因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤.docx

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因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤

因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：

1、提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x-2x-x（2003淮安市中考题）

x-2x-x=x（x-2x-1）

2、应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a+4ab+4b（2003南通市中考题）

解：

a+4ab+4b=（a+2b）

3、分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n）,又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）

例3、分解因式m+5n-mn-5m

解：

m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n

=（m-5m）+（-mn+5n）

=m（m-5）-n（m-5）

=（m-5）（m-n）

4、十字相乘法

对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）

例4、分解因式7x-19x-6

分析：

1-3

72

2-21=-19

解：

7x-19x-6=（7x+2）（x-3）

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x+3x-40

解x+3x-40=x+3x+（）-（）-40

=（x+）-（）

=（x++）（x+-）

=（x+8）（x-5）

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）

解：

bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）

=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）

=（c+b）（c-a）（a+b）

7、换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例7、分解因式2x-x-6x-x+2

解：

2x-x-6x-x+2=2（x+1）-x（x+1）-6x

=x[2（x+）-（x+）-6

令y=x+,x[2（x+）-（x+）-6

=x[2（y-2）-y-6]

=x（2y-y-10）

=x（y+2）（2y-5）

=x（x++2）（2x+-5）

=（x+2x+1）（2x-5x+2）

=（x+1）（2x-1）（x-2）

8、求根法

令多项式f（x）=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f（x）=（x-x）（x-x）（x-x）……（x-x）

例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6

解：

令f（x）=2x+7x-2x-13x+6=0

通过综合除法可知，f（x）=0根为，-3，-2，1

则2x+7x-2x-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）

9、图象法

令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x，则多项式可因式分解为f（x）=f（x）=（x-x）（x-x）（x-x）……（x-x）

例9、因式分解x+2x-5x-6

解：

令y=x+2x-5x-6

作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2

则x+2x-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）

10、主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

例10、分解因式a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）

分析：

此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

解：

a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）=a（b-c）-a（b-c）+（bc-cb）

=（b-c）[a-a（b+c）+bc]

=（b-c）（a-b）（a-c）

11、利用特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x+9x+23x+15

解：

令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x-x-5x-6x-4

分析：

易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：

设x-x-5x-6x-4=（x+ax+b）（x+cx+d）

=x+（a+c）x+（ac+b+d）x+（ad+bc）x+bd

所以解得

则x-x-5x-6x-4=（x+x+1）（x-2x-4）

多项式因式分解的一般步骤

2007-10-2813:

19

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

（6）应用因式定理：

如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。

如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式

另外，在多次多项式内，还可以用双十字相乘法，轮换对称法解决。

主要注意事项：

初学因式分解的“四个注意”

因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。

学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。

因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：

首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

现举数例，说明如下，供参考。

例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

解：

－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

这里的“负”，指“负号”。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?

膊荒芗汉啪拖取疤帷保匀饨蟹治觯?

/p>

如例2△abc的三边a、b、c有如下关系式：

－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。

分析：

此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：

∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．

又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，

即a＝c，△abc为等腰三角形。

例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。

解：

－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）

这里的“公”指“公因式”。

如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。

例4在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。

解：

x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6）

这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

即分解到底，不能半途而废的意思。

其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。

由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：

“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。

例题：

3ab+5b

-22y2+35y-3

a^2+b^2+ab+a+b+a+1

所有因式分解的破解法

2007-10-2813:

20

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．

⑴提公因式法

①公因式：

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

②提公因式法：

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具体方法：

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.

⑵运用公式法

①平方差公式：

.a^2－b^2＝（a＋b）（a－b）

②完全平方公式：

a^2±2ab＋b^2＝（a±b）^2

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍.

③立方和公式：

a^3+b^3＝（a+b）（a^2-ab+b^2）.

立方差公式：

a^3-b^3＝（a-b）（a^2+ab+b^2）.

④完全立方公式：

a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝（a±b）^3

⑤a^n-b^n=（a-b）[a^（n-1）+a^（n-2）b+……+b^（n-2）a+b^（n-1）]

a^m+b^m=（a+b）[a^（m-1）-a^（m-2）b+……-b^（m-2）a+b^（m-1）]（m为奇数）

⑶分组分解法

分组分解法：

把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.

⑷拆项、补项法

拆项、补项法：

把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.

