时，杆对小球的支持力 于小球的重力；
③当v＝
时，杆对小球的支持力 于零；
④当v>
时，杆对小球提供 力.
类此模型：
汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等。
（三）、例子讲解
1、圆周运动中绳模型的应用
【例题1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m，由静止从高为h的斜轨顶端A点开始下滑，到半径为r的圆形轨道最高点
B时恰好对轨道无压力。
求在圆形轨道最高点B时的速度大小。
【训练1】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m＝0．5kg，绳长l=60cm，求：
（1）最高点水做圆周运动的最小速率。
（2）水在最高点速率v＝3m／s时，水对桶底的压力．
2、圆周运动中的杆模型的应用
【例题2】一根长l＝0.625m的细杆，一端拴一质量m=0.4kg的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：
（1）小球通过最高点时的最小速度；
（2）若小球以速度v1=3.0m／s通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?
方向如何？
【训练2】如图所示，长为L的轻杆一端有一个质量为m的小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（）
B.小球到达最高点的速度可能为0
牛刀小试：
【练习1】如图所示，在竖直平面内有一内径为d的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R远远大于d，有一质量为m的小球，直径略小于d，可在圆管中做圆周运动。
若小球恰能在圆环轨道中完成圆周运动，则小球在通过最高点时
受到轨道给它的作用力为___________。
若小球通过圆环轨道
最高点时速度恰为
，则小球在通过最高点时受到轨道给
它的作用力为___________。
【练习2】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r，图中P、Q两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是（）
A.若连接体是轻质细绳时，小球到达P点的速度可以为零
B.若连接体是轻质细杆时，小球到达P点的速度可以为零
C.若连接体是轻质细绳时，小球在P点受到细绳的拉力可能为零
D.若连接体是轻质细杆时，小球在P点受到细杆的作用力为拉力，
在Q点受到细杆的作用力为推力
填写表格：
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
过最高点的临界条件
动力学规律：
临界速度：
小球能运动即可
V=0
讨论分析
1、能通过最高点条件是：
a\动力学规律：
b\物体受弹力方向：
1、当
时，杆对小球的支持力
小球的重力，方向为：
2、当
时，
杆对小球的支持力 于零
2、不能通过最高点的条件是：
3、当
，杆提供力，
动力学规律：
方向指向；且随速度的增大而；
3、在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于，质点才能运动过最高点；
d\过最高点的最小向心加速度
4、当
时，支持力 于小球的重力；方向指向；且随速度的增大而；
5、质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度
，才能运动到最高点。
过最高点的最小向心加速度
。
过最低点时：
轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即，向心加速度的表达式也相同，即。
质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）：
证明质点运动到最低点和最高点的向心力之差等于4mg，向心加速度大小之差等于
。
证：
基础巩固、
1．如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F可能（）
A．是拉力B．是支持力
C．等于零D．可能是拉力，可能是支持力，也可能等于零
2．如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）
A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力
3．长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。
现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v，则下列叙述正确的是（）
A．v的最小值为
B．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大
C．v由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大
D．v由
逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增大
4．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（）
A．0B．mgC．3mgD．5mg
5．长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为
和
，细线所受拉力分别为
、
，则（）
A．
=
B．
=0C．
=5mgD．
=0
6．质量可忽略，长为L的轻棒，末端固定一质量为m的小球，要使其绕另一端点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度
必须满足的条件为（）
A．
≥
B．
≥
C．
≥2
D．
≥
7.如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（）
A．速度v至少为
，才能使两球在管内做圆周运动
B．当v=
时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
C．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg
D．只要v≥
，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg
8．如图所示，位于竖直平面内的过山车轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，一切摩擦不计，圆形轨道的半径为R。
一质量为m的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。
（1）若要求过山车安全通过圆形轨道最高点B，过山车过圆形轨道最高点B的速度至少是多少？
（2）为使过山车在B点达到该速度，A点的高度应该是多少？
（3）要求物块能通过圆形轨道最高点B，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。
求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范
9．如图6-11-8所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动，求：
（1）小球在最高点A时速度
为多大时，才能使杆对小球m的作用力为零？
（2）小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少？
（3）如m=0.5kg,L=0.5m,
=0.4m/s,则在最高点A和最低点B时,杆对小球m的作用力各是多大?
是推力还是拉力?
