北师大版数学教案九上第3章 证明三.docx

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北师大版数学教案九上第3章证明三

第三章证明（三）

课　　题

§3.1.1　平行四边形

（一）

第1课时

共3课时

教　　学

目　　标

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．

2．能够用综合法证明平行四边形的性质定理．

3．体会证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法．

重　　点

平行四边形的性质定理的证明．

难　　点

探索、寻求性质定理的证明过程．

教学过程：

一、巧设现实情景，引入新课

任意作一个四边形，依次连接它四边的中点，你能得到一个怎样的四边形？

结论对所有的四边形都成立吗？

任意的一个四边形，依次连接其四边的中点，所得到的四边形是平行四边形．对于所有的四边形，此结论都成立．为什么呢？

你能用推理的方法说明它吗？

从今天开始，我们就来学习第三章．

实际上，利用前面学过的公理和定理，我们可以证明许多与四边形有关的结论．今天我们就来证明特殊的四边形——平行四边形的性质．

二、讲授新课

（1）平行四边形：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．它既是性质，又是判定．

平行四边形除了具有两组对边分别平行这一特殊性质外，还有什么特殊性质？

平行四边形的对边相等．平行四边形的邻角互补．平行四边形的对角相等．平行四边形的对角线互相平分．夹在两条平行线间的平行线段相等．

（2）证明“平行四边形的对边相等”

已知四边形ABCD是平行四边形，求证：

AB＝CD，BC＝DA．

（3）证明：

等腰梯形在同一底上的两个角相等．

如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．求证：

∠B＝∠C，∠A＝∠D．

等腰梯形的性质定理：

等腰梯形在同一底上的两个角相等

∵在梯形ABCD中，AD//BC,AB＝DC，

∴∠B＝∠C，∠A＝∠D．

（4）逆命题是：

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．

已知在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝∠C求证：

AB＝CD．

等腰梯形的判定定理：

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．．

三、课堂练习

（一）课本P74，随堂练习1、2

1．证明；平行四边形的对角线互相平分．

如下图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．求证：

OA＝OC，OB＝OD．

2．证明：

夹在两条平行线间的平行线段相等．

如图，已知l1//l2，AB、CD是l1、l2之间的任意平行线段．求证：

AB＝CD．

（二）看课本P72～P74，然后小结．

四、课时小结

本节课我们主要利用前面学过的公理和定理来证明了平行四边形的性质定理及等腰梯形的性质定理、判定定理．

五、课后作业

（一）课本P74习题3.1　1、2

（二）预习内容：

课本P75～P76．

板书设计

§3.1.1　平行四边形

（一）

一、定理：

平行四边形的对边相等．

（图及证明过程）

二、证明：

等腰梯形在同一底上的两个角相等．

三、课堂练习

教学反思

课　　题

§3.1.2　平行四边形

（二）

第2课时

共3课时

教　　学

目　　标

1．推理论证能力的培养；

2．能够用综合法证明平行四边形的判定定理；

3．体会在证明过程中所运用的类比、转化、归纳等数学思想方法．

重　　点

平行四边形的判定定理．

难　　点

探索、寻找判定定理．

教学过程：

一、巧设现实情景，引入新课

上节课我们研究了平行四边形的性质定理．下面我们来做一练习以复习上节课的知识．

如上图；

（1）若四边形ABCD是平行四边形，则∠A＝______，∠B______；

（2）若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝______，BC＝______；

（3）若四边形ABCD是平行四边形，则AB______CD；

（4）若平行ABCD的对角线AC、BD交于点O，则OA＝____，OB＝______.

这节课我们就来研究平行四边形的判定定理．

二、讲授新课

（1）平行四边形的性质定理的逆命题都是正确的．

平行四边形的判定定理

定理：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

定理：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

定理：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

定理：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

（2）求证：

如图中的四边形MNOP是平行四边形．

三、课堂练习

（一）课本P76随堂练习2、3．

2．如下图，已知在□ABCD中，BF＝DE．

求证：

四边形AFCE是平行四边形．

3．如图，已知在□ABCD中，∠ABC的平分线与AD相交于点P．

求证：

PD＋CD＝BC．

（二）看课本P75～P76，然后小结．

四、课时小结

本节课我们主要探讨并证明了平行四边形的判定定理、课本以“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”和“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这两个定理为主，以其他两个为辅，但我们都要掌握，并且在解题过程中应灵活应用．

