控制系统的根轨迹.docx
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控制系统的根轨迹
【实验名称】
控制系统的根轨迹
【实验目的】
1）掌握MATLAB软件绘制根轨迹的方法。
2）分析参数变化对根轨迹的影响。
3）利用根轨迹法对控制系统性能进行分析。
【实验仪器】
1）PC机一台
2）MATLAB软件
【实验原理】
（1）根轨迹的概念
经典控制理论中，为了避开直接求解高阶特征方程式根时遇到的困难，提出了一种图解求根的方法，即根轨迹法。
根轨迹是指当系统的某个参数从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在复平面上的变化曲线。
常规根轨迹一般取开环增益K作为可变参数，根轨迹上的点应满足根轨迹方程：
其中
---开环零点，
---开环极点，
---根轨迹增益，是一个变化的参数（
），
为一常数。
系统结构图如下:
图6-1闭环系统结构图
闭环特征根（即根轨迹上的点）应满足
（1）幅值条件：
；
（2）相角条件：
。
（2）用MATLAB软件绘制根轨迹
MATLAB7.0提供的工具箱给出了一系列关于根轨迹的函数，如表2-1所示。
使用这些函数能够很方便地绘制出系统的常规根轨迹和参数根轨迹，还能基于根轨迹对系统性能进行分析。
表6-1根轨迹函数
函数名
函功能描述
pzmap
绘制零极点
rlocfind
计算给定根轨迹增益
rlocus
计算并绘制根轨迹
rltool
根轨迹设计GUI工具
sgrid
绘制连续时间系统根轨迹和零极点图中的阻尼系数和自然频率网格
zgrid
绘制离散时间系统根轨迹和零极点图中的阻尼系数和自然频率网格
①pzmap
调用格式：
pzmap（sys）;[p,z]=pzmap（sys）
②rlocfind
调用格式：
[k,poles]=rlocfind（sys）;[k,poles]=rlocfind（sys,p）
③rlocus
调用格式：
rlocus（sys）;rlocus（sys,k）;[r,k]=rlocus（sys）;r=rlocus（sys,k）
④rltool
调用格式：
rltool（plant）;rltool（plant,comp）
⑤sgrid
调用格式：
sgrid;sgrid（z,wn）
⑥zgrid
调用格式：
zgrid;zgrid（z,wn）
【实验内容与步骤】
系统的开环传递函数：
绘制系统的根轨迹图。
程序：
num=[1]；
den=[1320]；
rlocus（num,den）
执行后得到如下图形：
（1）采用上述方法绘制开环传递函数
当a=1,0.5,8,10时系统的根轨迹，记录根轨迹图并分析。
z=[-1];
p=[00-1];
G=zpk（z,p,1）;
rlocus（G）
z=[-1];
p=[00-0.5];
G=zpk（z,p,1）;
rlocus（G）
z=[-1];
p=[00-8];
G=zpk（z,p,1）;
rlocus（G）
z=[-1];
p=[00-10];
G=zpk（z,p,1）;
rlocus（G）
（2）绘制开环传递函数
的闭环根轨迹，并确定根轨迹上任意点处的
值及对应的闭环特征根。
num=[15];
den=[1160];
rlocus（num,den）
[k,p]=rlocfind（num,den）
gtext（‘k=0.5’）
执行时先画出了根轨迹，并提示用户在图形窗口中选择根轨迹上的一点，以计算出增益
及相应的极点。
这时将十字光标放在根轨迹与虚轴的交点处，可得
k=0.5072
p=-3.2271
-0.8921
-0.8808
输入如下语句：
K=10；s1=tf（[1010*5],[1560]）;
sys=feedback（s1,1）;
step（sys）；
holdon;
impulse（sys）；
可以求出
时的单位阶跃响应和冲激响应。
按照上述方法记录
时的单位阶跃响应和冲激响应曲线。
K=5;s1=tf（[1010*5],[1560]）;
sys=feedback（s1,1）;
step（sys）;
holdon;
impulse（sys）;
★按照上述方法绘制开环传递函数的闭环根轨迹，确定与虚轴交点处的
值。
a.
num=[1];
den=[1231];
rlocus（num,den）
[k,p]=rlocfind（num,den）
k=
5.1444
p=
-2.0204
0.0102+1.7439i
0.0102-1.7439i
b.
。
利用语句:
s1=conv（[10],[14]）;
s2=conv（s1,[140]）;den=s2;
num=[1];
s1=conv（[10],[14]）;
den=conv（s1,[140]）;
rlocus（num,den）
[k,p]=rlocfind（num,den）
k=
0.0105
p=
-4.0002+0.0256i
-4.0002-0.0256i
0.0002+0.0256i
0.0002-0.0256i
num=[1];
s1=conv（[10],[14]）;
den=conv（s1,[145]）;
rlocus（num,den）
[k,p]=rlocfind（num,den）
k=
45.6850
p=
-3.9945+1.5742i
-3.9945-1.5742i
-0.0055+1.5742i
-0.0055-1.5742i
num=[1];
s1=conv（[10],[14]）;
den=conv（s1,[1420]）;
rlocus（num,den）
[k,p]=rlocfind（num,den）
k=
257.7863
p=
-3.9901+3.1560i
-3.9901-3.1560i
-0.0099+3.1560i
-0.0099-3.1560i
（3）一种具有高性能微型机器人的传递函数为：
（a）画出系统的根轨迹图；
（b）求使闭环系统稳定的增益范围。
MATLAB程序：
z=[-1,-2,-3];p=[0,0,0,1];k=10;G=zpk（z,p,k）;rlocus（G）；
sys=feedback（G,1）;step（sys）;
由根轨迹图和运行数据知，当
时，闭环系统稳定,与之对应的振荡频率为4.08rad/sec？
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