知求
解:
有
6.已知求
解:
故有
习题六
1.证明下列矢量场为有势场,并用公式法和不定积分法求其势函数。
(1)
(2)
解:
(1)记
则
所以A为有势场。
下面用两种方法求势函数:
公式法:
不定积分法:
因势函数满足,即有
将第一个方程对积分,得
对求导,得,与第二个方程比较,知
于是从而
再对求导,得与第三个方程比较,知,故
所以
(2)记
则所以A为有势场。
下面用两种方法求势函数:
公式法:
不定积分法:
因势函数满足,即有
将第一个方程对积分,得
对求导,得,与第二个方程比较,知
于是从而
再对求导,得与第三个方程比较,知,故
所以
2.下列矢量场A是否保守场?
若是,计算曲线积分:
(1),的起点为终点为
(2),的起点为终点为
解:
(1)有故为保守场。
因此,存在
。
按公式
于是
。
(2)有故为保守场。
因此,存在。
按公式
于是
。
3.求下列全微分的原函数:
(1)
(2)
解:
由公式
(1)
;
(2)。
9.证明矢量场为调和场,并求其调和函数。
解:
,有故A为调和场。
其调和函数由公式
10.已知【提示:
】
解:
则
13.试证矢量场为平面调和场,并且:
(1)求出场的力函数和势函数;
(2)画出场的力线和等势线的示意图。
证:
记则有
故为平面调和场。
(1)由公式,并取其中,则
势函数
力函数
(2)分别令与等于常数,就得到
力线方程:
,
等势线方程:
二者均为双曲线族,但对称轴相差角。
如上图所示。
14.已知平面调和场的力函数,求场的势函数及场矢量.
解:
力函数与势函数之间满足以下关系:
由有
由此,又与前式相比可知
所以故势函数
于是。
场矢量
习题八
2.计算下列曲线坐标系中的拉梅系数。
(1)曲线坐标,它与直角坐标的关系是:
(2)曲线坐标,它与直角坐标的关系是:
解:
(1)因曲线坐标系是正交的,根据
有
于是
,故拉梅系数为:
,(或)。
(2)因曲线坐标系不是正交的,故不能用上面的方法来求。
根据按定义有
由此得拉梅系数为: