最新中考数学专题训练几何图形动点问题分类.docx
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最新中考数学专题训练几何图形动点问题分类
中考数学专题训练—几何图形动点问题分类
类型一圆的动点问题
1.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ为半径作⊙Q.
（1）求证：
直线AB是⊙Q的切线；
（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为点M，若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（3）在
（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切，若存在，请直接写出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．
第1题图
（1）证明：
如解图，连接QP，
∵y＝－x＋3交坐标轴于A，B两点，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝
＝5，
∵AQ＝5t，AP＝4t，
在△APQ与△AOB中，
＝＝t，＝＝t，
∴＝，
又∵∠PAQ＝∠OAB，
∴△APQ∽△AOB，
∴∠APQ＝∠AOB＝90°，
又∵PQ为⊙Q的半径，
∴AB为⊙Q的切线；
第1题解图①
（2）解：
①当直线CM在⊙Q的左侧与⊙Q相切时，如解图①，连接DQ，
∵AP⊥QP，AP＝4t，AQ＝5t，
∴PQ＝3t，
∴易得四边形DQPM为正方形，
∴MP＝DQ＝QP＝3t，
∴cos∠BAO＝＝＝，
又∵MA＝MP＋PA＝3t＋4t＝7t，
AC＝AO－CO＝4－m，
∴＝，∴m＝＝－t＋4；
②当直线CM在⊙Q的右侧与⊙O相切时，如解图②，连接DQ，PQ，由①易得MA＝PA－PM＝4t－3t＝t，
第1题解图②
AC＝4－m，∴＝，
∴m＝－t＋4；
综上所述，m与t的函数关系式为m＝－t＋4或m＝－t＋4；
（3）解：
存在，点C的坐标为（－，0）或（，0）或（－，0）或（，0）．
【解法提示】①如解图③，当⊙Q在y轴的右侧与y轴相切，
∴OQ＝QP＝3t，
∴OA＝OQ＋QA＝3t＋5t＝8t＝4，
∴t＝，
第1题解图③
则m＝－t＋4＝－，
∴C1（－，0）；
m＝－t＋4＝，
∴C2（，0）；
②如解图④，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切，
OA＝AQ－OQ＝5t－3t＝2t＝4，
∴t＝2，
第1题解图④
则m＝－t＋4＝－，
∴C3（－，0）；
m＝－t＋4＝，
∴C4（，0）．
综上所述，点C的坐标为（－，0）或（，0）或（－，0）或（，0）．
类型二特殊四边形的动点问题
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝8，∠BAD＝60°.点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFHG.设点E运动的时间为t秒．
（1）求线段EF的长（用含t的代数式表示）；
（2）求点H与点D重合时t的值；
（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．
第2题图
解：
（1）由题意可知AE＝2t，0≤t≤4，
∵EF⊥AD，∠BAD＝60°，
∴sin∠BAD＝＝，
∴EF＝AE＝t；
（2）如解图①，∵点H与点D重合，菱形ABCD中，∠DAC＝∠BA＝30°，AD＝AB＝8，
∴在Rt△ADG中，DG＝AD·tan30°＝8×＝，
∴在矩形FEGD中，EF＝DG＝，
由
（1）知EF＝＝t，
∴t＝；
第2题解图①
（3）①当0∵AE＝2t，∠BAD＝60°，∠DAC＝30°，
∴EF＝t，AH＝HG＝EF＝3t，AF＝t，
∴FH＝AH－AF＝2t，
∴S＝EF·FH＝t·2t＝2t2；
②如解图②，当设GH与CD交于点M，由
（2）知∠DAC＝30°，
∴在菱形ABCD中，∠BAC＝30°，
∵EG∥AD，
∴∠AGE＝∠DAC＝30°，
∴∠BAC＝∠AGE，
∴AE＝EG，
∵AE＝2t，EF＝t，∠BAD＝60°，
∴在Rt△AFE中，AF＝AE·cos60°＝2t×＝t，
∴DF＝8－t，
∵AE＝EG＝FH＝2t，
∴DH＝2t－（8－t）＝3t－8，
∵AB∥CD，
∴∠HDM＝∠BAD＝60°，
∴在Rt△DHM中，HM＝DH·tan60°＝（3t－8），
则DH＝3t－8，HM＝（3t－8），
第2题解图②
∴S＝S矩形HGEF－S△DHM＝EF·FH－DH·HM＝2t2－（3t－8）·（3t－8）
＝2t2－（9t2－48t＋64）
＝2t2－t2＋24t－32
＝－t2＋24t－32，
∴S与t之间的函数关系为
S＝
3.如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，动点P以2厘米/秒的速度从点A出发，沿△AED的边按照A→E→D→A的顺序运动一周．设点P从点A出发经x（x>0）秒后，△ABP的面积是y.
