完整版二项式定理十大典型问题及例题.docx

完整版二项式定理十大典型问题及例题.docx

《完整版二项式定理十大典型问题及例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版二项式定理十大典型问题及例题.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完整版二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义

学员编号：

年级：

高二课时数：

3

学员姓名：

辅导科目：

数学学科教师：

教学内容

1．二项式定理：

0n1n?

1rn?

rrnnn?

）N（n?

b?

L?

Cb?

Ca?

Cab?

L?

C）（a?

ba，nnnn2．基本概念：

n）b（a?

的二项展开式。

①二项式展开式：

右边的多项式叫做r）?

?

?

n（r?

0,1,2,C.展开式中各项的系数②二项式系数:

na1）r?

（b的齐次多项式项，是关于③项数：

共与rn?

rrr?

rrnT?

Cab1r?

bCa叫做二项式展开式的通项。

用④通项：

展开式中的第项表示。

n1r?

n3．注意关键点：

1）n?

（项。

①项数：

展开式中总共有nn）（a?

bab?

）（ab与其顺序不能更改。

②顺序：

注意正确选择,是不同的。

nnna00b.③指数：

的指数从的指数从，是升幂排列。

各项的次数和等于逐项减到逐项减到，是降幂排列。

012rnab.C?

?

?

,?

?

?

C,CC,,C的系数④系数：

注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是与项的系数是nnnnn（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

?

nrnn0122r,?

a?

1,bx）NnCxCx?

x?

L?

C?

L?

x（?

C?

（1?

x）C?

令nnnnn?

2n012rrnnn,?

?

xa?

1,b）1）LCxx?

x（1?

）?

CC?

C?

L?

x?

?

（?

Cx?

nN（令nnnnn5．性质：

0nkk?

1C?

CC?

C·，··①二项式系数的对称性：

与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即nnnn012rnna?

b?

1C?

C?

C?

L?

C?

L?

C?

2，则二项式系数的和为②二项式系数和：

令,nnnnn12rnnC?

C?

L?

C?

L?

C?

2?

1。

变形式nnnn

1

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

0123nnna?

1,b?

?

1C?

C?

C?

C?

L?

（?

1）C?

（1?

1）?

0，在二项式定理中，令，则nnnnn1nn?

132r?

10242r12?

?

2?

C?

C?

LC?

?

?

?

?

C?

C?

C?

?

?

?

C?

?

?

?

?

从而得到：

nnnnnnn2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0n01n?

12n?

22n0nn12nLLxx?

?

?

x?

aaxa?

?

Cax?

Cax?

Cax?

a?

C（a?

x）annn20n1n00n122n?

2nn0nn?

1n21LL?

xa?

ax?

axa?

a?

Cax?

x?

Cax?

（xa）?

?

Cax?

C0n1nn2nnnL?

?

?

?

?

?

?

1）?

?

?

①则a?

a?

a?

a?

a?

（a令x?

1,n3012nL?

?

?

?

?

?

1）?

?

?

?

?

aa?

a?

②?

a?

（a令x?

?

1,则an1032nn1）（a（a?

1）?

?

L）奇数项的系数和a?

a?

a（?

①?

②得,a?

n0242nn1）a?

a?

1）（?

（L）偶数项的系数和?

?

a（?

a①?

②得,a?

an5312nCn2是偶数时，则中间一项的二项式系数⑤二项式系数的最大项：

如果二项式的幂指数取得最大值。

nn?

1?

1nCCn22同时取得最大值。

是奇数时，则中间两项的二项式系数如果二项式的幂指数,nnn（a?

bx）展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别⑥系数的最大项：

求A?

A?

r1r?

A,A,?

?

?

A1r?

r来。

，从而解出项系数最大，应有，设第为?

1n21?

A?

A?

r?

1r?

2

专题一

题型一：

二项式定理的逆用；

1232nn?

1C?

C?

6?

C?

6?

L?

