高考数学17高考解答题典型方法之数列.docx

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高考数学17高考解答题典型方法之数列

17、高考解答题典型方法之数列

新课程全国卷的试卷结构是固定的，一般来说，第17题考查三角函数或数列问题，并且分为两个小问，难度为中等，但是要获得满分，需要应用公式正确，计算快速熟练，书写规范。

一．基础知识整合

1.熟记等差数列、等比数列的通项公式的两种形式；前n项和公式.

2.正确理解等差数列、等比数列的性质，优化解题思路.

3.正确理解数列的通项与前n项和的关系.

4.正确应用等差数列、等比数列定义或等差中项、等比中项进行证明.

5.熟悉并掌握数列的求和方法：

裂项法、并项法、倒序相加法、错位相减法.

6.掌握简单的递推数列及其求解方法.

二、高考题型分析

在新课程全国卷的考查中，目前数列内容是安排在17题进行，难度为中等，试题入口一般为三个方向：

（1）由等差数列、等比数列出发构建题设关系；

（2）由数列的通项与前项和构建题设关系；（3）由简单的递推数列构建题设关系.

数列求和问题是数列中的重要知识环节，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．

等差数列与等比数列、数列与函数、数列与不等式、数列与概率、数列的实际应用等知识交汇点的综合问题是近几年高考的重点和热点，此类问题在客观题和解答题中都有所体现，难度不一，求解此类问题的主要方法是利用转化与化归的思想，根据所学数列知识及题目特征，构造出解题所需的条件．

（一）对等差数列、等比数列的综合考查

1.（等差数列、等比数列与不等式）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得？

若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由．

2.（等差数列与错位相减法）设等差数列的前项和为，且,

（Ⅰ）求数列的通项公式

（Ⅱ）设数列满足，，求的前项和

（二）对数列的通项与前项和的考查

3.（等比数列与错位相减法）设为数列的前项和，已知，，

（Ⅰ）求，，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和.

4.（等差数列、等比数列与倒序相加法）设表示数列的前n项和.

（Ⅰ）若为等差数列,推导的计算公式;

（Ⅱ）若,且对所有正整数n,有.判断是否为等比数列.

（三）对简单的递推数列的考查

5.（等比数列与递推数列、比较法证明不等式）设数列的首项

（1）求的通项公式；

（2）设，证明，其中为正整数．

6.（等比数列的证明、简单的递推数列的求解）在数列中，

（Ⅰ）设，求数列的通项公式

（Ⅱ）求数列的前项和

（四）数列求和的应用

7.（前项和与通项的关系、裂项法求和、数列与不等式）

正项数列的前项和满足：

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，证明：

对于任意的，都有

8.（等比数列的证明、裂项法求和）

已知数列的首项前项和为且

（Ⅰ）设证明数列是等比数列；

（Ⅱ）设求的前项和.

（五）对数列与不等式的考查

9.（等比数列、不等式与分类讨论）已知等比数列满足：

，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得？

若存在，求的最小值；若不存在，说明理由。

10.（等差数列与等比数列的综合、不等式与分类讨论）已知首项为的等比数列的前n项和为（），且成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明（）．

11.（简单的递推数列、等比数列的证明、不等式与放缩法）已知数列满足.

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）证明

12.（前项和与通项的关系、等差数列与不等式、裂项法求和）

已知数列满足对任意的，都有，且．

（1）求，的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

17、高考解答题典型方法之数列

新课程全国卷的试卷结构是固定的，一般来说，第17题考查三角函数或数列问题，并且分为两个小问，难度为中等，但是要获得满分，需要应用公式正确，计算快速熟练，书写规范。

一．基础知识整合

1.熟记等差数列、等比数列的通项公式的两种形式；前n项和公式.

2.正确理解等差数列、等比数列的性质，优化解题思路.

3.正确理解数列的通项与前n项和的关系.

4.正确应用等差数列、等比数列定义或等差中项、等比中项进行证明.

5.熟悉并掌握数列的求和方法：

裂项法、并项法、倒序相加法、错位相减法.

6.掌握简单的递推数列及其求解方法.

二、高考题型分析

在新课程全国卷的考查中，目前数列内容是安排在17题进行，难度为中等，试题入口一般为三个方向：

（1）由等差数列、等比数列出发构建题设关系；

（2）由数列的通项与前项和构建题设关系；（3）由简单的递推数列构建题设关系.

数列求和问题是数列中的重要知识环节，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．

等差数列与等比数列、数列与函数、数列与不等式、数列与概率、数列的实际应用等知识交汇点的综合问题是近几年高考的重点和热点，此类问题在客观题和解答题中都有所体现，难度不一，求解此类问题的主要方法是利用转化与化归的思想，根据所学数列知识及题目特征，构造出解题所需的条件．

（一）对等差数列、等比数列的综合考查

1.（等差数列、等比数列与不等式）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得？

若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由．

解：

（Ⅰ）设数列的公比为，则，.由题意得

解得

故数列的通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）有.

若存在，使得，则，即

当为偶数时，，上式不成立；

当为奇数时，，即，则.

综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为.

点评：

本题入口较浅，第一问很基础，第二问考查分类讨论，同时对规范表达有一定的要求.