五、课堂作业

课本P77　习题3.2　2

板书设计

§3.1.2　平行四边形

（二）

一、猜想：

二、做一做

三、课堂练习

四、课时小结

五、课后作业

教学反思

课　　题

§3.1.3　平行四边形（三）

第3课时

共3课时

教　　学

目　　标

1．了解三角形的中位线的定义．

2．会证明三角形中位线定理．

重　　点

三角形中位线定理的证明．

难　　点

三角形中位线定理的证明．

教学过程：

一、巧设现实情景，引入新课

任意作一个四边形．依次连接它各边的中点，这时我们得到一个怎样的四边形呢？

顺次连接不同的四边形各边中点，所得到的均是平行四边形．这种神奇的结论与三角形中的一条重要线段有关，这就是三角形的中位线．这节课我们就来研究三角形的中位线及其性质．

二、讲授新课

（1）三角形的中位线：

连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．

求证：

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

如下图，已知DE是△ABC的中位线．求证：

DE//BC，DE＝

BC．

定理：

三角形的中位线平行于第三边．且等于第三边的一半．

应用时书写：

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE//BC，DE＝

BC．

（2）做一做：

如下图，任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四边形的形状有什么特征？

请你证明你的结论，并与同伴进行交流．

三、课堂练习

（一）课本P80随堂练习1

如图，A、B两地被池溏隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A、B间的距离：

先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点M、N，并测出了MN的长，由此他就知道了A、B间的距离．你能说说其中的道理吗？

答：

因为MN是△ABC的中位线，因此：

MN＝

AB，即AB＝2MN．

（二）读一读，P81“比赛的名次”．

四、课时小结

这节课我们主要探讨了三角形的中位线的定义及其性质．

三角形的中位线定理：

∵点D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE//BC，DE＝

BC．

五、课后作业

课本P83习题3.3　1、2、3、4

板书设计

§3.1.3　平行四边形（三）

一、三角形的中位线：

连接三角形两边的中点的线段．

二、定理：

三角形的中位线平行于第三边。

且等于第三边的一半．

三、做一做

四、课堂练习

五、课时小结

教学反思

课　　题

§3.2.1　特殊平行四边形

（一）

第1课时

共3课时

教　　学

目　　标

1．能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．

2．能运用矩形的性质进行简单的证明与计算．

重　　点

矩形的性质的证明．

难　　点

矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系．

教学过程：

一、巧设现实情境，引入新课

上两节课我们探讨了平行四边形的性质定理及判定定理．下面我们来共同回忆总结：

对边平行，对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分；

两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分的四边边形是平行四边形

了解了平行四边形后，特殊的平行四边形与平行四边形的关系吗？

能用一张图来表示它们之间的关系吗？

可用下图来表示它们之间的关系：

二、讲授新课

1．前面我们已探讨过矩形的性质，矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．那你能证明它们吗？

已知四边形ABCD是矩形．求证：

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

已知矩形ABCD，求证：

AC＝DB．

定理：

矩形的四个角都是直角．矩形的对角线相等．

2．如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？

它与AC有什么大小关系？

为什么？

推论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

如图，已知BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线．

求证：

BE＝

AC．

直接应用：

∵BE是Rt△ABC的AC上的中线，

∴BE＝

AC．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

3．例题：

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2．5cm．求矩形对角线的长．

小明认为，这个题还可以这样想：

∠AOD＝120°→∠AOB＝60°→OA＝OB＝AB→AC＝20A＝2×2.5＝5（cm）．

你能帮小明写出完整的解题过程吗？

三、课堂练习

（一）课本P84随堂练习1

1．证明：

有三个角是直角的四边形是矩形．

四、课时小结

矩形的性质，现在来归纳：

五、课后作业

课本P85随堂练习1

课本P86,习题3.4　2、3

板书设计

§3.2.1　特殊平行四边形

（一）

1．文氏图（四边形的关系）

2．定理：

矩形的四个角都是直角．

定理：

矩形的对角线相等．

3．议一议：

推论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

4．例题：

　　5．课堂练习：

有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形．

教学反思

课　　题

§3.2.2　特殊平行四边形

（二）

第2课时

共3课时

教　　学

目　　标

1．菱形的性质定理的证明．

2．菱形的判定定理的证明．

3．正方形的性质及判定定理的证明．

重　　点

菱形的性质及判定定理的证明．

难　　点

菱形的性质及判定定理的证明．

教学过程：

一、巧设现实情境，引入新课

我们曾在前面探讨过另一种特殊的平行四边形——菱形．大家还记得它吗？

有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

因为菱形是特殊的平行四边形，所以它不仅具有平行四边形的所有性质，而且具有它本身独特的性质．即对边平行，四条边都相等，对角相等，对角线互相平分、垂直，并且每条对角线平分一组对角；菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形．