C?

6?

.例：

nnnnn012233nn（1?

6）?

C?

C?

6?

C?

6?

C?

6?

L?

C?

6与已知的有一些差距，解：

nnnnn112n2n123n2n?

1?

6?

L?

6C）?

C?

C?

?

C6?

?

6?

?

6（C?

?

C6L?

?

Cnnnnnnn6111nn0n122n1）（7?

?

6）[（11）?

CL?

C6?

?

C?

（C?

6?

?

6?

?

?

?

1]nnnn666123n?

1nC?

3C?

9C?

L?

3C?

.练：

nnnn

2

123n?

1nS?

C?

3C?

9C?

L?

3C，则解：

设nnnnn12233nn012233nnn?

3）11?

（1?

3?

C?

L?

C3?

3?

C3?

L?

C3?

C?

C3?

C3?

3SC3?

Cnnnnnnnnnnnn?

43）1?

1（1?

?

S?

?

n33nx的系数；题型二：

利用通项公式求133n2453x）x?

（的项的系数？

项的系数为例：

在二项式，求含有的展开式中倒数第4x2n?

2210或n?

n?

?

9（舍去）45C?

?

45C0?

nn?

90?

?

，解得，，即，由解：

由条件知nn210?

r2110?

r2?

r?

?

rrr10r?

x（T?

C（x）x）?

C?

r?

3,解得r?

6?

3344，，由题意10?

1r104363337T?

Cx?

210xx210。

则含有,的项是第系数为项1016?

1929x?

（x）练：

求展开式中的系数？

x2111r318?

rr18?

2rr?

rrr2r9?

r3?

9r18?

3r?

xx?

?

C）（?

TC（x）?

）（（?

）?

Cx解：

，令,则99r?

19222x211339x?

）?

C（?

的系数为故。

922

题型三：

利用通项公式求常数项；

1102）（x?

的展开式中的常数项？

例：

求二项式x25145511?

20r88rrrr210?

r?

C（）T?

8r?

020?

r?

x）（）?

C（）T?

C（x2，令解：

，所以，得10r?

110109225622x216）（2x?

练：

求二项式的展开式中的常数项？

x21133rr?

6?

rrr6?

2rrrr620?

C?

T?

（?

1）3r?

r6?

2?

0x1）2）?

TCC（（?

1））（）?

（?

（2x解：

，令，得，所以6461?

6r22x1n2____.?

n5）x?

（练：

若的二项展开式中第项为常数项，则x16n?

4?

412n2?

442n0?

12?

2nx）（x）C?

TC?

（.，令解：

，得nn5x题型四：

利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

93x?

）x（展开式中的有理项？

例：

求二项式

3

127?

r127?

rrrr9?

rrx1）CT?

C（x）x）?

（?

（?

0?

r?

9r?

3或r?

9Z?

632，,（），令得解：

9r?

19627?

r3443C?

1）T?

（x?

?

84xr?

34?

时，所以当，，946r27?

3339C?

?

x1）T?

（?

x9r?

3?

，。

当时，9106题型五：

奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；

1n2n256?

）x（?

.

例：

若展开式中偶数项系数和为，求32x12na,a,?

?

?

a,）（x?

解：

设展开式中各项系数依次设为n0132xnn令x?

?

1令x?

10,a?

a?

a?

?

?

?

a?

a?

a?

a?

?

?

?

?

（?

1）a?

2,②,则有,则有①，n2103n10nn?

12（a?

a?

a?

?

?

?

）?

?

2,?

a?

a?

a?

?

?

?

?

?

2,②得：

-将①533151n?

182?

256?

?

?

?

2?

n?

9。

有题意得，，

11n1024）（?

，求它的中间项。

练：

若的展开式中，所有的奇数项的系数和为532xxn?

11?

r?

1n0242r132?

2?

1024n?

112C?

L?

C?

?

?

?

?

CQC?

C?

?

?

?

?

