中考数学专题复习图表信息问题.docx
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中考数学专题复习图表信息问题
图表信息问题
【专题点拨】
图表信息题关键是“识图”和“用图”,主要是通过图形及表格信息,考查学生收集信息和处理信息的能力.解题时,要充分审视图形、表格,全面掌握其提供的信息,理解其实质,把握其方法规律,从而解决问题。
【解题策略】
抓住图形或表格中的关键数据,筛选出有价值的信息,利用数据反映出的信息、规律、性质等建立数学模型解决。
【典例解析】
类型一:
图像信息题
例题1:
.(2016广东省贺州市第10题)抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=
在同一平面直角坐标系内的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
(1)、二次函数的图象;
(2)、一次函数的图象;(3)、反比例函数的图象
【解答】根据二次函数图象与系数的关系确定a>0,b<0,c<0,根据一次函数和反比例函数的性质确定答案.由抛物线可知,a>0,b<0,c<0,∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,反比例函数y=
的图象在第二、四象限,
变式训练1:
(2016湖南张家界第8题)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
类型二:
表格信息题
例题2:
(2016·湖北武汉·10分)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如下表:
产品
每件售价(万元)
每件成本(万元)
每年其他费用(万元)
每年最大产销量(件)
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40+0.05x2
80
其中a为常数,且3≤a≤5.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1、y2与x的函数关系式;
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;
(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?
请说明理由.
【考点】二次函数的应用,一次函数的应用
【答案】
(1)y1=(6-a)x-20(0<x≤200),y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80);
(2)产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;(3)当3≤a<3.7时,选择甲产品;当a=3.7时,选择甲乙产品;当3.7<a≤5时,选择乙产品
【解析】解:
(1)y1=(6-a)x-20(0<x≤200),y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80);
(2)甲产品:
∵3≤a≤5,∴6-a>0,∴y1随x的增大而增大.
∴当x=200时,y1max=1180-200a(3≤a≤5)
乙产品:
y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80)
∴当0<x≤80时,y2随x的增大而增大.
当x=80时,y2max=440(万元).
∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;(3)1180-200>440,解得3≤a<3.7时,此时选择甲产品;
1180-200=440,解得a=3.7时,此时选择甲乙产品;
1180-200<440,解得3.7<a≤5时,此时选择乙产品.
∴当3≤a<3.7时,生产甲产品的利润高;
当a=3.7时,生产甲乙两种产品的利润相同;
当3.7<a≤5时,上产乙产品的利润高.
变式训练2:
(2016·四川眉山)“世界那么大,我想去看看”一句话红遍网络,骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱,各种品牌的山地自行车相继投放市场.顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元,今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元,若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同,则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%.
(1)求今年6月份A型车每辆销售价多少元(用列方程的方法解答);
(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获利最多?
A、B两种型号车的进货和销售价格如表:
A型车
B型车
进货价格(元/辆)
1100
1400
销售价格(元/辆)
今年的销售价格
2400
类型三:
图文信息题
例题3:
(2016·湖北黄石·3分)如图所示,向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水,则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】水深h越大,水的体积v就越大,故容器内水的体积y与容器内水深x间的函数是增函数,根据球的特征进行判断分析即可.
【解答】解:
根据球形容器形状可知,函数y的变化趋势呈现出,当0<x<R时,y增量越来越大,当R<x<2R时,y增量越来越小,
曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大,后又逐渐变小,故y关于x的函数图象是先凹后凸.
故选(A)
【点评】本题主要考查了函数图象的变化特征,解题的关键是利用数形结合的数学思想方法.解得此类试题时注意,如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.
变式训练3:
(2016·黑龙江龙东·3分)如图,直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上,三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形.设穿过时间为t,正方形与三角形不重合部分的面积为s(阴影部分),则s与t的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
类型四:
综合创新类信息题
例题4:
(2016·湖北随州·9分)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y(单位:
元/件),每天的销售量为p(单位:
件),每天的销售利润为w(单位:
元).