2.（等差数列与错位相减法）设等差数列的前项和为，且,

（Ⅰ）求数列的通项公式

（Ⅱ）设数列满足，，求的前项和

解：

（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，由,得

解得.

因此.

（Ⅱ）由已知，

当时，；

当时，，从而.

所以，，由（Ⅰ）知

所以，

又，，

两式相减得

，

所以.

点评：

第一问比较简单，可是第二问的方法明显要求较高，先考查前项和与通项的方法，而且考查的形式是展开式的形状，没有出现，增加了难度，随后再考查错位相减法求和，难度适中.

（二）对数列的通项与前项和的考查

3.（等比数列与错位相减法）设为数列的前项和，已知，，

（Ⅰ）求，，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和.

解：

（Ⅰ）当时，，

当时，

由已知得，，，相减得

所以是以为公比，为首项的等比数列，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，数列即，记其前项和为

则

相减得

.

点评：

本题考查关系及其变形，等比数列的证明，错位相减法求和.

4.（等差数列、等比数列与倒序相加法）设表示数列的前n项和.

（Ⅰ）若为等差数列,推导的计算公式;

（Ⅱ）若,且对所有正整数n,有.判断是否为等比数列.

解：

（Ⅰ）设公差为,则，则

（Ⅱ）由题知

.（或者为常数.）

所以，数列是首项,公比的等比数列.

点评：

本题考查求和中的倒序相加法，推导等差数列的前n项和，必须写出两个公式，第二问除了考查通项与前项和的关系，还考查等比数列的证明方法.

（三）对简单的递推数列的考查

5.（等比数列与递推数列、比较法证明不等式）设数列的首项

（1）求的通项公式；

（2）设，证明，其中为正整数．

解：

（1）由已知令

，故是以为公比，为首项的等比数列

从而

（2）

由

（1）知且

故

点评：

本题考查简单的递推数列的求解-待定系数法，等比数列的证明，数列与不等式的交汇.

6.（等比数列的证明、简单的递推数列的求解）在数列中，

（Ⅰ）设，求数列的通项公式

（Ⅱ）求数列的前项和

解：

（Ⅰ）由已知有

方法一：

利用累差迭加即可求出数列的通项公式:

（）

方法二：

利用待定系数法求解，

令，，

故数列是以为公比，为首项的等比数列，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,=

而,又是一个典型的错位相减法模型，

易得=

点评：

本题的入口较难，对于递推关系的处理，有两种常用的处理方法，都是在求解简单的递推数列时常见的.需要正确掌握每一个细节.

（四）数列求和的应用

7.（前项和与通项的关系、裂项法求和、数列与不等式）

正项数列的前项和满足：

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，证明：

对于任意的，都有

解：

由，得。

由于是正项数列，所以。

当时，

当时，与相符合

所以.

（2）证明：

则

.

点评：

裂项法求和，通项有明显的特征，分析数列的通项公式，是求和的关键.

8.（等比数列的证明、裂项法求和）已知数列的首项前项和为且

（Ⅰ）设证明数列是等比数列；

（Ⅱ）设求的前项和.

解：

（Ⅰ），当时，

两式相减得

从而

即

故

是公比为3，首项为3的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知得

则

点评：

本题考查等比数列的证明，入口是简单的递推数列，第二问的求和，是裂项法中较难掌握的.也可以演变为证明

（五）对数列与不等式的考查

9.（等比数列、不等式与分类讨论）已知等比数列满足：

，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得？

若存在，求的最小值；若不存在，说明理由。

解：

（Ⅰ）由已知条件得：

，又，或，

当时，

当时，

所以数列的通项或

（Ⅱ）若，或，不存在这样的正整数；

若，，不存在这样的正整数。

点评：

本题的入口较浅，考查分类讨论，但是对符号的处理要求较高，第二问的计算与表达都非常重要.

10.（等差数列与等比数列的综合、不等式与分类讨论）已知首项为的等比数列的前n项和为（），且成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明（）．

解：

（1）设等比数列的公比为q，因为成等差数列，

所以.

又，所以等比数列的通项公式为.

（2）由

（1），

当n为奇数时，随n的增大而减小，所以.

当n为偶数时，随n的增大而减小，所以.

故对于，有.

点评：

数列与其它知识的交汇，不仅对方法要求高，对规范表达要求更高，否则就不易得到满分！

11.（简单的递推数列、等比数列的证明、不等式与放缩法）已知数列满足.

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）证明

证明：

（Ⅰ）由得

又，所以是首项为，公比为的等比数列。

，因此的通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

因为当时，，所以。

于是。

所以

点评：

第一问涉及常规证明，第二问涉及不等式中的放缩法

12.（前项和与通项的关系、等差数列与不等式、裂项法求和）

已知数列满足对任意的，都有，且．

（1）求，的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

解：

（1）当时，有，由于，所以．

当时，有，将代入上式，由于，所以．

（2）由于，①

则有．②

②－①，得，

由于，所以．③

同样有，，④

③－④，得．所以．

由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．

故．

（3）

数列是递增数列，故

要使不等式对任意的正整数恒成立

只须，又故

所以实数的取值范围是