辅导讲义
教师
科目
数学
上课日期
总共学时
学生
年级
高一升高二
上课时间
第几学时
类别
基础
提高
培优
科组长签字
教务主管签字
校区主任签字
一、教学目标：
1、掌握平均数、中位数、众数的意义和计算公式
2、掌握方差、标准差的意义和计算公式
3、熟练描述数据的集中趋势和波动情况
4、学会分析频数分布直方图
二、上课内容：
1、知识点的复习
2、考点例题分析讲解
3、课堂巩固练习
4、课堂小结
三．课后作业：
见教案
四、家长签名（本人确认：
孩子已经完成“课后作业”）__________________
数据的分析
课题1数据的集中趋势
知识点一
1．复习统计学的几个基本概念：
总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。
2.平均数：
把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。
平均数反映一组数据的平均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。
例题讲解
例1某校初二年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下：
班级
1班
2班
3班
4班
参考人数
40
42
45
32
平均成绩
80
81
82
79
求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？
下述计算方法是否合理？
为什么？
=
例2老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:
作业占100%、测验占30%、期中占35%、期末考试占35%，小关和小兵的成绩如下表：
学生
作业
测验
期中考试
期末考试
小关
80
75
71
88
小兵
76
80
68
90
求：
小关和小兵的学期总平均成绩？
课堂练习
1．在一个样本中，2出现了x
次，3出现了x
次，4出现了x
次，5出现了x
次，则这个样本的平均数为.
2．某人打靶，有a次打中
环，b次打中
环，则这个人平均每次中靶环。
3．一家公司打算招聘一名部门经理，现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行评分，笔试占总成绩20%、面试占30%、实习成绩占50%，各项成绩如表所示：
应聘者
笔试
面试
实习
甲
85
83
90
乙
80
85
92
试判断谁会被公司录取，为什么？
4．在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为84分。
已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？
5.为了鉴定某种灯泡的质量，对其中100只灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：
（单位：
小时）
寿命
450
550
600
650
700
只数
20
10
30
15
25
求这些灯泡的平均使用寿命？
3.加深对加权平均数的理解，利用频数分布表求加权平均数
例题讲解
例1某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况，对学生作课外作业所用时间进行调查，下表是该校初二某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表。
求：
所用时间t（分钟）
人数
0＜t≤10
4
0＜≤
6
20＜t≤20
14
30＜t≤40
13
40＜t≤50
9
50＜t≤60
4
（1）、第二组数据的组中值是多少？
（2）、求该班学生平均每天做数学作业所用时间
例2某班40名学生身高情况如下图，请计算该班学生平均身高
4、众数：
在一组数据中，出现次数最多的数（有时不止一个），叫做这组数据的众数
5、中位数：
将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．
6、平均数、与中位数、众数的区别与联系。
联系：
平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数的应用最为广泛。
区别：
（1）平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动。
（2）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。
当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。
（3）众数主要研究个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数。
其中众数的学习是重点。
例题讲解
例1为了培养学生的环保意识，某校组织课外小组对该市进行空气含尘调查，下面是一天中每2小时测得的数据（单位：
g/m3）:
（1）求出这组数据的众数和中位数；
（2）如果对大气飘尘的要求为平均值不超过g/m3，问这天该城市的空气是否符合要求？
为什么？
例2A、B两班在一次百科知识对抗赛中的成绩统计如下：
分数
50
60
70
80
90
100
人数（A班）
3
5
15
3
13
11
人数（B班）
1
6
12
11
15
5
根据表中数据完成下列各题：
（1）A班众数为分，B班众数为分，从众数看成绩较好的是班；
（2）A班中位数为分，B班中位数为分，A班中成绩在中位数以上的（包括中位数）学生所占的百分比是%，B班中成绩在中位数以上的（包括中位数）学生所占的百分比是%，从中位数看成绩较好的是班；
（3）若成绩在85分以上为优秀，则A班优秀率为%，B班优秀率为%，从优秀率看成绩较好的是班.
（4）A班平均数为分，B班平均数为分，从平均数看成绩较好的是班；
例3某酒店共有6名员工，所有员工的工资如下表所示：
人员
经理
会计
厨师
服务员1
服务员2
勤杂工
月工资（元）
4000
600
900
500
500
400
（1）酒店所有员工的平均月工资是多少元？
（2）平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？
若能，请说明理由.若不能，如何才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？
谈谈你的看法.
课堂练习
1.数据8、9、9、8、10、8、99、8、10、7、9、9、8的中位数是，众数是
2.一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是.