时间x(天)
1
30
60
90
每天销售量p(件)
198
140
80
20
(1)求出w与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?
并求出最大利润;
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?
请直接写出结果.
【解析】二次函数的应用;一元一次不等式的应用.
(1)当0≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b,由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式,根据图形可得出当50<x≤90时,y=90.再结合给定表格,设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n,套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式,根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式;
(2)根据w关于x的函数关系式,分段考虑其最值问题.当0≤x≤50时,结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值;当50<x≤90时,根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值,两个最大值作比较即可得出结论;
(3)令w≥5600,可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出x的取值范围,由此即可得出结论.
【解答】解:
(1)当0≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数且k≠0),
∵y=kx+b经过点(0,40)、(50,90),
∴
,解得:
,
∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40;
当50<x≤90时,y=90.
∴售价y与时间x的函数关系式为y=
.
由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系,
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n(m、n为常数,且m≠0),
∵p=mx+n过点(60,80)、(30,140),
∴
,解得:
,
∴p=﹣2x+200(0≤x≤90,且x为整数),
当0≤x≤50时,w=(y﹣30)•p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;
当50<x≤90时,w=(90﹣30)(﹣2x+200)=﹣120x+12000.
综上所示,每天的销售利润w与时间x的函数关系式是
w=
.
(2)当0≤x≤50时,w=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050,
∵a=﹣2<0且0≤x≤50,
∴当x=45时,w取最大值,最大值为6050元.
当50<x≤90时,w=﹣120x+12000,
∵k=﹣120<0,w随x增大而减小,
∴当x=50时,w取最大值,最大值为6000元.
∵6050>6000,
∴当x=45时,w最大,最大值为6050元.
即销售第45天时,当天获得的销售利润最大,最大利润是6050元.
(3)当0≤x≤50时,令w=﹣2x2+180x+2000≥5600,即﹣2x2+180x﹣3600≥0,
解得:
30≤x≤50,
50﹣30+1=21(天);
当50<x≤90时,令w=﹣120x+12000≥5600,即﹣120x+6400≥0,
解得:
50<x≤53
,
∵x为整数,
∴50<x≤53,
53﹣50=3(天).
综上可知:
21+3=24(天),
故该商品在销售过程中,共有24天每天的销售利润不低于5600元.
变式训练4:
(2016·四川南充)已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点,若点M在AB上,且满足△PBC∽△PAM,延长BP交AD于点N,连结CM.
(1)如图一,若点M在线段AB上,求证:
AP⊥BN;AM=AN;
(2)①如图二,在点P运动过程中,满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时,AP⊥BN和AM=AN是否成立?
(不需说明理由)
②是否存在满足条件的点P,使得PC=
?
请说明理由.
【能力检测】
1.(2016广西南宁3分)下列各曲线中表示y是x的函数的是( )
A.
B.
C.
D.
2.(2016·湖北荆门·3分)如图,正方形ABCD的边长为2cm,动点P从点A出发,在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止,设点P的运动路程为x(cm),在下列图象中,能表示△ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图象是( )
A.
B.
C.
D.
3.(2016·山东省德州市·4分)某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如表所示:
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x(元/双)
150
200
250
300
销售量y(双)
40
30
24
20
(1)观察表中数据,x,y满足什么函数关系?
请求出这个函数关系式;
(2)若商场计划每天的销售利润为3000元,则其单价应定为多少元?
4.(2016·浙江省绍兴市·10分)课本中有一个例题:
有一个窗户形状如图1,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大?
这个例题的答案是:
当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积最大值约为1.05m2.
我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图2,材料总长仍为6m,利用图3,解答下列问题:
(1)若AB为1m,求此时窗户的透光面积?
(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?
请通过计算说明.
5.(2016·重庆市B卷·12分)如图1,二次函数y=
x2﹣2x+1的图象与一次函数y=