(第6题)(第7题)(第8题)
7.如图所示,四边形ABCD中,AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连结AF,CE,若DE=BF,则下列结论:
①CF=AE;②OE=OF;③四边形ABCD是平行四边形;④图中共有四对全等三角形.其中正确结论的个数是 ( )
A.4B.3C.2D.1
二、填空题(每小题5分,共25分)
8.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AC=14,BD=8,AB=10,则△OAB的周长为 .
9.如图,在平行四边形ABCD中,AB=
,AD=4,将平行四边形ABCD沿AE翻折后,点B恰好与点C重合,则折痕AE的长为 .
(第9题)(第10题)
10.如图所示,平行四边形ABCD的周长是18cm,对角线AC,BD相交于点O,若△AOD与△AOB的周长差是5cm,则边AB的长是 cm.
11.如图,在平行四边形ABCD中,CE是∠DCB的平分线,F是AB的中点,AB=6,BC=4,则AE∶EF∶FB的值是 .
(第11题)(第12题)
12.如图,已知直线a∥b,点A、点C分别在直线a,b上,且AB⊥b,CD⊥a,垂足分别为B,D,有以下五种说法:
①点A到直线b的距离为线段AB的长;②点D到直线b的距离为线段CD的长;③a,b两直线之间距离为线段AB的长;④a,b两直线之间距离为线段CD的长;⑤AB=CD,其中正确的有(只填相应的序号) .
三、解答题(共47分)
13.(10分)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE.
求证:
四边形ABCD为平行四边形.
14.(12分)如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.
(1)求证:
四边形ADEF是平行四边形.
(2)求证:
∠DHF=∠DEF.
15.(12分)如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,点E是边CD的中点,点F在BC的延长线上,且CF=
BC,求证:
四边形OCFE是平行四边形.
16.(13分)嘉淇同学要证明命题
“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知,如图在四边形ABCD中,BC=AD,AB= .
求证:
四边形ABCD是 四边形.
(1)在方框中填空,以补全已知和求证.
(2)按嘉淇的想法写出证明:
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 .
参考答案
一、选择题(每小题4分,共28分)
1.如图,在平行四边形ABCD中,∠B=80°,AE平分∠BAD交BC于点E,CF∥AE交AD于点F,则∠1= ( )
A.40°B.50°C.60°D.80°
【解析】选B.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∵∠B=80°,∴∠BAD=100°,
又∵AE平分∠BAD交BC于点E,
∴∠EAD=
∠BAD=50°,
∵CF∥AE,∴四边形AECF是平行四边形,
∴∠1=∠EAD=50°.
2.平行四边形两邻角的平分线相交所成的角为 ( )
A.锐角B.直角C.钝角D.不确定
【解析】选B.▱ABCD的∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于点O,
∴∠DAB+∠ABC=180°,∠DAO=∠BAO=
∠DAB,∠ABO=∠CBO=
∠ABC,
∴∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠AOB=180°-90°=90°.
3.在▱ABCD中,AD=3cm,AB=2cm,则▱ABCD的周长等于 ( )
A.10cmB.6cmC.5cmD.4cm
【解析】选A.因为平行四边形的对边相等,所以AD=BC=3cm,AB=CD=2cm,所以周长为10cm.
4.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BC上.如果点F是边AD上的点,那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是 ( )
A.DF=BEB.AF=CE
C.CF=AED.CF∥AE
【解析】选C.由平行四边形的性质可得AB=CD,AD=BC,∠B=∠D等.A中,DF=BE,∠B=∠D,AB=CD,符合“边角边”定理,△CDF≌△ABE,选项A成立;B中,AF=CE,可得DF=BE,同选项A,选项B成立;C中,CF=AE,∠B=∠D,AB=CD,条件为两边及一边的对角,C不一定成立;D中,CF∥AE,可得四边形AECF是平行四边形,得AF=CE,所以BE=DF,同选项A,该选项成立.综上所述,选C.
5.如图,在平行四边形ABCD中,下列各式不一定正确的是 ( )
A.∠1+∠2=180°B.∠2+∠3=180°
C.∠3+∠4=180°D.∠2+∠4=180°
【解析】选D.由平行四边形的性质及图形可知:
∠1和∠2是邻补角,故∠1+∠2=180°,A正确;因为AD∥BC,所以∠2+∠3=180°,B正确;因为AB∥CD,所以∠3+∠4=180°,C正确;D.根据平行四边形的对角相等,∠2=∠4,∠2+∠4=180°不一定正确,故选D.
6.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是 ( )
A.3cmC.1cm【解析】选C.在△ABC中,BC-AB7.如图所示,四边形ABCD中,AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连结AF,CE,若DE=BF,则下列结论:
①CF=AE;②OE=OF;③四边形ABCD是平行四边形;④图中共有四对全等三角形.其中正确结论的个数是 ( )
A.4B.3C.2D.1
【解析】选B.∵AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,
∴∠DFC=∠BEA=90°.