3.数据92、96、98、100、X的众数是96，则其中位数和平均数分别是（）
A.97、96B.96、96.4C.96、97D.98、97
4.如果在一组数据中，23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，并且没有其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是（）
A.24、25B.23、24C.25、25D.23、25
5.随机抽取我市一年（按365天计）中的30天平均气温状况如下表：
温度（℃）
-8
-1
7
15
21
24
30
天数
3
5
5
7
6
2
2
请你根据上述数据回答问题：
（1）该组数据的中位数是什么？
（2）若当气温在18℃~25℃为市民“满意温度”，则我市一年中达到市民“满意温度”的大约有多少天？
6.在一次环保知识竞赛中，某班50名学生成绩如下表所示：
得分
50
60
70
80
90
100
110
120
人数
2
3
6
14
15
5
4
1
分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数。
7.公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下：
（单位：
岁）
甲群：
13、13、14、15、15、15、16、17、17。
乙群：
3、4、4、5、5、6、6、54、57。
（1）甲群游客的平均年龄是岁，中位数是岁，众数是岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是。
（2）乙群游客的平均年龄是岁，中位数是岁，众数是岁。
其中能较好反映乙群游客年龄特征的是。
8.某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下：
职员
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
（1）求该公司职员月工资的平均数、中位数、众数？
（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？
（精确到元）
（3）你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司职工的工资水平？
9.某公司有15名员工，它们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表示：
部门
A
B
C
D
E
F
G
人数
1
1
2
4
2
2
3
每人所创的年利润
20
5
根据表中的信息填空：
（1）该公司每人所创年利润的平均数是万元。
（2）该公司每人所创年利润的中位数是万元。
（3）你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平？
答
答案：
1.
（1）.2090、500、1500
（2）.3288、1500、1500
（3）中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。
2.
（1）3.2万元
（2）2.1万元（3）中位数
课后作业
一、选择题
1．一组数据3，5，7，m，n的平均数是6，则m，n的平均数是（）
A.6B.7C.7.5D.15
2．小华的数学平时成绩为92分，期中成绩为90分，期末成绩为96分，若按3：
3：
4的比例计算总评成绩，则小华的数学总评成绩应为（）
A．92B．93C
3.关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中正确的是（）
A.平均数一定是这组数中的某个数B.中位数一定是这组数中的某个数
C.众数一定是这组数中的某个数D.以上说法都不对
4．某小组在一次测试中的成绩为：
86，92，84，92，85，85，86，94，92，83，则这个小组本次测试成绩的中位数是（）
A．85B．86C
5．某人上山的平均速度为3km/h，沿原路下山的平均速度为5km/h，上山用1h，则此人上下山的平均速度为（）
A.4km/hB.3.75km/hC.3.5km/hD.4.5km/h
6．在校冬季运动会上，有15名选手参加了200米预赛，取前八名进入决赛.已知参赛选手成绩各不相同，某选手要想知道自己是否进入决赛，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（）
二、填空题：
7．将9个数据从小到大排列后，第个数是这组数据的中位数。
8．如果一组数据4，6，x，7的平均数是5，则x=。
9．已知一组数据：
5，3，6，5，8，6，4，11，则它的众数是，中位数是。
10．一组数据12，16，11，17，13，x的中位数是14，则x=。
11．某射击选手在10次射击时的成绩如下表：
环数
7
8
9
10
次数
2
4
1
3
则这组数据的平均数是，中位数是，众数是。
12．某小组10个人在一次数学小测试中，有3个人的平均成绩为96，其余7个人的平均成绩为86，则这个小组的本次测试的平均成绩为。
13．为了了解某立交桥段在四月份过往车辆承载情况，连续记录了6天的车流量（单位：
千辆/日）：
3．2，3．4，3，2．8，3．4，7，则这个月该桥过往车辆的总数大约为辆。
课题2数据的波动程度
知识点一：
极差
1.定义：
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差。
2.计算公式：
极差＝最大值－最小值。
例题讲解
例1一组数据：
473、865、368、774、539、474的极差是，一组数据1736、1350、-2114、-1736的极差是。
例2一组数据3、-1、0、2、X的极差是5，且X为自然数，则X=.
例3下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（）
例4一组数据X
、X
…X
的极差是8，则另一组数据2X
+1、2X
+1…，2X
+1的极差是（）
A.8B.16C
课堂练习
1．已知样本9.9、10.3、10.3、9.9、10.1，则样本极差是（）
B.16C.0.2
2.在一次数学考试中，第一小组14名学生的成绩与全组平均分的差是2、3、-5、10、12、8、2、-1、4、-10、-2、5、5、-5，那么这个小组的平均成绩是（）
A.87B.83C.85D无法确定
3．已知一组数据2.1、1.9、1.8、X、2.2的平均数为2，则极差是。
4．若10个数的平均数是3，极差是4，则将这10个数都扩大10倍，则这组数据的平均数是，极差是。
5．某活动小组为使全小组成员的成绩都要达到优秀，打算实施“以优帮困”计划，为此统计了上次测试各成员的成绩（单位：
分）
90、95、87、92、63、54、82、76、55、100、45、80
计算这组数据的极差，这个极差说明什么问题？
将数据适当分组，做出频率分布表和频数分布直方图。
知识点二：
方差
1.定义：
用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差。
2.
升级会员 