版第2章223独立重复试验与二项分布.docx

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版第2章223独立重复试验与二项分布

2．2.3　独立重复试验与二项分布

1．理解n次独立重复试验的模型．

2．理解二项分布．（难点）

3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．（重点）

[基础·初探]

教材整理　独立重复试验与二项分布

阅读教材P56～P57，完成下列问题．

1．n次独立重复试验

一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．

2．二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．

1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为（　　）

A.　　　　　　　　　B.

C.D.

【解析】　抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P＝C×＝.

【答案】　B

2．独立重复试验满足的条件是________．（填序号）

①每次试验之间是相互独立的；

②每次试验只有发生和不发生两种情况；

③每次试验中发生的机会是均等的；

④每次试验发生的事件是互斥的．

【解析】　由n次独立重复试验的定义知①②③正确．

【答案】　①②③

3．已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P（X＝2）等于________.

【导学号：

29472063】

【解析】　P（X＝2）＝C＝.

【答案】　

4．姚明比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是________．

【解析】　设随机变量X表示“3次罚球，中的次数”，则X～B（3,0.9），所以他在3次罚球中罚失1次的概率为P（X＝2）＝C0.92×（1－0.9）＝0.243.

【答案】　0.243

[小组合作型]

独立重复试验中的概率问题

　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．

（1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；

（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．

【自主解答】　

（1）记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验．

故P（A1）＝1－P（）＝1－＝，

所以甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率为.

（2）记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则

P（A2）＝C××＝；

P（B2）＝C××＝.

由于甲、乙射击相互独立，故

P（A2B2）＝P（A2）P（B2）＝×＝.

所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.

独立重复试验概率求法的三个步骤

1．判断：

依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．

2．分拆：

判断所求事件是否需要分拆．

3．计算：

就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．

[再练一题]

1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）：

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；

（2）5次预报中至少有2次准确的概率．

【解】　

（1）记“预报一次准确”为事件A，则P（A）＝0.8.

5次预报相当于5次独立重复试验，恰有2次准确的概率为

C0.82×0.23＝0.0512≈0.05.

因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.

（2）“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为C（0.2）5＋C×0.8×0.24＝0.00672≈0.01.

故所求概率为1－0.01＝0.99.

二项分布

　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.

（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；

（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．

【精彩点拨】　

（1）首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．

（2）注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．

【自主解答】　

（1）ξ～B，ξ的分布列为P（ξ＝k）

＝C，k＝0,1,2,3,4,5.

（2）η的分布列为P（η＝k）＝P（前k个是绿灯，第k＋1个是红灯）＝·，k＝0,1,2,3,4；

P（η＝5）＝P（5个均为绿灯）＝.

故η的分布列为

η

0

1

2

3

4

5

P

1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B（n，p）中的试验次数n与成功概率p.

2．解决二项分布问题的两个关注点

（1）对于公式P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…，n）必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．

（2）判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：

一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．

[再练一题]

2．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列．

【解】　有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.

所以X的分布列为：

X

0

1

2

3

P

[探究共研型]

独立重复试验与二项分布综合应用

探究1　王明在做一道单选题时，从A、B、C、D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？

两点分布与二项分布有何关系？

【提示】　做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布．

探究2　王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？

为什么？

【提示】　服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：

对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．

探究3　王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？

如何判断一随机变量是否服从二项分布？

【提示】　不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．

　甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．

（1）求随机变量ξ的分布列；

（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）．

【精彩点拨】　

（1）由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝；

（2）AB表示事件A、B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．

【自主解答】　

（1）由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且

p（ξ＝0）＝C＝，

P（ξ＝1）＝C＝，

P（ξ＝2）＝C＝，

P（ξ＝3）＝C＝.

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

P

（2）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，

又P（C）＝C

＝，

P（D）＝C＝，

由互斥事件的概率公式得

P（AB）＝P（C）＋P（D）＝＋＝＝.

对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．

[再练一题]

3．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中，

（1）至少有1棵成活的概率；

（2）两种大树各成活1棵的概率.

【导学号：

29472064】

【解】　设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1,2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1,2，则A1，A2，B1，B2相互独立，且P（A1）＝P（A2）＝，P（B1）＝P（B2）＝.

（1）至少有1棵成活的概率为1－P（···）

＝1－P（）·P（）·P（）·P（）

＝1－＝.

（2）由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为

P＝C·C＝×＝＝.

1．已知X～B，则P（X＝2）等于（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】　P（X＝2）＝C＝.

