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测量不确定度评定讲义

测量不确定度评定（培训讲义）

第一部分预备知识

1.测量不确定度评定的本质

测量不确定度评定上将测量结果或测量误差作为随机变量，研究分析其统计规律，并计算它的范围的一项活动。

2.随机试验和随机变量

在不变的条件下重复地进行多次试验，所观测到的结果具有很大的不确定度，称为随机试验。

生活中典型的随机试验：

抛硬币、掷筛子（离散型）、打靶（连续型）。

随机试验的结果量化，即为随机变量。

随机变量有离散型和连续型的。

单个的随机变量是无规律的，大量的随机变量是有规律的——统计规律。

3.抽样过程、检测过程都是随机试验

4.概率、概率密度、概率密度函数

4.1概率：

是在随机试验中出现的某一事件的频次、机会、可能性，如抛硬币，出现正面向上的可能性为50﹪，即概率为50﹪。

人口普查时，10~15岁的少年占总人口的30﹪，即10~15岁少年出现的概率约为30﹪。

概率总是与随机变量的区间相联系的，对给定了置信区间或统计包含区间的概率为置信概率。

4.2概率密度：

可以简单地理解为：

在随机试验中单位随机变量所出现的概率。

例如：

人口普查中，如果以1岁为一个年龄段的话，某个年龄段（如15岁）的人所占的比例即为该年龄段的概率密度。

概率密度=变量在某个区间的概率/变量的区间

4.3概率密度函数

在随机试验中，概率密度不是一个恒定的值，对于每一个随机变量的值，都可能有一个不同的概率密度。

还比如人口普查，15岁的人和70岁的人的概率密度是不同的。

概率密度和随机变量之间存在着某种函数关系，叫概率密度函数，也叫随机变量的分布函数（简称分布）。

可以用一个数学式和一条曲线来表示：

P=f（x）

5.几种常见的分布：

（图形略）

5.1正态分布5.2三角分布5.3梯形分布5.4矩形（均匀）分布

5.5反正弦分布5.6两点分布5.7投影分布5.8t分布（当n趋于无穷大时，t分布趋于正态分布）

6.随机变量的特征值和特征值的估计算

学习和应用测量不确定度知识时要有两个非常清楚的意识：

①单个随机变量是没有规律的，但是大量的随机变量的集合是有规律的——统计规律。

反映随机变量统计规律的值——特征值；

②人们希望通过样本的统计特征值来反映总体的特征值，但是必须注意：

样本的统计特征值只是总体特征值的近似估计，而不能完全代替。

6.1数学期望u

数学期望就是总体的平均值，是一个极限值u。

u的样本估计量是样本的平均值，是u的无偏估计（当抽样次数达到无穷大的时候，均值=u）

6.2方差：

表示测量结果相对于数学期望的分散程度。

如果以各测量值与期望的差（残差）直接表示这种分散性，由于残差正负相消，残差的和为零，无法反映这种分散性，所以采用残差的平方和的形式，即方差。

总体方差和样本方差。

6.3标准偏差

由于方差的量纲与测量值不同，因此采用方差的平方根，称为标准偏差。

样本标准方差的公式又叫贝塞尔公式，是测量不确定评定中所要用到的很重要的公式。

（公式要记住—ppt上有）

6.4标准偏差的几何意义

标准偏差是分布函数曲线横坐标的某个特定位置（随即变量的某个特征值）。

标准偏差反映分布曲线起决定作用部分的宽度，反映随机变量的分散性。

标准偏差越小，分布曲线越陡，随机变量的分散性越小；标准偏差越大，分布曲线越平缓，随机变量的分散性越大。

6.5包含因子

包含因子是标准偏差的倍数。

当标准偏差乘以某个包含因子时，就意味着整个分布曲线下的面积（概率P=1）都被覆盖了，或者覆盖了大部分。

包含因子也称覆盖因子，扩展因子，其定义是：

为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。

7.所运用到的几个基础的数学知识

7.1两个量的和与差的平方公式（略）

7.2连续求和的公式（略）

7.3相对值与绝对值的转换

相对值可用脚标rel或r来表示。

绝对值不用加角标，一般情况下也不加定语“绝对”，除非刻意强调与相对值区别。

如urel=u（x）/x的均值

7.4幂函数

y=xp,式中P为常数，称为变量的幂指数。