∵DE=BF,∴DF=BE.
又∵AB=CD,
∴△DFC≌△BEA,∴CF=AE,①正确,∠CDF=∠ABE,
∴AB∥CD.又∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,③正确,∴OD=OB.
又∵DF=BE,∴OE=OF,②正确,
易知图中的全等三角形有:
△DFC≌△BEA,△OFC≌△OEA,△AOF≌△COE,
△AEF≌△CFE,△ACF≌△CAE,△AOB≌△COD,△AOD≌△COB,△ABD≌△CDB,△ACD≌△CAB,…,故④不正确.综上可知,正确的结论为①②③,共3个.
二、填空题(每小题5分,共25分)
8.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AC=14,BD=8,AB=10,则△OAB的周长为 .
【解析】因为平行四边形的对角线互相平分,所以OA=
AC=7,OB=
BD=4,又因为AB=10,所以△OAB的周长=7+4+10=21.
答案:
21
9.如图,在平行四边形ABCD中,AB=
,AD=4,将平行四边形ABCD沿AE翻折后,点B恰好与点C重合,则折痕AE的长为 .
【解析】点B恰好与点C重合,且四边形ABCD是平行四边形,根据翻折的性质,则AE⊥BC,BE=CE=2,在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=
=
=3.
答案:
3
10.如图所示,平行四边形ABCD的周长是18cm,对角线AC,BD相交于点O,若△AOD与△AOB的周长差是5cm,则边AB的长是 cm.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵△AOD的周长=OA+OD+AD,
△AOB的周长=OA+OB+AB,
又∵△AOD与△AOB的周长差是5cm,
∴AD=AB+5,设AB=x,AD=5+x,
则2(x+5+x)=18,解得x=2,即AB=2cm.
答案:
2
11.如图,在平行四边形ABCD中,CE是∠DCB的平分线,F是AB的中点,AB=6,BC=4,则AE∶EF∶FB的值是 .
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DCE=∠BEC.
∵CE是∠DCB的平分线,
∴∠DCE=∠BCE,
∴∠CEB=∠BCE,∴BE=BC=4.
∵F是AB的中点,AB=6,∴FB=3.
∴EF=BE-FB=1,∴AE=AB-BE=2,
∴AE∶EF∶FB=2∶1∶3.
答案:
2∶1∶3
12.
如图,已知直线a∥b,点A、点C分别在直线a,b上,且AB⊥b,CD⊥a,垂足分别为B,D,有以下五种说法:
①点A到直线b的距离为线段AB的长;②点D到直线b的距离为线段CD的长;③a,b两直线之间距离为线段AB的长;④a,b两直线之间距离为线段CD的长;⑤AB=CD,其中正确的有(只填相应的序号) .
【解析】本题主要考查点到直线的距离和平行线间的距离,①②③④⑤都正确.
答案:
①②③④⑤
三、解答题(共47分)
13.(10分)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE.
求证:
四边形ABCD为平行四边形.
【证明】∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF,
∵BE∥DF,∴∠BEF=∠DFE,
∴∠AEB=∠CFD.
在△AEB和△CFD中,
∴△AEB≌△CFD,
∴AB=CD.
又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
14.(12分)如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.
(1)求证:
四边形ADEF是平行四边形.
(2)求证:
∠DHF=∠DEF.
【证明】
(1)∵点D,E分别是AB,BC的中点,
∴DE∥AC;同理:
EF∥AB,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)∵四边形ADEF是平行四边形,
∴∠DAF=∠DEF.
∵在Rt△AHB中,D是AB中点,
∴DH=
AB=AD,
∴∠DAH=∠DHA,同理:
∠FAH=∠FHA,
∴∠DAF=∠DHF,
∴∠DHF=∠DEF.
15.(12分)如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,点E是边CD的中点,点F在BC的延长线上,且CF=
BC,求证:
四边形OCFE是平行四边形.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴点O是BD的中点.
又∵点E是边CD的中点,
∴OE是△BCD的中位线,
∴OE∥BC,且OE=
BC.
又∵CF=
BC,
∴OE=CF.
又∵点F在BC的延长线上,
∴OE∥CF,
∴四边形OCFE是平行四边形.
16.(13分)嘉淇同学要证明命题
“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知,如图在四边形ABCD中,BC=AD,AB= .
求证:
四边形ABCD是 四边形.
(1)在方框中填空,以补全已知和求证.
(2)按嘉淇的想法写出证明:
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 .
【解析】
(1)CD 平行
(2)证明:
连结BD.
在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD,AD=CB,BD=DB,
∴△ABD≌△CDB,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴AB∥CD,AD∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(3)平行四边形的对边相等.