【答案】　D

2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P（ξ＝3）＝（　　）

A．C×B．C×

C.×D.×

【解析】　ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是×.

【答案】　C

3．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________.

【导学号：

29472065】

【解析】　每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，

设申请A片区房源记为A，则P（A）＝，

所以恰有2人申请A片区的概率为C··＝.

【答案】　

4．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________．（用数字作答）

【解析】　分情况讨论：

若共有3人被治愈，则P1＝C0.93×（1－0.9）＝0.2916；若共有4人被治愈，则P2＝0.94＝0.6561.故至少有3人被治愈的概率为P＝P1＋P2＝0.9477.

【答案】　0.9477

5．一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列．

【解】　依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果都是相互独立的，所以X～B.

故P（X＝k）＝C＝C，

k＝0,1,2，…，6.

因此所求X的分布列为

X

0

1

2

3

4

5

6

P

学业分层测评

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．在某次试验中，事件A出现的概率为p，则在n次独立重复试验中出现k次的概率为（　　）

A．1－pk　　　　　　　B．（1－p）kpn－k

C．1－（1－p）kD．C（1－p）kpn－k

【解析】　出现1次的概率为1－p，由二项分布概率公式可得出现k次的概率为C（1－p）kpn－k.

【答案】　D

2．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为（　　）

A.　　　B.C.　　　D.

【解析】　此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P＝C·2·3＝.

【答案】　B

3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为（　　）

A.　　　B.C.　　　D.

【解析】　设所求概率为p，则1－（1－p）4＝，得p＝.

【答案】　A

4．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（　　）

A.B.

C.D.

【解析】　甲队获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时P1＝2＝；二是甲以2∶1获胜，此时P2＝C×××＝，故甲队获胜的概率P＝P1＋P2＝＋＝.

【答案】　A

5．若随机变量ξ～B，则P（ξ＝k）最大时，k的值为（　　）

A．1或2B．2或3

C．3或4D．5

【解析】　依题意P（ξ＝k）＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.

可以求得P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝，P（ξ＝5）＝.故当k＝2或1时，P（ξ＝k）最大．

【答案】　A

二、填空题

6．下列说法正确的是________．（填序号）

①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B（10,0.6）；

②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B（8，p）；

③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.

【解析】　①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．

【答案】　①②

7．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率是________．

【解析】　设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋”，且事件A、B相互独立．

所以P（AB＋　）＝P（A）P（B）＋P（）P（）＝×＋＝.

【答案】　

8．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为______．（用数字作答）

【解析】　由已知可求通项公式为an＝10－2n（n＝1,2,3，…），其中a1，a2，a3，a4为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为＝，取得负数的概率为.

∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C×2×1＝.

【答案】　

三、解答题

9．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列．

【解】　由已知每位参加保险人员选择A社区的概率为，4名人员选择A社区即4次独立重复试验，

即X～B，所以P（X＝k）＝C·k·4－k（k＝0,1,2,3,4），所以X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

10.甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每局比赛的胜负是相互独立的．

（1）求甲队以3∶2获胜的概率；

（2）求乙队获胜的概率．

【解】　

（1）设甲队以3∶2获胜的概率为P1，则P1＝C2·2·＝.

（2）设乙队获胜的概率为P2，则P2＝3＋C2··＋C2·2·＝.

[能力提升]

1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（　　）

A．0.216　B．0.36　　C．0.432　D．0.648

【解析】　甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p2＝C×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p＝p1＋p2＝0.648.

【答案】　D

2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P（ξ＝12）等于（　　）

A．C102B．C102

C．C102D．C92

【解析】　当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P（ξ＝12）＝C92.

【答案】　B

3．设随机变量X～B（2，p），随机变量Y～B（3，p），若P（X≥1）＝，则P（Y≥1）＝________.

【导学号：

29472066】

【解析】　因为X～B（2，p），所以P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－C（1－p）2＝，解得p＝.

又Y～B（3，p），所以P（Y≥1）＝1－P（Y＝0）＝1－C（1－p）3＝.

【答案】　

4．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：

用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．

（1）求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；

（2）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列．

【解】　

（1）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是（石头，石头），（石头，剪刀），（石头，布），（剪刀，石头），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），（布，剪刀），（布，布），共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共有3个．

所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝.

（2）X的可能取值分别为0,1,2,3，X～B，

则P（X＝0）＝C·3＝，

P（X＝1）＝C·1·2＝，

P（X＝2）＝C·2·1＝，

P（X＝3）＝C·3＝.

X的分布列如下：

X

0

1

2

3

P