7.5线性幂指数为1的幂函数为线性函数。

第二部分基础知识

1.测量结果的质量

检测或校准实验室用测量数据判定被测或被校准对象的质量，但测量数据的质量用什么来判定呢？

最初是用测量误差。

1.1测量误差的定义：

测量误差=测量结果-真值

由于真值往往是不知道的，或者是很难知道的，所以测量误差也很难知道，测量误差的定义尽管是严格的正确的，能反映测量的质量和水平，但可操作性不强。

1.2测量不确定度是测量结果质量和水平的科学表达

测量不确定度最初的定义：

1）由测量结果给出的被测量估计值的可能误差的度量

2）表征被测量的真值所处范围的评定

测量不确定度实质上就是对真值所处范围的评定，也是对测量误差可能大小的评定、也是对测量结果不能肯定的程度的评定。

测量不确定度新的定义：

与测量结果想联系的参数，表征合理地赋予被测量之值的分散性。

定义的解析：

1）一个参数

2）一个表示被测量值分散性的参数

3）一个与测量结果相联系的参数：

没有测量结果就没有测量不确定度，定性分析不存在测量不确定度；仅给出测量结果而不给测量不确定度是没有意义的。

4）合理赋予的参数

1.3测量不确定度与测量误差的联系与区别

1.3.1测量误差是一个值，而且是一个明确的值；测量不确定度是一个范围，而且是一个“模糊”的范围。

测量不确定度评定就是测量误差或被测量值可能所处的范围的评定，就是把测量误差或被测量值的范围看成随机变量研究它的统计规律并定量计算的过程。

说明：

测量不确定度不能完全取代测量误差，因为测量不确定度仅反映测量的分散性而不包括系统性偏差，而测量误差中则可能包括系统性偏差。

当测量结果中含有已知的系统性偏差时，要将其扣除后再评定测量不确定度。

1.4一些相关且重要的名词术语

1.4.1测量结果：

由测量所得到的赋予被测量的值

1.4.2测量准确度：

测量结果与测量真值之间的一致程度。

测量准确度仅用于定性，而不用于定量。

1.4.3偏差：

一个值（测量值）减去参考值。

参考值是指设定值、允许值、标称值等。

偏差和误差不是一回事，不可混淆。

化学分析中，测量值相对于标准样品的标称值的差应称为偏差而不是误差。

1.4.4重复性和复现性

1.4.4.1重复性：

在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致程度。

所谓相同的条件是指相同的程序、观测者、环境、仪器、地点、临近的时间。

1.4.4.2复现性：

在改变了的测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致程度。

2.测量不确定度评定的重要意义

2.1测量不确定度是对测量结果质量和水平的科学表达。

2.2测量不确定度及通用计量名词术语是各学科之间联系和交往的共同语言。

2.3通过测量不确定度可以分析影响测量结果的主要成分，从而提高测量结果的质量。

2.4通过评定测量不确定度可以评价校准方法的合理性

2.5通过评定测量不确定度评价各实验室间比对试验的结果

2.6通过评定测量不确定度可以知道或给出结果判定的风险

误差、精度与不确定度

作为计量人员，误差、精度与不确定度是应该搞清楚的概念，但这些概念互相联系又有区别，也常常使人不知所芸。

在此略作论述，希望能引起大家讨论。

一、误差的基本概念：

1.误差的定义：

误差＝测得值－真值；

因此，误差是一个值，数学上就是坐标轴上的一个点，是具有正负号的一个数值。

2.误差的表示方法：

2.1绝对误差：

绝对误差＝测量值－真值（约定真值）

在检定工作中，常用高一等级准确度的标准作为真值而获得绝对误差。

如：

用一等活塞压力计校准二等活塞压力计，一等活塞压力计示值为100.5N/cm2，二等活塞压力计示值为100.2N/cm2，

则二等活塞压力计的测量误差为-0.3N/cm2。

2.2相对误差：

相对误差＝绝对误差/真值X100％

相对误差没有单位，但有正负。

如：

用一等标准水银温度计校准二等标准水银温度计，一等标准水银温度计测得20.2℃，二等标准水银温度计测得20.3℃，则二等标准水银温度计的相对误差为0.5%。

2.3引用误差：

引用误差＝示值误差/测量范围上限（或指定值）X100％

