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数学建模论文
关于眼科医院病床合理安排初探
【摘要】本文就眼科医院的病床合理安排建立一个评估体系。
并利用该体系针对题中所附的病人信息，通过对白内障，青光眼，外伤，视网膜疾病等不同病人进行了统计画图分析，在采用了概率统计的知识，得到了一般情况下不同病人的平均服务率μ，平均到达率λ，排队逗留时间W，平均排队人数Ls等数值。
继而采用排队系统最优化原理得出该医院病床管理体系的总成本Z（c），就总成本的大小对管理体系进行评估。
我们通过对原题所给的病人入住资料，利用排队论原理。
将病人管理模式抽象成三种情况：
1.无病人的情况之下
2.病人数量1≤n＜C的情况之下
3.病人数目n≥C的情况下。
而后即可得出平均病人数目Lq，与每个病人的平均等待时间w。
假设加权系数k1,k2,使得问题化为求min（k1*wq+k2*c）,适当取值使得系统的最小值，即此时c值为最优值。
【关键词】医院病床管理；排队系统最优化原理；医院病床管理的总成本；病床管理模型；灰色系统原理；matlab算法；源程序编辑
一、问题的重述与分析
（一）、问题的重述
在我国医疗改革不断深化的今天，如何发挥有限的资源的作用，提高医院的效率成为一个普遍研究的问题。
在该题中，如何利用仅有的79张病床，使更多的患者受益是我们研究的主题。
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类：
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
各类疾病所安排的做手术的时间不同。
目前该院是每周一、三做白内障手术，双眼白内障是周一先做一只，周三再做另一只，外伤疾病需要立即治疗，其他眼科疾病比较复杂，手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，我们通过新建评估体系以及病床安排体系提高对医院资源的有效利用。
我们现在面临的问题如下：
问题一：
利用我们新建的评价体系以评价该医院的病床安排模型的优劣。
问题二：
试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型。
能使病人及早知道自己住院时间、等待时间、住院时间等。
问题三：
在该住院部周六、周日不安排手术的情况下，重新建立病床管理模型。
（二）、问题分析
1）对医院病床管理评价体系的理解
在该论文中我们引入了病人的平均服务率μ，平均到达率λ，排队逗留时间W，平均排队人数Ls等数值。
并利用排队论最优化原理得出医院病床管理系统的总成本Z（c）以此来判定管理体系的优劣。
2）对病床管理系统所建模型的分析：
此类问题属于排队论的范畴。
首先根据病床为多个来确定其为多服务台问题。
其次，考虑到若采取多队方式会因各接待人服务效率不同而造成队伍之间人数的不平衡，不能使系统达到最优配置，故将模型定为单队多服务台型。
通过分三种情况进行讨论，利用公式算得
（三）、问题假设
假设1：
病人无死亡病例，且住院期间不会发生意外情况，手术后病人痊愈，不会回来复诊。
假设2：
假设任意某一天来的病人等于病人到达率λ，任意一种病人来就诊的概率也是随机的。
二、模型分析与求解
（一）、符号说明
1.平均服务率μ.