二、讲授新课

由于菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以根据平行四边形对边相等的性质．可以得到：

菱形的四条边相等．

1．如图，已知四边形ABCD是菱形，

求证：

AB＝BC＝CD＝DA．

2．如图：

已知在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，

求证：

AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCDBD平分∠ABC和∠ADC．

3．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，

求：

（1）对角线AC的长度；

（2）菱形ABCD的面积．

推论：

菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．

如果菱形的两条对角线长分别是a、b，则菱形的面积为S＝

a·b．

4．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积．

定理：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

已知：

在□ABCD中，对角线AC⊥BD．

求证：

□ABCD是菱形．

定理：

四条边都相等的四边形是菱形．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

三、课堂练习：

课本P88，随堂练习1．

1．证明：

四条边都相等的四边形是菱形．

如图，已知在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA

求证：

四边形ABCD是菱形．

四、课时小结

这节课我们主要证明了菱形的性质定理和判定定理．

注意：

菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形；菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，因此，有关菱形的问题，往往可转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决．要学会这种“转化”的思想方法．

五、课后作业

（一）课本P88习题3.5　1、2、3．

（二）总结特殊的平行四边形的性质及判定定理．

板书设计

§3.2.2　特殊平行四边形

（二）

1．菱形定义

菱形性质

2．例题：

3．菱形的判定定理

4．课堂练习

教学反思

课　　题

§3.2.3　特殊平行四边形（三）

第3课时

共3课时

教　　学

目　　标

1．能进一步理解掌握矩形、菱形、正方形的性质定理、判定定理．

2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．

重　　点

特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．

难　　点

特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．

教学过程：

一、巧设现实情境，引入新课

通过前几节内容的学习，我们进一步理解了平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理．

二、讲授新课

（1）想一想：

依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．（如图）能得到—个怎样的图形呢？

先猜一猜，再证明．

想一想　　　　　　　　议一议

依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．

这个题是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．

证明四边形A1B1C1D1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用中位线的性质定理和正方形的性质来证明．要灵活应用这些性质

（2）议一议

（1）依次连结菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形？

先猜一猜，再证明．

（2）依次连接平行四边形四边的中点呢？

依次连结四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关？

有怎样的关系．

（3）已知在菱形ABCD中，点A1、B1、C1、D1分别是菱形四条边的中点，

求证：

四边形A1B1C1D1是矩形．

用类比的方法，证明了连结平行四边形及特殊平行四边形各边中点得到的图形，那么大家能否得出一个一般性的结沦，即依次连结四边形各边小点所得的新四边形的形状与哪些线段有关？

有怎样的关系？

只要四边形的对角线互相垂直，那么连接这个四边形各边的中点所得到的图形就是矩形．

（4）做一做

ABCDXA表示一条环形高速公路，X表示一座水库，B、C表示两个大市镇．已知ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三角形，假设政府要铺没两条输水管XB和XC，从水库向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角（即∠BXC）是多少度？

（图见课本）

三、课堂练习

（一）课本P90，随堂练习1．

（二）看课本P89～P90，然后小结．

这节课我们主要应用了本章的主要定理解决了一些实际问题，大家应掌握本章的主要定理及推论并会灵活应用．

四、课后作业

（一）课本P91习题3.6　1、2．

（二）总结本章的知识点．

板书设计

§3.2.3　特殊平行四边形（三）

1．依次连结任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．

2．议一议

3．做一做：

4．课堂练习

教学反思

课　　题

回顾与思考

（一）

第1课时

共2课时

教　　学

目　　标

1．通过回顾与思考．进一步发展学生的推理论证能力．

2．通过回顾与思考，使学生能进一步掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形等有关的性质定理和判定定理，并会灵活应用．