C?

?

?

?

?

C?

，，解得解：

nnnnnnn6111?

5?

465x?

T?

462x）（462?

）T?

?

C（7n?

n?

6,15，，所以中间两个项分别为3516?

n5?

12xx题型六：

最大系数，最大项；1n765）（?

2x项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项例：

已知项，第，若展开式中第项与第2的系数是多少？

265414?

?

n7或n7?

n0,n?

98?

21?

QC?

C2C,?

n?

时，展开式中二项式系数最大的项是解：

解出，当nnn3511343443n?

14TT和70,?

2的系数?

C（）TC?

T的系数?

（）2?

时，展开式中二项式系数最大当，5477452221777T?

T的系数?

C（）2?

3432。

的项是，814822n）a?

b（的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

练：

在n2n?

1T?

T项。

，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第解：

二项式的幂指数是偶数1nn2?

1?

2x1n5）（?

项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？

练：

在的展开式中，只有第23x

4

n16258n?

?

7（C）?

1?

5,项的二项式最大，则，即解：

只有第所以展开式中常数项为第七项等于8227）ba?

（的展开式中，系数最大的项？

系数最小的项？

练：

写出在

第4,5项7）解：

因为二项式的幂指数的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有是奇数，所以中间两项（343434T?

?

CabT?

Cab系数最大。

的系数最小，74571n79）2x（?

的展开式中系数最大的项？

练：

若展开式前三项的二项式系数和等于，求211121212210T）（1?

4x（?

2x）?

（）Q12n?

79,?

?

CC?

C解：

由项最大，假设,解出1r?

nnn22rrr?

1r?

1?

A?

AC4?

C4?

?

12121rr?

?

?

9.4?

r?

10.4Q0?

r?

12?

r?

10，展开式中系数最，化简得到，又，?

?

A?

A1rr?

1r?

rC4?

C4?

?

?

2?

r?

1r121211210101010Tx（）C4x?

16896T?

大的项为有111211210（1?

2x）的展开式中系数最大的项是多少？

练：

在rrrTQT?

C?

2x项最大，解：

假设10r?

11r?

rrr?

1r?

1?

C2?

C2AA?

r2（11?

r）?

?

?

?

1010rr?

1?

?

解得6.3?

k?

7.3Q0?

r?

10，，又，化简得到?

?

?

r?

1?

2（10?

r）A?

A1?

?

1rrrrC2?

C2,?

?

?

?

2?

?

1rr10107777.T?

C2x?

15360x7?

?

r，展开式中系数最大的项为108题型七：

含有三项变两项；

25x2）?

3x（x?

的一次项的系数？

例：

求当的展开式中2525r25?

rrT]3xx?

2）?

x?

3x?

2）?

[（（）（3x（x?

2）T?

C1r?

的展开式中才有，解法①：

时，x，当且仅当5r?

11?

r144124xCC23xx2）3（x?

CT?

T?

，所以的一次项，此时得一次项为455?

12r144CC23?

240。

它的系数为45255505145051455（x?

3x?

2）?

（x?

1）（x?

2）?

（Cx?

Cx?

?

?

?

?

C）（Cx?

Cx2?

?

?

?

?

C2）解法②：

55555545544CxC2?

Cx2?

240xxx的系数为240.的项为，故展开式中故展开式中含555132）?

?

（x的常数项？

练：

求式子x1116?

r6?

2rrrrr636r?

1T?

C1）（x）（?

?

1）Cx?

（）（?

x?

?

?

x

（2）项为常数项，则解：

，设第，得6?

61rxxx

5

333?

?

0r6?

2rC?

?

201）（?

?

?

T,.,613?

题型八：

两个二项式相乘；

342.的系数?

x）展开式中x求（1?

2x）（1例：

mm3mmm,x?

C?

2?

2x）的展开式的通项是C?

（2x）Q（1?

解：

33n4nnnn4,2,3,2,3,n?