⑸十字相乘法

①x^2＋（pq）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：

二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

x^2＋（pq）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m时，那么

kx^2＋mx＋n＝（axb）（cxd）

a\-----/bac＝kbd＝n

c/-----\dad＋bc＝m

※多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

（6）应用因式定理：

如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。

如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。

经典例题：

1.分解因式（1+y）^2-2x^2（1+y^2）+x^4（1-y）^2

解：

原式=（1+y）^2+2（1+y）x^2（1+y）+x^4（1-y）^2-2（1+y）x^2（1-y）-2x^2（1+y^2）

=[（1+y）+x^2（1-y）]^2-2（1+y）x^2（1-y）-2x^2（1+y^2）

=[（1+y）+x^2（1-y）]^2-（2x）^2

=[（1+y）+x^2（1-y）+2x]·[（1+y）+x^2（1-y）-2x]

=（x^2-x^2y+2x+y+1）（x^2-x^2y-2x+y+1）

=[（x+1）^2-y（x^2-1）][（x-1）^2-y（x^2-1）]

=（x+1）（x+1-xy+y）（x-1）（x-1-xy-y）

2.证明：

对于任何数x,y，下式的值都不会为33

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

解：

原式=（x^5+3x^4y）-（5x^3y^2+15x^2y^3）+（4xy^4+12y^5）

=x^4（x+3y）-5x^2y^2（x+3y）+4y^4（x+3y）

=（x+3y）（x^4-5x^2y^2+4y^4）

=（x+3y）（x^2-4y^2）（x^2-y^2）

=（x+3y）（x+y）（x-y）（x+2y）（x-2y）

当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立

因式分解的十二种方法

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：

1、提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x-2x-x（2003淮安市中考题）

x-2x-x=x（x-2x-1）

2、应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a+4ab+4b（2003南通市中考题）

解：

a+4ab+4b=（a+2b）

3、分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n）,又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）

例3、分解因式m+5n-mn-5m

解：

m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n

=（m-5m）+（-mn+5n）

=m（m-5）-n（m-5）

=（m-5）（m-n）

4、十字相乘法

对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）

例4、分解因式7x-19x-6

分析：

1-3

72

2-21=-19

解：

7x-19x-6=（7x+2）（x-3）

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x+3x-40

解x+3x-40=x+3x+（）-（）-40

=（x+）-（）

=（x++）（x+-）

=（x+8）（x-5）

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）

解：

bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）

=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）

=（c+b）（c-a）（a+b）

7、换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例7、分解因式2x-x-6x-x+2

解：

2x-x-6x-x+2=2（x+1）-x（x+1）-6x

=x[2（x+）-（x+）-6

令y=x+,x[2（x+）-（x+）-6

=x[2（y-2）-y-6]

=x（2y-y-10）

=x（y+2）（2y-5）

=x（x++2）（2x+-5）

=（x+2x+1）（2x-5x+2）

=（x+1）（2x-1）（x-2）

8、求根法

令多项式f（x）=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f（x）=（x-x）（x-x）（x-x）……（x-x）

例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6

解：

令f（x）=2x+7x-2x-13x+6=0

通过综合除法可知，f（x）=0根为，-3，-2，1

则2x+7x-2x-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）

9、图像法

令y=f（x），做出函数y=f（x）的图像，找到函数图像与X轴的交点x,x,x,……x，则多项式可因式分解为f（x）=f（x）=（x-x）（x-x）（x-x）……（x-x）

例9、因式分解x+2x-5x-6

解：

令y=x+2x-5x-6

作出其图像，见右图，与x轴交点为-3，-1，2

则x+2x-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）

10、主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

例10、分解因式a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）

分析：

此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

解：

a（b-c）+b（c-a）+c（a-b）=a（b-c）-a（b-c）+（bc-cb）

=（b-c）[a-a（b+c）+bc]

=（b-c）（a-b）（a-c）

11、利用特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x+9x+23x+15

解：

令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x-x-5x-6x-4

分析：

易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：

设x-x-5x-6x-4=（x+ax+b）（x+cx+d）

=x+（a+c）x+（ac+b+d）x+（ad+bc）x+bd

所以解得

则x-x-5x-6x-4=（x+x+1）（x-2x-4）

初学因式分解的“四个注意”

因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。

学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。

因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：

首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

现举数例，说明如下，供参考。

例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

解：

－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

这里的“负”，指“负号”。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?

膊荒芗汉啪拖取疤帷保匀饨蟹治觯?

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如例2△abc的三边a、b、c有如下关系式：

－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。

分析：

此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：

∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．

又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，

即a＝c，△abc为等腰三角形。

例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。

解：

－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）

这里的“公”指“公因式”。

如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。

例4在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。

解：

x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6）

这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

即分解到底，不能半途而废的意思。

其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

防止学生出现诸