新课标最新北师大版学年高中数学必修一考点精讲指数函数幂函数对数函数增长的比较.docx
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新课标最新北师大版学年高中数学必修一考点精讲指数函数幂函数对数函数增长的比较
北师大版高中数学必修一
[读教材·填要点]
1．三种函数的增长特点
（1）当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
（2）当a＞1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
（3）当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．
2．三种函数的增长比较
在区间（0，＋∞）上，尽管函数y＝ax（a＞1），y＝logax（a＞1）和y＝xn（n＞0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝xn（n＞0），指数函数y＝ax（a＞1）增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝ax（a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n＞0）的增长速度，而y＝logax（a＞1）的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有ax＞xn＞logax.
[小问题·大思维]
1．2x＞log2x，x2＞log2x，在（0，＋∞）上一定成立吗？
提示：
结合图像知一定成立．
2．2x＞x2在（0，＋∞）上一定成立吗？
提示：
不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.
[研一题]
[例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1130
2005
3130
4505
y2
5
94.478
1785.2
33733
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.3107
1.4295
1.1407
1.0461
1.0151
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
[答案] y2
[悟一法]
解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．
[通一类]
1．下面是f（x）随x的增大而得到的函数值列表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2x
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
x2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
2x＋7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
log2x
0
1
1.5850
2
2.3219
2.5850
2.8074
3
3.1699
3.3219
试问：
（1）随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
（2）各函数增长的快慢有什么不同？
解：
（1）随x的增大，各函数的函数值都在增大；
（2）由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f（x）＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f（x）＝log2x，而且增长的幅度越来越小.
[研一题]
[例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：
每天回报40元；
方案二：
第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：
第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
[自主解答] 设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：
y＝40（x∈N＋）；
方案二：
y＝10x（x∈N＋）；
方案三：
y＝0.4×2x－1（x∈N＋）．
作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.
天数
累积收益
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
…
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
…
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
…
∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．
[悟一法]
（1）解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．
（2）一般地：
指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．
[通一类]
2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：
元/102kg）与上市时间t（单位：
天）的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系；
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解：
（1）由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q＝at2＋bt＋c.
即
解得Q＝
t2－
t＋
；
（2）Q＝
（t－150）2＋
－
＝
（t－150）2＋100，
∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.
若x2＜logmx在x∈（0，
）内恒成立，求实数m的取值范围．
[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在（0，
）内的上下位置关系，再构建不等式求解．
[妙解] 设y1＝x2，y2＝logmx，作出符合题意的两函数的大致图像（如图），可知0＜m＜1.
当x＝
时，y1＝
，若两函数在x＝
处相交，
则y2＝
.由
＝logm
得m＝
，
又x2＜logmx在x∈（0，
）内恒成立，
因此，实数m的取值范围为
≤m＜1.
1．下面对函数f（x）＝log
x与g（x）＝（
）x在区间（0，＋∞）上的增减情况的说法中正确的是（ ）
A．f（x）的增减速度越来越慢，g（x）的增减速度越来越快
B．f（x）的增减速度越来越快，g（x）的增减速度越来越慢
C．f（x）的增减速度越来越慢，g（x）的增减速度越来越慢
D．f（x）的增减速度越来越快，g（x）的增减速度越来越快
解析：
在同一坐标下分别作出函数y＝log
x和y＝（
）x的图像，由图像知C正确．
答案：
C
2．下列所给函数，增长最快的是（ ）
A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝log5x D．y＝5x
答案：
D
3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是（ ）
A．y＝0.2xB．y＝
（x2＋2x）
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
解析：
当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A.
答案：
C
4．已知函数f（x）＝3x，g（x）＝2x，当x∈R时，f（x）与g（x）的大小关系为________．
解析：
在同一直角坐标系中画出函数f（x）＝3x，g（x）＝2x的图像，如图所示，
由于函数f（x）＝3x的图像在函数g（x）＝2x图像的上方，则f（x）＞g（x）．
答案：
f（x）＞g（x）
5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．
解析：
设湖水量每年为上年的q%，则（q%）50＝0.9，
∴q%＝0.9
，∴x年后湖水量y＝m·（q%）x＝m·0.9
.