（1）若AB＝8厘米，BE＝6厘米，当点P在线段AE上时，求y关于x的函数表达式；
（2）已知点E是BC的中点，当点P在线段ED上时，y＝x；当点P在线段AD上时，y＝32－4x.求y关于x的函数表达式．
第3题图
解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝90°，
又∵AB＝8，BE＝6，
∴AE＝
＝
＝10，
如解图①，过点B作BH⊥AE于点H，
第3题解图①
∵S△ABE＝AE·BH＝AB·BE，
∴BH＝，
又∵AP＝2x，
∴y＝AP·BH＝x（0（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
AB＝DC,AD＝BC，
∵E为BC中点，
∴BE＝EC，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE，
∵y＝x（P在ED上）,y＝32－4x（P在AD上），
当点P运动至点D时，
可联立得，，
解得x＝5，
∴AE＋ED＝2x＝10，
∴AE＝ED＝5，
当点P运动一周回到点A时，y＝0，
∴y＝32－4x＝0,解得x＝8，
∴AE＋DE＋AD＝16，
∴AD＝BC＝6，
∴BE＝3，
在Rt△ABE中，
AB＝
＝4，
如解图②，过点B作BN⊥AE于N，则BN＝，
第3题解图②
∴y＝x（0∴y＝.
4.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G.
（1）求证：
△CDE≌△CBF；
（2）当DE＝时，求CG的长；
（3）连接AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？
若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．
第4题图
（1）证明：
如解图，在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠CBA＝∠CBF＝∠DCB＝90°，
第4题解图
∴∠1＋∠2＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△CDE和△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（ASA）;
（2）解：
在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF，
∴＝，
由
（1）知，△CDE≌△CBF，
∴BF＝DE＝，
∵正方形的边长为1，
∴AF＝AB＋BF＝，
AE＝AD－DE＝，
∴＝，
∴BG＝，
∴CG＝BC－BG＝；
（3）解：
不能．
理由：
若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE＝CG，
∴AD－AE＝BC－CG，
∴DE＝BG，
由
（1）知，△CDE≌△CBF，
∴DE＝BF，CE＝CF，
∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，
∴∠GFB＝45°，∠CFE＝45°，
∴∠CFA＝∠GFB＋∠CFE＝90°，
此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，
∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．
5.如图，在正方形ABCD中，点E，G分别是边AD，BC的中点，AF＝AB.
（1）求证：
EF⊥AG；
（2）若点F，G分别在射线AB，BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）?
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB时，求△PAB周长的最小值．
第5题图
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，
∠EAF＝∠ABG＝90°，
∵点E，G分别是边AD，BC的中点，AF＝AB，
∴＝，＝，
∴＝，
又∵∠EAF＝∠ABC＝90°，
∴△AEF∽△BAG，
∴∠AEF＝∠BAG，
又∵∠BAG＋∠EAO＝90°，
∴∠AEF＋∠EAO＝90°，
∴∠EOA＝90°，即EF⊥AG；
（2）解：
EF⊥AG仍然成立；
（3）解：
如解图，过点O作MN∥AB分别交AD、BC于点M，N，连接PA，
第5题解图
∵P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB，
∴点P在线段MN上（不含端点），
作点A关于MN的对称点A′，连接BA′交MN于点P，
此时PA＋PB＝PA′＋PB＝BA′最小，即△PAB的周长最小．
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AE＝AD＝2，AF＝AB＝1，
∴EF＝
＝，
OA＝＝，
∵∠AMO＝∠EOA，∠EAO＝∠EAO，
∴△EOA∽△OMA，
∴＝，
∴OA2＝AM·AE，
∴AM＝
＝，
∴A′A＝2AM＝，
∴BA′＝
＝，
故△PAB周长的最小值为4＋.