2.平均到达率λ
3.排队逗留时间W
4.平均排队人数Ls
5.管理体系的总成本Z（c）
6.现有病床C
7.评价时间t
8.平均病人数目Lq
9.每个病人平均候诊时间wq
10.加权系数K1，K2
11.每个病床单位时间服务成本Cs
12.每个患者在的那位时间逗留费用Cw
平均等待时间（天）
准备时间（天）
总住院时间（天）
到达率
平均每天人数（人）
白内障
12.68
2.35
4.21
0.1869
1.67
白内障（双眼）
12.68
3.60
6.69
0.2453
2.19
视网膜疾病
12.72
2.38
9.53
0.3107
2.77
青光眼
12.31
2.47
8.70
0.1098
1.00
外伤
1.00
1.00
6.14
0.1472
1.31
经过对数据的分析得到表
在医院管理中，如果在排队论的基础上，对医院门诊、诊室的排队系统的结构和行为进行科学的模拟和系统的研究。
从而对诊室和医生安排进行最优设计，以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进行预测、分析或评价，最大限度地满足患者及其家属的需求，将有效避免资源浪费。
分析以上数据可以发现它有如下特征：
1、输入过程:
患者的到达是相互独立，相继到达的时间间隔是随机的；一定时间的到达服从Poisson分布。
2、排队规则:
从先到先服务,且为等待制,即患者到达时所有诊室和医生都没有空闲,他们就要排队等待。
3、服务时间:
患者诊治时间是相互独立的,服从负指数分布。
4、服务窗口:
多病床C个病床并联排列,各病床独立工作。
三、模型假设及建立
（一）、评价体系的建立与求解：
假设患者平均到达率为λ，单个病床的平均服务率（表示单位时间被安排的患者数）为μ，整个住院系统的平均服务率cμ；系统的服务强度ρ=λ/cμ<1时才不会排成无限的队列（病床的平均利用率），pn（c）为C个病床任意时刻系统中有n个患者的概率；当到达率为λ，服务率为cμ的生灭过程达到稳态时，可得：
p0（c）=〔∑c-1k=01k!
（λμ）k+1c!
1（1-ρ）（λμ）c〕-1…………………
（1）
pn（c）=1n!
（λμ）np0（c）,n=1,2,…,c
1c!
cn-c（λμ）np0（c）,n=c+1,………………………
（2）
当系统达到平衡状态时，每个患者在系统中等待时间W的均值为：
E（W）=pn（c）cμ（1-ρ）2=nμn!
（nμ-λ）2（λμ）np0（c）……………………（3）
排队逗留的人数
Ls=Lq+cρ=1c!
（cρ）cρc!
（1-ρ）2p0+λμ……………………………………（4）
根据排队系统的最优化，在排队系统中，患者希望病床越多、服务效率越高、逗留时间越短越好，使自己的损失达最小，为此医院就要增加医生和设备，而医院也不可能无限投入。
为此就需要优化设计，其目的就是使患者损失费用和医院服务成本之和达到最小。
假设病床的个数为c，cs为每个病床单位时间的成本费，cw为每个患者在系统中逗留单位时间的费用，总成本Z（c）（单位时间总费用的期望值，它是病床的个数为c的函数），则目标函数：
minz（c）=Csc+CwLs（c），
其中Ls为逗留的人数（公式（4）），c只能取整数，设c*是使目标函数c取最小值的点，c*满足
z（c*-1）≤z（c*）=csc*+cwLs（c*）≤z（c*+1）,Ls=Ls（c）
化简得
Ls（c*）-Ls（c*+1）≤cscw≤Ls（c*-1）-Ls（c*）……………………………（5）
通过matlab模拟依次算出Ls
（1）,Ls
（2）,Ls（3）,…相邻两项之差，看常数落在哪两者之间，从而确定使患者损失费用和医院服务成本之和达到最优化病床个数c的最优解C*。
（二）、病床管理模型的建立与求解：
设共有c个病床，每个病床的平均利用率均为
。
在正常情况下，病人的平均到达率为
，则
时间内有一个病人到达的概率为
，在
时间内有一个病人离去的概率为
。
问题解决如下：
分三种情况考虑：
1、当无病人时，三种互不相容事件的概率分别为：
在时间t内没有病人排队，
时刻也没有病人到达的概率为
。
在时间t内有一个病人，
内没有顾客到达，但有一位病人接受诊断后离去的概率为
。
在时间t内没有病人排队，但在
时刻内有一位病人到达，也有一位病人接受诊断后离去的概率为
。
则
略去二阶小量，整理得
。
2、当已有n个病人，且
时，可分为以下四种情况：
（1）、时间t内有n-1个病人在排队，