0,1,?

1?

x,其中m?

（1?

x）的展开式的通项是C0,1,?

（?

x）?

C?

4434）?

x2）x（12且n?

0,因此（1?

则m?

0且n?

2,m?

1且n?

1,m?

令m?

n?

2,

2110200211220?

?

6?

（C?

?

21）?

1）C?

?

2?

?

C?

（?

1）的展开式中x的系数等于CC?

2?

?

C?

（.

43343411063）?

展开式中的常数项求（1?

.x）（1练：

4xmn4m?

3n1?

10mnmn63?

）?

（1xC?

C?

x

（1）展开式的通项为Cx?

Cx?

3124解：

1010664xm?

0,m?

3,m?

6,?

?

?

其中m?

0,1,2,?

?

?

6,n?

0,1,2,?

?

?

10,当且仅当4m?

3n,即或或?

?

?

n?

0,n?

4,n?

8,?

?

?

003468时得展开式中的常数项为C?

C?

C?

C?

C?

C?

4246.

1010106661n*2）的展开式中没有常数项,n?

N且2?

n?

8,则n?

x已知（1?

?

x）（x?

______.练：

3x1nn?

rn?

4rr?

3rr,（通项分别与前面的三项相乘可得?

C展开式的通项为Cx?

xx?

?

x?

）解：

nn3xn?

4rn?

4r?

1n?

4r?

2rrr,Q展开式中不含常数项,2?

n?

8?

xC?

Cx,C?

xnnn?

n?

4r且n?

4r?

1且n?

4r?

2，即n?

4,8且n?

3,7且n?

2,6,?

n?

5.

题型九：

奇数项的系数和与偶数项的系数和；

2006在（x?

2）的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x?

2时,S?

_____.例：

20061232006-------x①L?

axx?

aa?

设（x?

2）=a?

ax?

解：

2006210320061232006-------②axx?

L2）?

x=a?

a?

?

axa?

（?

x20061023352005200620062）?

（x?

2）x?

xxx②得①?

2（a?

ax?

aL?

?

a（）?

20053151200620062006]?

2）x2）x?

xS?

（?

x2）展开式的奇次幂项之和为（）[（?

?

（2

6

3?

20062123008200620062]?

?

[（2?

2）?

?

（2?

2）?

当x?

2时,S

（2）?

22题型十：

赋值法；1n3ps）（3?

x若例：

设二项式,的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为xn272?

?

sp等于多少？

则1nn0n2n3a?

?

?

?

?

P?

a?

a2?

?

CS?

C?

?

?

x?

axa?

?

?

?

x?

）x?

a?

a?

（3，，有解：

若，nnn10n102xnnnnnnn）17（舍去02?

16或2?

?

?

4?

2272?

（2?

17）（2?

16）?

4?

P272p?

s?

1?

x，，又,令即解得得?

n?

4.

n?

?

1?

x?

?

364练：

若，则展开式的常数项为多少？

的展开式中各项系数之和为?

?

x?

?

n?

?

1n64?

2?

x?

?

36?

n1x?

，则展开式的常数项为的展开式中各项系数之和为，所以解：

令，则?

?

x?

?

1333）?

?

C（3x）（?

?

540.6xaaa20091232009200921的值为R）,则?

?

?

?

?

?

ax?

L?

ax?

（x若（1?

2x）a?

?

ax?

?

ax练：

2009023120092222aaaaaa1200920091122?

?

?

?

?

?

0,?

?

?

令x?

?

?

?

?

?

?

可得a?

a?

解：

0022009220092222222aaa200912?

?

?

?

?

?

?

?

1,因而1.?

在令x?

0可得a022009222554321若（x?

2）?

ax?

ax?

ax?

ax?

ax?

a,则a?

a?

a?

a?

a?

____.练：

51441230352令x?

0得a?

?

32,令x?

1得a?

a?

a?

a?

a?

a?

?