类型三三角形的动点问题
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AB＝4cm.点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ.设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．
（1）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；
（2）当0（3）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．
第6题图
解：
（1）如解图①，延长FE交AB于点G，
由题意，得AP＝2x，
∵D为PQ中点，
∴DQ＝DP＝x，
∵四边形DEFQ为正方形，
∴DQ＝DE＝GP＝x，
∵FG⊥AB，∠B＝45°，
∴△FGB是等腰直角三角形，
∴BG＝FG＝PQ＝2x，
∴AP＋PG＋BG＝AB，
即2x＋x＋2x＝4，∴x＝，
第6题解图①
（2）当0∴y＝x2，（0＜x≤）
如解图②，当∵PQ＝AP＝2x，
∴CK＝2－2x，
∴MQ＝2CK＝4－4x，
∴FM＝x－（4－4x）＝5x－4，
∴y＝S正方形DEFQ－S△MNF＝DQ2－FM2，
∴y＝x2－（5x－4）2＝－x2＋20x－8，
∴y＝－x2＋20x－8（＜x≤1），
第6题解图②
如解图③，当1∴DQ＝2－x，
∴y＝S△DEQ＝DQ2，
∴y＝（x－2）2，
∴y＝x2－2x＋2（1＜x＜2），
第6题解图③
（3）1【解法提示】当Q与C重合时，E为BC的中点，2x＝2，∴x＝1；当Q为BC的中点时，BQ＝，PB＝1，∴AP＝3，∴2x＝3，∴x＝，∴x的取值范围是17.如图，已知△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm.如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s.连接PQ，设运动的时间为t（单位：
s）（0≤t≤4）．
第7题图
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为S（单位：
cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？
若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
解：
（1）由题意知BP＝2t，AP＝10－2t，AQ＝2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴＝，
即＝，解得t＝，
即当t为s时，PQ∥BC；
（2）∵AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠C＝90°，
如解图，过点P作PD⊥AC于点D，
第7题解图
则PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝（10－2t），
∴S＝AQ·PD＝·2t·（10－2t）＝－t2＋6t＝－（t－）2＋7.5，
∵－<0，抛物线开口向下，有最大值，
∴当t＝秒时，S有最大值，最大值是7.5cm2；
（3）不存在．理由如下：
假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，则S△AQP＝S△ABC，
即－t2＋6t＝××8×6，
整理得t2－5t＋10＝0，
∵b2－4ac＝（－5）2－4×10＝－15<0，
∴此方程无解，
即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动．M，N分别是AD，CD的中点，连接MN.设点D运动的时间为t.
（1）判断MN与AC的位置关系；
（2）求在点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；
（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值．
第8题图
解：
（1）MN∥AC.
证明：
在△ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，
∴MN∥AC；
（2）如解图①，分别取△ABC三边中点E，F，G并连接EG，FG，
第8题解图①
根据题意，可知线段MN扫过区域的面积就是▱AFGE的面积．
∵AC＝6，BC＝8，
∴AE＝3，GC＝4，
∵∠ACB＝90°，
∴S▱AFGE＝AE·GC＝12，
∴线段MN扫过区域的面积为12；
（3）依题意可知，MD＝AD，DN＝DC，MN＝AC＝3.
分三种情况讨论：
（ⅰ）当MD＝MN＝3时，△DMN为等腰三角形，此时AD＝AC＝6，
∴t＝6.
（ⅱ）当MD＝DN时，AD＝DC.
如解图②，过点D作DH⊥AC于点H，则AH＝AC＝3，
第8题解图②
∵cosA＝＝，AB＝10，
即＝.
∴t＝AD＝5.
（ⅲ）当DN＝MN＝3时，AC＝DC，
如解图③，连接MC，则CM⊥AD.
第8题解图③
∵cosA＝＝，即＝，
∴AM＝，
∴t＝AD＝2AM＝.
综上所述，当t＝5或6或时，△DMN为等腰三角形．
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