引用误差是一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对误差。

如测量范围上限为3000N的工作测力计，在校准示值2400N处的示值为2392.8N，则其引用误差为-0.3%。

3.误差的分类：

3.1系统误差：

在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。

3.2随机误差：

测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。

二、精度：

1.精度细分为：

准确度：

系统误差对测量结果的影响。

精密度：

随机误差对测量结果的影响。

精确度：

系统误差和随机误差综合后对测量结果的影响。

精度是误差理论中的说法，与测量不确定度是不同的概念，在误差理论中，精度定量的特征可用目前的测量不确定度（对测量结果而言）和极限误差（对测量仪器仪表）来表示。

对测量而言，精密度高的准确度不一定高，准确度高的精密度不一定高，但精确度高的准确度与精密度都高，精度是精确度的简称。

目前，不提倡精度的说法。

三、测量不确定度：

1．定义：

表征合理地赋予被测量之值地分散性，与测量结果相联系地参数。

（1）此参数可以是诸如标准差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。

（2）测量不确定度由多个分量组成。

其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准差表征。

另一些分量则可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准偏差表征。

（3）测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的（如，与修正值和参考测量标准有关的）分量。

由此可以看出，测量不确定度与误差，精度在定义上是不同的。

因此，其概念上的差异也造成评价方法上的不同。

四、测量误差和测量不确定度的主要区别

1.定义上的区别：

误差表示数轴上的一个点，不确定度表示数轴上的一个区间；

2.评价方法上的区别：

误差按系统误差与随机误差评价，不确定度按A类B类评价；

3.概念上的区别：

系统误差与随机误差是理想化的概念，不确定度只是使用估计值；

4.表示方法的区别：

误差不能以±的形式出现，不确定度只能以±的形式出现；

5.合成方法的区别：

误差以代数相加的方法合成，不确定度以方和根的方法合成；

6.测量结果的区别：

误差可以直接修正测量结果，不确定度不能修正测量结果；误差按其定义，只和真值有关，不确定度和影响测量的因素有关；

7.得到方法的区别：

误差是通过测量得到的，不确定度是通过评定得到的；

8.操作方法的区别：

系统误差与随机误差难于操作，不确定评定易于操作；

误差与测量不确定度是相互关联的，就是说，测量误差也包含不确定度，反之，评定得到的不确定度也还是有误差。

精度是按照误差的分类进行评价的，但在误差合成的方法上与测量不确定度是不同的，系统误差按照代数和合成，随机误差按方和根法合成，而系统误差与随机误差的合成则有按标准差合成的，有按极限误差合成的。

因此，其合成的方法并不统一。

目前，在测量领域，国际上通用的是测量不确定度方法，精度的说法目前已经不再使用，本贴希望通过一些简单的介绍，能够对大家在误差，精度及测量不确定度的概念上有所明确，不致引起一些错误有所帮助。

测量结果及其不确定度的有效位数

1引言

校准证书及检测报告上的校准结果或检测结果均给出了测量结果的不确定度，测量结果的报告应尽量详细，以便使用者可以正确地利用测量结果。

完整的测量结果至少含有两个基本量：

一是被测量的最佳估计值，在很多情况下，测量结果是在重复观测的条件下确定的。

二是描述该测量结果分散性的量，即测量结果不确定度。

报告测量结果的不确定度有合成标准不确定度和扩展不确定度两种方式。

在报告与表示测量结果及其不确定度时，对两者数值的位数，技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》做出了相应的规定。