答案：
y＝0.9
·m
6．函数f（x）＝lgx，g（x）＝0.3x－1的图像如图所示．
（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
（2）比较两函数的增长差异（以两图像交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）．
解：
（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lgx；
（2）当x＜x1时，g（x）＞f（x）；当x1＜x＜x2时，f（x）＞g（x）；当x＞x2时，g（x）＞f（x）．
一、选择题
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（ ）
A．y＝10xB．y＝lgx
C．y＝x10D．y＝10x
解析：
由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝10x的增长速度最快．
答案：
D
2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数y＝f（x）的大致图像为（ ）
解析：
y＝f（x）＝（1＋10.4%）x＝1.104x是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.
答案：
D
3．函数y＝2x－x2的图像大致是（ ）
解析：
由图像可知，y＝2x与y＝x2的交点有3个，说明函数y＝2x－x2与x轴的交点有3个，故排除B、C选项，当x2x成立，即y<0，故排除D.
答案：
A
4．当0＜x＜1时，f（x）＝x2，g（x）＝x
，h（x）＝x－2的大小关系是（ ）
A．h（x）＜g（x）＜f（x）B．h（x）＜f（x）＜g（x）
C．g（x）＜h（x）＜f（x）D．f（x）＜g（x）＜h（x）
解析：
在同一坐标下作出函数f（x）＝x2，g（x）＝x
，h（x）＝x－2的图像，由图像知，D正确．
答案：
D
二、填空题
5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y（万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．
解析：
1年后，y＝15（1＋x）；2年后，y＝15（1＋x）2；3年后，y＝15（1＋x）3，…，10年后，y＝15（1＋x）10.
答案：
y＝15（1＋x）10
6．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y＝f（x）的图像恰好经过k个格点，则称函数y＝f（x）为k阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．
①y＝x2；②y＝x－1；③y＝ex－1；④y＝log2x.
解析：
这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点（1，1），（－1，－1）；而③y＝ex－1除了（0，0）外，其余点的坐标都与e有关，所以不是整点，故③符合．
答案：
③
7．若a＝（
）x，b＝x3，c＝log
x，则当x＞1时，a，b，c的大小关系是________．
解析：
∵x＞1，∴a＝（
）x∈（0，1），b＝x3∈（1，＋∞），
c＝log
x∈（－∞，0）．∴c＜a＜b.
答案：
c＜a＜b
8．已知a＞0，a≠1，f（x）＝x2－ax，当x∈（－1，1）时，均有f（x）＜
，则实数a的取值范围是________．
解析：
当a＞1时，作出函数y1＝x2，y2＝ax的图像：
要使x∈（－1，1）时，均有f（x）＜
，只要当x＝－1时，有（－1）2－a－1≤
，解得a≤2，∴1＜a≤2.
当0＜a＜1时，同理，只需12－a1≤
，即a≥
.
∴
≤a＜1.
综上所述，a的取值范围是[
，1）∪（1，2]．
答案：
[
，1）∪（1，2]
三、解答题
9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：
“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．
迈克非常高兴，他同意订立这样的合同．
试通过计算说明，谁将在合同中获利？
解：
在一个月（按31天计算）的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310（万元）．而吉米，
第一天得到1分，
第二天得到2分，
第三天得到4分，
第四天得到8分，
第20天得到219分，
……
第31天得到230分，
使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2147483647分≈2147.48（万元）．
所以在这份合同中吉米纯获利2147.48－310＝1837.48（万元）．所以吉米将在合同中获利．
10．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y（万元）随销售利润
x（万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：
y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
解：
借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像（如图），观察图像发现，在区间[10，1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1000]上单调递增，当x∈（20，1000）时，y＞5，因此该模型不符合要求；
对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间（805，806）内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，因此该模型也不符合要求；
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有
＝
≤0.25成立．
令f（x）＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1000]．
利用计算器或计算机作出函数f（x）的图像（如图），
由图像可知它是单调递减的，因此
f（x）＜f（10）≈－0.3167＜0，log7x＋1＜0.25x.
所以，当x∈[10，1000]时，
＜0.25.
说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．
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