二轮微专题年以几何图形为载体的应用题.docx
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二轮微专题年以几何图形为载体的应用题
微专题38 以几何图形为载体的应用题
数学源于生活,应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现.数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点,常以中档题(17或18题)的形式呈现,具有良好的区分度,是高考的重点与热点.本专题集中介绍以平面几何为载体的应用问题,常见的处理方法是结合实际问题,利用图形中的几何关系建立数学模型,应用相关数学知识予以解决.
如图381所示,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P,Q分别在边BC,CD上).
图381
(1)探求△CPQ的周长l是否为定值;
(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米?
考查应用题是江苏的一大特色,除个别年份以外,每年的高考应用题都配有一个图形,其中以平面图形居多,本题也不例外,本题的解题思路是分析图形特征及已知条件,选择适当的变量,法一选用角度∠PAQ=θ作为变量,注意到本题的图形特点,换元t=tanθ后将题中的l和S表示为t的函数,最后利用函数知识求结果.
如图382所示,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.现要在该区域内修建观赏景观,在△APQ区域和△CPQ区域中分别种花和铺设草坪,设三角形△APQ和△CPQ的面积分别为S1和S2,记视觉效果为Ω=
(Ω的值越大,视觉效果越好),试问怎样设计该景观,使得游客观赏景观的视角效果最好?
图382
如图383所示,有一块矩形草坪ABCD,AB=100米,BC=50
米,欲在这块草坪内铺设三条小路OE,EF和OF,要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且∠EOF=90°.
图383
(1)设∠BOE=α,试求△OEF的周长l关于α的函数解析式,并求出此函数的定义域;
(2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?
并求出最低总费用.
(2020泰州模拟)如图384所示,三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上,点Q是弧AB的中点.现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O,Q重合),为小区铺设三条地下电缆管线PO,PA,PB.已知OA=2km,∠AOB=
.记∠APQ=θrad,地下电缆管线的总长度为ykm.
图384
(1)将y表示为θ的函数,并写出θ的取值范围;
(2)请确定工作坑P的位置,使地下电缆管线的总长度最小.
(2020·常州模拟)某公园要设计如图385所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得,如图386中所示的多边形ABCDEFGH),整体设计方案要求:
内部井字形的两根水平横轴AF=BE=1.6m,两根竖轴CH=DG=1.2m,记景观窗格的外框(图38-6中实线部分,轴和边框的粗细忽略不计)总长度为lm.
(1)若∠ABC=
,且两根横轴之间的距离为0.6m,求景观窗格的外框总长度;
(2)由于预算经费限制,景观窗格的外框总长度不超过5m,当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH的面积)最大时,给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度.
图38-5图38-6
(2019·江苏卷)如图387,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA.规划要求:
线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:
百米).
图387
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?
并说明理由;
(3)对规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:
百米).求当d最小时,P,Q两点间的距离.
(本小题满分14分)(2020·苏州模拟)如图3810所示,B,C分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C之间的距离为100km,海岛A在城市B的正东方50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西θ角α<θ<
,其中锐角α的正切值为
航行到海岸公路P处登陆,再换乘汽车到城市C.已知船速为25km/h,车速为75km/h.
(1)试建立由A经P到C所用时间与θ的函数解析式;
图3810
(2)试确定登陆点P的位置,使所用时间最少,并说明理由.
(1)f(θ)=
+
,θ∈
;
(2)在BC上选择距离B为17.68km处为登陆点,所用时间最少.
(1)由题意,轮船航行的方位角为θ,所以∠BAP=90°-θ,AB=50,
则AP=
=
,BP=50tan(90°-θ)=
=
.
…………………………………………………………………………………2分(求AP,BP用θ表示)
PC=100-BP=100-
.由A到P所用的时间为t1=
=
,
……………………………………………………………4分(求出A到P的时间t1(用θ表示))
由P到C所用的时间为t2=
=
-
,
……………………………………………………………………………6分(求出P到C所用的时间t2(用θ表示))
所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为
f(θ)=t1+t2=
+
-
=
+
.
…………………………………………………………………8分(求由A经P到C所用的时间关于θ的函数f(θ))
函数f(θ)的定义域为
,其中锐角α的正切值为
.
(2)由
(1),f(θ)=
+
,θ∈
,f′(θ)=
,
令f′(θ)=0,解得cosθ=
,设θ0∈
,使cosθ0=
………………………………………………………………10分(求f(θ)的导函数f′(θ).并求出f′(θ)=0时θ的值)
θ
(α,θ0)
θ0
f′(θ)
-
0
+
f(θ)
减函数
极小值
增函数
表381
…………………………………………………………………………………………………12分(列表判断f(θ)的单调性)
所以如表381所示,当θ=θ0时函数f(θ)取得最小值,此时BP=
=
≈17.68km,
答:
在BC上选择距离B为17.68km处为登陆点,所用时间最少.
…………………………………………………………………14分(求出f(θ)的最小值以此时BP的值)
(注:
结果保留根号,不扣分)
答题模板 第一步:
在Rt△ABP中,求出AP,BP(用θ表示);
第二步:
求出A到P的时间t1;
第三步:
用θ表示P到C所用的时间t2;
第四步:
写出A经P到C所用的时间关于θ的函数f(θ);
第五步:
求f(θ)的导函数f′(θ),并求f′(θ)=0时cosθ的值;
第六步:
判断f(θ)的单调性;
第七步:
由f(θ)的单调性得f(θ)取最小值时的cosθ的值进而求出BP.
作业评价
如图3811所示,某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园,种植桃树,已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200米.现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.
(1)若围墙AP,AQ总长为200米,如何围可使三角形地块APQ的面积最大?
(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元.若围墙用了20000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?
图3811
(2018·江苏卷)某农场有一块农田,如图3812所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.
(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围;
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
图3812
(2019·南通二模)图3814是一栋新农村别墅,它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图3815,屋顶由四坡屋面构成,其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形.点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H,M.已知HM=5m,BC=10m,梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍.设∠FMH=θ(0<θ<
).
(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式;
(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k为正的常数),下部主体造价与其高度成正比,比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅,试问:
当θ为何值时,总造价最低?
图3814 图3815
(2020·泰州模拟)如图3817所示,三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上,点Q是弧AB的中点.现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O,Q重合),为小区铺设三条地下电缆管线PO,PA,PB.已知OA=2km,∠AOB=
.记∠APQ=θrad,地下电缆管线的总长度为ykm.
(1)将y表示为θ的函数,并写出θ的取值范围;
(2)请确定工作坑P的位置,使地下电缆管线的总长度最小.
图3817