2测量结果不确定度的有效位数

2.1技术规范的规定

根据技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》的规定，估计值y的数值和它的标准不确定度uc（y）或扩展不确定度U的数值都不应该给出过多的位数。

通常uc（y）和U以及输入估计值xi的标准不确定度u（xi）最多为两位有效数字。

虽然在计算测量结果不确定度的过程中，中间结果的有效位数可保留多位，即在报告最终测量结果时，uc（y）和U取一位或两位均可，两位以上是不允许的。

2.2测量结果不确定度的修约

测量结果不确定度应按国家标准GB3101-1993《有关量、单位和符号的一般原则》的规定进行修约，使测量结果不确定度有效数字的位数为一位或两位。

例如：

一频率测量结果的标准不确定度为u（xi）=28.05kHz，要求保留两位有效数字，经修约后为28kHz。

测量结果的不确定度不允许进行连续修约。

即测量结果的不确定度应经一次修约后得到，而不应该经多次修约后得到。

例如：

U=0.1455℃，要求保留一位有效数字时，应为：

U=0.1455℃=0.1℃，而不应为：

U=0.1455℃=0.146℃=0.15℃=0.2℃。

可见，在本例中，由于连续修约造成最终结果的误差为100%，这是不允许的。

2.3测量结果不确定度有效位数的合理选择

技术规范中规定，在通常情况下，uc（y）和U最多为两位有效数字。

但保留一位有效数字时，可能导致很大修约误差，特别是当第1位有效数字较小时。

例如：

经计算一温度测量结果的不确定度为0.149℃，将其修约到一位有效数字时，测量结果不确定度为0.1℃，由修约引起的误差为-0.049℃，是测量结果不确定度的49%，对评定测量结果的质量影响很大。

这可能导致在某一条件下对某量进行测量时，本不满足测量技术要求的测量仪表，因测量结果不确定度的修约误差，造成计算出的测量结果不确定度达到预定技术要求的假象，对该测量工程将产生很大的损失。

也可能导致在某一条件下对某量进行测量时，本应满足测量技术要求的测量仪表，因测量结果不确定度的修约误差，使计算出的测量结果不确定度达不到预定的技术要求，需要选择更高准确度等级的测量仪表，加大了测量设备成本的投入。

若将测量结果的不确定度修约到两位有效数字，测量结果的不确定度为0.15℃，由修约引起的误差为0.001℃，是测量结果不确定度的1%，对评定测量结果质量的影响可以忽略不计。

当修约前测量结果不确定度的第1位数字增大时，由修约引起的误差对测量结果不确定度的影响将减小。

例如：

用一测温仪表测量某一物体的温度，计算出其测量结果的不确定度为0.249℃，将其修约到一位有效数字时，测量结果的不确定度为0.2℃，由修约引起的误差为-0.049℃，是测量结果不确定度的24%。

若测量结果的不确定度为0.349℃，将其修约到一位有效数字时，测量结果的不确定度为0.3℃，由修约引起的误差为-0.049℃，仅是测量结果不确定度的16%，即小于测量结果不确定度的1/5，从误差理论上讲可忽略不计。