时刻内有一位病人到达，但没有任何病人被诊断的概率为
。
（2）、时间t内有n+1个病人在排队，
时刻内没有病人到达，但有一位病人接受诊断后离去的概率为
。
（3）、时间t内有n个病人在排队，
时刻内没有病人到达，也没有任何病人被诊断的概率为
。
（4）、时间t内有n个病人在排队，
时刻内有一个病人到达，也有一位病人接受诊断后离去的概率为
。
3、病人数
时，与情况
（2）类似，但相应的概率分别为：
（1）、
（2）、
（3）、
（4）、
由上面的公式得到：
，
，
解得：
由此可得：
平均病人数目为
，
每个病人平均候诊时间为
准备时间（天）
总住院时间（天）
白内障
2.35
4.21
白内障（双眼）
3.60
6.69
视网膜疾病
2.38
9.53
青光眼
2.47
8.70
外伤
1.00
6.14
以上仅仅求得了平均病人数目和平均就诊时间，我们可以明显的看到，当有一个诊台数目c时就可以得到对应的平均病人数目和平均就诊时间，但我们并不能判断何时系统的诊台配置为最优，为此我们将此问题进一步加以深入。
假设加权系数
，使得问题化为求
，即适当选取c值使得系统有最小值，则认为此时的c值即为最优选择。
将问题进一步简化，令
，则原问题简化为求
。
依据表一数据，利用灰色系统原理，以进行灰色预测、灰色决策、灰色控制和灰色规划，把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。
这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。
由此在病人门诊的时候即可预测出大致入住时间区间。
四、模型的误差分析
（一）、在可接受的范围内，对于每日平均来就诊的病人数量存在一定误差性。
（二）、就特殊情况下的病人手术时间偏离于平均时间未进行特殊分析。
（三）、在计算机计算过程中由于数据的近似处理导致了所得结果存在一定的误差性。
五、模型的评价与分析
（一）、进行病床管理系统的评价体系建立中，我们引入了医院服务总成本Z（c）这一概念，使得评判的标准显得更具体化，且具有可比性。
但是计算方法比较复杂。
（二）、在问题二中我们针对题一种所建立的管理评价体系，一排队论为基础进一步引入了使得平均候诊时间Wq最小以及平均等候人数Lq最小的C值，即对不同病人进行的病床管理。
同样的问题是计算过程中在病人平均候诊时间
中含有c的阶乘及乘方项，必须依靠自建的源程序进行计算，计算过程复杂。
（三）、在问题三中我们采用了灰色预测法，以前两月中的病人平均候诊时间与平均等待时间为模板，预测出未来一段时间内各病人来就医的人数，从而确定其等候时间，与候诊时间。
综合利用该体系和模型可以明显提高病床的使用效率，提高医院的办公效率，从而降低了医院的成本，为医院的发展做出很大贡献。
参考文献
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Differencesattributabletohospitalsize..Criticalcaremedicine,2006年第no.8期.
附录：
以下是该排队算法的源程序清单（c语言）
#include
longfang（floatx,intn）
{longy=1;
inti;
for（i=0;ireturn（y）;
}
longjie（intn）
{inti;
longy=1;
for（i=1;i<=n;i++）y=y*n;
return（y）;
}
main（）
{doublew,u,y,l,p,z,m,k,b,a,s=0;
intc,i,n,j=10,h=10;
printf（"Pleaseinputu,l,k!
\n"）;
scanf（"%f,%f,%f",&u,&l,&k）;
for（c=1;c<=j;c++）
{for（i=c-1;i{s=fang（l,i）/jie（i）+s;
y=s;
}
a=c*u;
b=a-l;
y=y+fang（l,c）/（jie（i）*b/a）;
p=1/y;
w=u*fang（（l/u）,c）*p/jie（c-1）/fang（（c*u-l）,2）;
z=w+k*c;
if（c==1）m=z;
if（z{m=z;
n=c;
}
if（n==j）j=j+h;
elseif（j>10&&n>j-h）j=j+h;
}
printf（"%f,%d",m,n）;
}_
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