河南省郑州市届高三上入学考试数学试题理含答案.docx
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河南省郑州市届高三上入学考试数学试题理含答案
郑州2017-2018上期高三入学测试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，（）
A．B．C．D．
2.已知向量均为单位向量，若它们的夹角为，则等于（）
A．B．C．D．4
3.若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（）
A．-1B．1C．27D．-27
4.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（）
A．（）B．（）
C.（）D．（）
5.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面，若，，则下列四个命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则
其中正确命题的个数是（）
A．0B．1C.2D．3
6.阅读下面程序框图，输出的结果的值为（）
A．B．0C.D．
7.已知圆与直线相切于第三象限，则的值是（）
A．B．C.D．
8.若变量满足条件，则的取值范围是（）
A．B．C.D．
9.在中，，，，则（）
A．B．C.D．
10.设，若函数存在整数零点，则符合条件的的取值个数为（）
A．2B．3C.4D．5
11.已知双曲线（）的左、右两个焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，该双曲线的离心率为，则（）
A．2B．C.D．
12.数学上称函数（，）为线性函数，对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：
，利用这一方法，的近似代替值（）
A．大于B．小于C.等于D．与的大小关系无法确定
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设函数（），若，，则．
14.由数学2，0，1，7组成没有重复数字的四位偶数的个数为．
15.下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图均是高为2，底边长为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是．
16.已知函数（），则的最大值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.等差数列中，已知，且为递增的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的通项公式（），求数列的前项和.
18.河南多地遭遇跨年霾，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生们在家躲霾，郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》，自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警，12月30日0时启动I级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成下表：
年龄（岁）
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
（1）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；
（2）若从年龄在，两组采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选中4人中不赞成这项举措的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
19.如图所示的多面体中，是平行四边形，是矩形，面，，.
（1）求证：
平面平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
20.已知椭圆（）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，斜率为的直线与椭圆交于两点，点在直线的左上方，若，且直线分别与轴交于点，求线段的长度
21.已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直.
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）若函数有两个不同的零点，证明：
.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数，），以原点为极点，以轴正关轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为.
（1）设为曲线上任意一点，求的取值范围；
（2）若直线与曲线交于两点，求的最小值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知（）
（1）当时，求不等式的解集；
（2）如果函数的最小值为4，求实数的值.
试卷答案
一、选择题
1-5:
BCAAC6-10:
CBDBC11、12：
DA
二、填空题
13.14.1015.16.
三、解答题
17.解：
（1）设数列的公差为，由题意，
即，解之得或（舍去），
所以，即，为所求
（2）当，时，
；
当，时，
综上，，（）
18.解：
（1）补全频率分布直方图如图年示：
（2）的所有可能的取值为0，1，2，3，
，
，
，
0
1
2
3
所以的数学期望为.
19.
（1）证明：
在平行四边形中，，，
由余弦定理，得，
从而，故.
可得为直角三角形且，
又由平面，平面，得
又，所以平面.
由平面，得平面平面，
（2）解：
由
（1）可得在中，，，又由
设，，由平面，，
建立以为坐标原点，以射线分别为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：
得，，，
设平面的法向量为，得，
所以
令，得
又因为，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：
（1）由题意知，
解之得：
，
所以椭圆的方程为
（2）设直线，，
将代入中，化简整理，得
，得
于是有，，，，
注意到
上式中，分子
从而，，由，可知
所以是等腰直角三角形，即为所求.
21.解：
（1）依题意得，
所以，又由切线方程可得，即，解得
此时，，
令，即，解得；
令，即，解得
所以的增区间为，减区间为
所以，即，
，.
（2）证明：
不妨设因为
所以化简得，
可得，.
要证明，即证明，也就是
因为，所以即证
即，令，则，即证.
令（），由
故函数在是增函数，所以，即得证.
所以.
22.解：
（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为
∵为曲线上任意一点，∴
∴的取值范围是.
（2）将，代入整理得，
∴，设方程的两根为
所以，
当时取得最小值4.
23.解：
（1）当时，
所以或或
解之，得或，即所求不等式的解集为
（2）∵，∴，则，
注意到时单调递减，时单调递增，
故的是小值在时取到，
即，或，
解之，得.
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