因此，当修约前第1位有效数字为1或2时，测量结果的不确定度应取两位有效数字。

3或以上时，可用一位或两位有效数字。

以上所讨论的是测量结果的不确定度可准确评定时的情况，即只考虑由修约引起的误差对测量结果不确定度的影响。

在现有的技术条件下，测量结果的不确定度难以准确地进行评定时，虽然其第1位有效数字可能较小，但是测量结果的不确定度取一位有效数字仍然是合理的。

2.4中间结果的有效位数

在计算测量结果不确定度的过程中，中间结果的有效位数可保留多位。

例如：

一测温仪表检定结果的不确定度是由两部分组成的：

一是标准器引入的标准不确定度分量u1；二是测温仪表重复性引入的标准不确定度分量u2。

要求最终检定结果的合成标准不确定度取一位有效数字。

假设经计算：

u1=0.149℃u2=0.249℃

方法1：

各分量互不相关，u1，u2不修约，采用方和根法直接计算检定结果的合成标准不确定度。

方法2：

若将u1，u2修约到一位有效数字时，标准不确定度为

u1=0.1℃u2=0.2℃

检定结果的合成标准不确定度为

由修约引起的误差为-0.1℃，是检定结果不确定度的50%。

方法3：

若将u1，u2修约到两位有效数字时，标准不确定度为

u1=0.15℃u2=0.25℃

检定结果的合成标准不确定度为

由修约引起的误差为0.0℃，对检定结果的不确定度没有影响。

由本例可见，若最终测量结果的不确定度取一位有效数字，中间结果的有效位数仅取一位是不够的，至少应取两位有效数字，否则可能产生很大的修约误差。

2.5测量结果不确定度的全进进位法

最终测量的结果有时要将测量结果不确定度最末位后面的数都进位而不是舍去，这样不但提高了不确定度的可靠性，而且可使数据更加保险。

例如：

uc（y）=10.47mΩ，可以进位到11mΩ。

但是测量结果不确定度的全进进位法应慎重使用，因为将末位后面的数都进位可能导致不确定度被过分扩大。

例如：

一电阻测量结果的合成标准不确定度为uc（y）=1.047mΩ，进位到2mΩ。

这虽然提高了合成标准不确定度的可靠性，数据更加保险了，但是产生了很大的进位修约误差，使本应满足测量5

技术要求的仪表因此而不能使用。

在满足使用要求的条件下，建议采用“三分之一”原则。

即舍掉部分小于保留末位修约间隔的三分之一时，不进位，否则可以进位。

例如：

uc（y）=10.37mΩ，可进位到11mΩ。

uc（y）=10.27mΩ，则不进位，uc（y）=10mΩ。

3测量结果的有效位数

3.1技术规范的规定

规范规定：

输入和输出的估计值应修约到与不确定度的位数一致。

即经计算得到测量结果的不确定度以后，要按测量结果不确定度的有效位数来修约测量结果，确定测量结果的有效位数，使采用同一测量单位的测量结果及其不确定度的末位对齐。

3.2测量结果的修约

测量结果应按国家标准GB3101-1993《有关量、单位和符号的一般原则》的规定进行修约，使测量结果与不确定度的末位对齐。

例如：

对一电阻器的电阻值进行测量，其测量结果为y=10.05762Ω，合成标准不确定度uc（y）=27mΩ，据此对测量结果进行修约得：

y=10.058Ω。

同样，测量结果不允许进行连续修约。

即测量结果应经一次修约后得到，而不应该经多次修约后得到。

3.3测量结果的补位

若出现测量结果的实际位数不够而无法与测量结果不确定度的末位对齐时，应在测量结果中补零，以与测量结果不确定度的末位对齐。

例如：

一砝码质量的测量结果为m=100.0214g，扩展不确定度为U95=0.36mg，则测量结果及其不确定度应表示为

m=100.02140gU95=0.36mg（U95=0.00036g）

需注意，若出现测量结果的实际位数不够而无法与测量结果不确定度的末位对齐时，不应对测量结果的不确定度进行修约，以使测量结果的末位与测量结果不确定度的末位对齐。

例如：

在用标准信号源校准分辨力为1℃的测温仪表为100℃点时，标准器将输入100℃所对应的电量值，此时被校准表指示的值为101℃。

经计算，其扩展不确定度U=0.66℃。

标准器输入的是标准值，在满足一定技术要求的条件下，误差很小，且作为一个标准不确定度分量进入了扩展不确定度。