重　　点

探索证明的思路与方法．

难　　点

对所学的公理、定理的灵活应用．

教学过程：

一、引入新课

本章的内容已经全部学完，这节课我们来进行复习回顾．

二、回顾与思考

分小组讨论

1．说说平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．

2．“等腰梯形在同一底上的两个角相等”与“等腰三角形的两个底角相等”的证明过程有什么联系？

矩形、菱形、正方形都是平行四边形．但它们都是有特殊性质的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而已是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角为直角的特殊菱形．它们的包含关系如图：

在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方法．如：

归纳、类比、转化等．

1.性质结构；

2.判定结构

“矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．因此我们可以用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．”

回答下列问题：

①将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们所包含的关系中．如下图．

②要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的_______相等；或先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一个角是_________；

③如下图，某同学根据菱形的面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是

a2，对此结论，你认为是否正确，若正确，给予证明，若不正确，举一个反例说明．

三、课堂练习

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F求证：

（1）△BDE≌△CDF；

（2）∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形．

四、课时小结

本节课我们重点复习了本章所学的内容．在这一章里，不仅要理清特殊四边形之间的关系，还要会用几何推理来证明一些问题，而且还要体会数学思想方法在几何证明中的应用．

五、课后作业

（一）课本P92复习题A组，1～9．

（二）复习总结《证明》

（一）、

（二）、（三）的知识内容，并梳理知识体系．

（三）完成一份小结，用白己的语言梳理本章的内容．

板书设计

回顾与思考

（一）

1．问题串

2．练习

3．课时小结

4．课后作业

教学反思

课　　题

回顾与思考

（二）

第2课时

共2课时

教　　学

目　　标

1．通过回顾与思考，让学生进一步理解证明的必要性．

2．掌握课本中出现的公理，把它作为证明的依据，来用综合法证明已探索过的一些命题和未探索的命题．

3．应用已有的公理和定理通过计算和证明来解决实际问题．

4．理解、体会数学思想方法，并应用在问题的解决过程中．

重　　点

对公理化方法形成一个整体认识．

难　　点

对公理化方法形成一个整体认识．

教学过程：

一、导入新课

本节是证明的结束，到现在为止．我们学习了《证明

（一）》、《证明》

（二）》、《证明（三）》，因此，我们这节课来回顾、总结一下这部分内容．

二、回顾与思考

在《证明

（一）》、《证明

（二）》、《证明（三）》这三章中．我们从若干条公理及有关定义出发，证明了关于平行线、三角形及四边形等图形的一些命题，能用自已的语言或一幅图表示这一过程吗？

在《证明

（一）》中，我们知道有如下公理：

1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行．

2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

3．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．

4．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．

5．三边对应相等的两个三角形全等．

6．全等三角形的对应边相等、对应角相等．

由公理1和公理2，我们证明了平行线的性质定理和判定定理，即

性质定理：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；同旁内角互补．

判定定理：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行．

三角形的内角和定理及其推论．

推论：

两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．

等腰三角形的性质定理及推论，即　定理：

等腰三角形的两个底角相等．

推论：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

等腰三角形的判定定理：

定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形．

定理：

有一个角等于60°的等腰三角形址等边三角形．

直角三角形的性质定理及判定定理，即

定理：

在直角角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

定理：

直角三形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形直角三角形．

利用定义和公理我们还证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理、角平行线的性质定理和判定理．

在《证明（三）》中，我们利刚定义和公理证明了平行四边形的性质定理、判定定理；特殊平行四形的性质定理、判定定理．

三、课堂练习

填空题：

在Rt△ABC中，锐角A的平分线与锐角B的邻补角的平分线相交于点D．则∠ADB＝_______.

（2）顺次连结菱形四条边的中点的四边形是_______.

（3）正方形ABCD中，过点D作PD交AC于点M，交AB于点N，交CB的延长线于点P，若MN＝1，PN＝3，则DM的长为_______.

四、课时小结

通过复习三角形、四边形的性质定理、判定定理等，希望同学们要灵活掌握，正确应用，并能理沦联系实际，运用到现实生活中．

五.课后作业

（一）课本P93，复习题B组、C组．

（二）完成—份小结，用自己的语言梳理《证明（—）》、《证明

（二）》、《证明（三）》的知识体系，说说自己学习当中的困难与收获．

板书设计

回顾与思考

1．知识分类

2．课堂练习

3．课时小结

4．课后作业

教学反思