1,解：

5020314?

a?

a?

a?

a?

a?

31.52314题型十一：

整除性；

2n?

2*）N9（n?

?

8n3?

能被64整除例：

证明：

n2?

1n?

12n?

?

8?

（81）?

9n?

39?

8n?

9?

8?

n?

9证：

0n?

11nn?

12n1n?

1?

C?

C88?

?

?

?

?

C8?

C8?

C?

8n?

91?

1n?

1?

n11?

n?

nn0n?

11nn?

120n?

11nn?

12?

C?

C?

C88?

?

?

?

?

C8?

8（n?

1）?

1?

8n?

9?

C88?

?

?

?

?

C81?

n?

1nn?

n1?

11n?

?

1n2n?

2*整除64Nn3?

?

8?

n9（?

）能被整除由于各项均能被64

7

11的偶次项系数之和是展开式中x、（x－1）1f

（1）?

f（?

1）1111/2?

2）?

1024（?

?

偶次项系数之和是1、设f（x）=（x-1）,2nn2201C?

3C?

3C?

?

?

3C?

2、2、nnnnn4、21203）（?

5的展开式中的有理项是展开式的第3、项53、3,9,15,21

5展开式中各项系数绝对值之和是4、（2x-1）

555x=1，则所求和为34、（2x-1）展开式中各项系数系数绝对值之和实为（2x+1）展开式系数之和，故令

2104展开式中x的系数5、求（1+x+x）（1-x）4439210C?

x）（）x）（1?

x））（1?

（1?

x?

?

（1?

xx94展开式中的项1与（1-x）,要得到含5、x必须第一个因式中的的项，9114C（?

x）C?

C?

135493作积，故作积，第一个因式中的－x与（1-x）展开式中的项x的系数是9992103x的系数（1+x）+（1+x）+…+（1+x）展开式中6、求1011]?

x））[1?

（1（1?

x?

（x?

?

1）1）x（210?

）?

?

（1?

x1?

x）?

（1?

x）（43，则所实为这分子中的x=6、，原式中x）?

x1?

（1x7C求系数为11mn）Nm?

n?

）?

（1?

x）（?

f（x）?

（1x2n为何值时，x的系数最小？

展开式中，x、若7的系数为21，问m、213992222222x?

CCx）?

.（n?

?

CC?

2因n∈N，故当7、由条件得m+n=21，x的项为n=10或11时上式有，则nmnm242的系数最小n=11时，xm=11和n=10，或m=10和最小值，也就是为偶数时，求证：

8、自然数n1234n?

1n?

1n?

3C?

?

C2?

?

1?

2C?

C2C?

C?

?

2nnnnnn135n?

11nnn?

1n?

1201n?

22?

3.2?

?

C?

C?

?

C）?

?

（C?

C?

（CC?

?

?

C?

）?

C=8、原式nnnnnnnnn1180、求9除的余数被9110110111110?

?

?

C81?

1?

81k81C81）80?

（?

811?

C?

?

1（k?

Z）,

、9111111

8

1181除余，∴8被9k∈Z,∴9k-1∈Z∵25的系数+3x+2）的展开式中，求x10、在（x2555）2?

x?

1）（x（x?

3x?

2）?

（、10411xCx2x?

80C?

5555x的项为常数项为2=32（x+1）在展开式中，常数项为1，含x的项为，含展开式中，，在（2+x）551?

（80x）?

5x（32）?

240x，此展开式中x的系数为∴展开式中含x的项为240

12（2x+1）展开式中系数最大的项11、求T的系数，即有的系数不小于T与的系数最大，则11、设TTr+2r+1r+1rrr?

1?

r?

?

113r12?

rrC?

2C?

C2?

C2?

1212?

1212?

r?

111?

rr12?

r1r?

rC2?

C122C?

C?

?

1212121211?

?

r?

4,?

r3?

43344416Cx?

7920x项，∴展开式中系数最大项为第5T=512

9