若U取0.7℃，则给出校准证书时，对应的标准器温度值应为100.0℃，被校准仪表的指示值为101.0℃。

即在校准结果后面补一个零以与不确定度的位数对齐。

而不应将U修约为1℃，给出被校准仪表的指示值为101℃、U为1℃的校准证书。

在被校准仪表指示值后面补一个零是为了说明当用该仪表测量100.0℃的温度时，其指示值以一定的概率出现在（101.0±0.7）℃的范围以内。

由于仪表本身的分辨力为1℃，所以实际指示出来的指示值为（101±1）℃。

分辨力对不确定度已在0.7℃中体现了出来。

不能因为这个零，就说仪表指示值正好是101.0℃。

因为该仪表的分辨力为1℃，是指示不出0.1℃来的。

4结论

测量是科研、生产过程中不可缺少的一项工作，其目的是获取测量结果。

测量不确定度是对测量结果质量的定量表征，而测量结果及其不确定度的有效位数，对于准确表示测量结果及其不确定度是很重要的。

根据技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》的规定，测量结果不确定度的数值应给出一位或两位有效数字。

在实际工作中，应合理地进行选择。

当修约前第1位有效数字为1或2时，测量结果的不确定度应取两位有效数字；3或以上时，可用一位或两位有效数字。

在计算测量结果不确定度的过程中，中间结果的有效位数可保留多位。

测量结果不确定度的全进进位法（既将保留末位后面的数都进位）应慎重使用。

建议采用“三分之一”原则，既舍掉部分小于保留末位修约间隔的三分之一时，不进位，否则可以进位。

对测量结果进行修约以使测量结果的末位与测量结果不确定度的末位对齐。

若出现测量结果的实际位数不够，而无法与测量结果不确定度的末位对齐时，应在测量结果后面补零，以与测量结果不确定度的末位对齐。

对测量结果及其不确定度的修约，应按国家标准GB3101-1993《有关量、单位和符号的一般原则》的规定进行，不允许连续修约。

测量结果的不确定度一般不是给合成标准不确定度uc,而是以扩展不确定度U的形式给出的,而从uc计算U时是6

评定实例

单相电子式电能表基本误差测量不确定度评定

一、概述

1、测量依据：

单相电子式电能表出厂检验规程，ZTY0.470.165

2．环境条件：

温度：

（23±2）℃相对湿度：

（25～80）%

3测量设备：

YC-1891电能表校验装置出厂编号：

1101172

测量范围：

220V/（0.1～100）A准确度等级：

0.1级

4．被检对象:

1.0级单相电子式电能表—DDS666-5（20）A出厂号：

4694204

5．测量方法:

电能表校验装置输出一定功率给被检表,并对被检表进行积分,得到的电能值与装置输出的标准电能值比较,从而得到被检表在该功率下的相对误差

二、数学模型γ1＝γ0

式中：

γ1－被检电子式电能表的相对误差；

γ0－电能表校验装置上测得的相对误差。

三、输入量的标准不确定度的评定

输入量γ0的标准不确定度u（γ0）的来源主要有两个方面：

在重复性条件下由被检表测量不重复引起的不确定度分项u（γ01）－Ａ类评定

电能表校验装置的误差引起的不确定度分项u（γ02）－B类评定

1、标准不确定度分项u（γ01）的评定

取一只稳定的单相电子式电能表DDS666-5（20）A，用电能表校验装置在220V，5A，Pf=1.0下各重复测量10次，得1组数据（%）

故u（γ01）=S=0.0059％,自由度υ（γ01）=9

2．标准不确定度分项u（γ02）的评定

由0.1级电能表表标准装置的检定证书给出220V、5~20A最大允许误差为：

±0.1，则测量误差的半宽为α=0.1%，在区间内是均匀分布的,取包含因子κ=3,则标准不确定度：

u（γ02）=α/κ=0.0573%,

自由度：

υ（γ02）→∞

3．标准不确定度u（γ0）

u（γ0）=uγ01+u（γ02）=0.0573%22

u4（γ0）自由度V（γ0）=4→∞4u（γ01）u（γ02）+V（γ01）V（γ02）

四、合成标准不确定度

1.灵敏系数

数学模型γ1＝γ0

γ1/∂γ0=1灵敏系数c=∂

2．合成标准不确定度汇表

3．则合