《材料力学》压杆稳定习题解.docx
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《材料力学》压杆稳定习题解
第九章压杆稳定习题解
［习题9-1］在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线
状时，压杆在Fcr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得Fcr公式又
是否相同。
因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是
Elw"M（x）°（c）、（d）的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程:
Elw"M（x），显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的
2ei
［习题9-2］图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图所示杆在中间支承处不能转动）？
它们能承受的压力与原压相的相当长度丨的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长
度系数。
（a）l155m（b）l0.774.9m（e）l0.594.5m（d）l224m（e）l188m（f）l0.753.5m（下段）；l0.552.5m（上段）
故图e所示杆Fcr最小，图f所示杆Fcr最大。
［习题9-3］图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性
地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。
试问两杆的临界力是否均为Pcr
Elmin
（2.I）2
螺旋千斤顶（图C）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？
校核丝杆稳定性时,把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为I的压杆是否偏于安全？
解：
临界力与压杆两端的支承情况有关。
因为⑻的下支座不同于（b）的下支座，所以它们的
临界力计算公式不同。
（b）为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2，其临界
2EIi
力为：
巳r齐。
但是，（a）为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素
（2.I）
2EIi
2，因此，不能用PCr（2.I）2来计算临界力。
因此，长度因素可以大于2。
这与弹性支座的转动刚度
当C0时，
螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。
它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。
当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。
因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。
这种情况，2，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座
上）、上端自由、长度为I的压杆”算出来的临界力要小。
譬如，设转动刚度C—20旦，
l
［习题9-4］试推导两端固定、弯曲刚度为EI，长度为I的等截面中心受压直杆的临界应力
Pcr的欧拉公式。
把A、B的值代入（
a）得：
v
M
Pe
e（1
r
eoskx）
1
v
Me
ksinkx
Per
边界条件：
③
x
L；v
0:
0
（1eoskL），
FLr
1eoskL0
④
x
0v'
0:
0
Me
ksinkL
Per
sinkL0
②x0v0:
0Akeos0Bksin0；A0。
［解］:
设压杆向右弯曲。
压杆处于临界状态时，两端的竖向反
下标e表示端部end的意思。
若取下截离体为研究对象,转向为逆转。
M（x）
Perv（x）Me
II
Elv
M（x）Me
II
Elv
Pe,（X）Me
II
Per
/\Me
v
v（x），
El
El
II
v
k2v
2Mek2e
Pc,（X）
上述微分方程的通解为:
Per
令k2虫，则—
ElPerEI
2EI
2
（0.5L）2
［习题9-5］长5m的10号工字钢，在温度为00C时安装在两个固定支座之间，这时杆不受
力。
已知钢的线膨胀系数］125107（0C）1，E210GPa。
试问当温度升高至多少
度时，杆将丧失稳定性？
卅乩加U咖1尸
屮F125xW7X14.3XW4
［习题9-6］两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。
试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线
形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力Pcr的
解：
在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况:
（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳:
//=0.5
（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳
4=2
失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。
（c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳
［习题9-7］图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在B点铰支，而在A点和
C点固定，D为铰接点,力，试确定作用于结点
-10。
若结构由于杆件在平面
d
D处的荷载F的临界值。
ABCD内弹性失稳而丧失承载能
解：
杆DB为两端铰支.，杆DAMDC为一端铰支一端固定，选取“丄’。
此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC
也失稳时整个结构才丧失承载能力，故
%】
忑="下反=5-了助#xlL
2H
［习题9-8］图示铰接杆系ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。
若由于杆
件在平面ABC内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时的角（假设0
即:
上端铰支、长I4m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所
b类截面中心受压杆的要求。
已知杆的材料为Q235钢,
arctan（cot2
［习题9-9］下端固定、
示，并符合钢结构设计规范中实腹式
强度许用应力［］170MPa，试求压杆的许可荷载。
解：
查型钢表得:
\=2x1983xW®=3966xl0'efn4.=2x（25.6xl0's+l274xl0_4x32.3axIO-0）=3253x10^m
^t=t^=15^=0'301
=二0.301x170=51.2MPa
[5,]=J4[cr]st=2x12.74x10^x51.2x1^=130x1b3N=130kN
[习题9-10]如果杆分别由下列材料制成：
（1）比例极限P220MPa，弹性模量E190GPa的钢；
（2）P490MPa，E215GPa，含镍3.5%的镍钢；
（3）p20MPa，E11GPa的松木。
试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。
解：
（1）
二923
（2）
（3）
=73.7
［习题9-11］两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为150mm<150mm的^正方形，长度I3.5m，强度许用应力［］10MPa。
试求木柱的许可荷载。
解:
=80.8
由公式（9-12a）
[F]=^[a]A=0.393x10x10*X15O3xKT6=88.4xlC3N=88^kN
1.3kN，木材的强度许用应力[]10MPa。
[习题9-12]图示结构由钢曲杆AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。
已知结构所有的连
接均为铰连接，在B点处承受竖直荷载F试校核BC杆的稳定性。
解：
把BC杆切断，代之以轴力N,则
Ma0
1.5cosC0.6
J221.52
1.3
0.80.6
0.929（kN）
bh3
12
—40403213333（mm4）
12
11.547（mm）
12.5103
11.547
216.591
由公式（9—12b）得:
[]st[]0.0597100.597MPa
0.581MPa
929N
2
4040mm
因为
[]st，所以压杆BC稳定。
［习题9-13］—支柱由4根80mm80mm6mm的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。
支柱的两端为铰支，柱长I6m，压力为
450kN。
若材料为Q235钢，强度许用应力［］170MPa，试求支柱横截面边长a的尺寸。
”二•：
.「■-7II■'-r-：
■：
■■-II■'r4
』二4［山壮（|一21.疔5」］
［习题9-14］某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b
类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，［］170MPa。
若按两
端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。
解：
由型钢表杳得-二：
：
：
-，角钢:
A=24.37
加=4.85xlO_2m
查表：
■'---二
[7?
]=0.672x170x2x24.37x10-*=557kN
［习题9-15］图示结构中，BC为圆截面杆，其直径d80mm;AC边长a70mm的正方形截面杆。
已知该结构的约束情况为A端固定，BC为球形铰。
两杆的材料均为Q235钢,
1040227N1040.227kN
416（kN）
AB杆为一端固定，一端铰支，0.7
4a
12
—7042000833（mm4）
12
Per
2ei
2
（I）2
[F]ac
Per
nst
939.4
2.5
3.142210103N/mm22000833mm4
21002mm2
375.76376（kN）
939400.621N
939.4kN
故［F］376kN
［习题9-16］图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木杆，强度等级为TC15o若架上受集度
为’的均布荷载作用，AB两端为柱形铰，材料的强度许用应力"^',
试求撑杆所需的直径do
30
设
4
4
则
2m
B
J
i
M
B
2F
3
F
3
L
^3=3^.267xl0-\^0.19m
旷畔2）一施
求出的口与所设⑺基本相符，故撑杆直径选用二二〕二m。
［习题9-17］图示结构中杆AC与CD均由Q235钢制成，C,D两处均为球铰。
已知二二工mm"100mm―匹0mm卫审兀GP「込二於皿久"皿血白；强度安全因数?
；=：
：
，稳定安全因数'：
'o试确定该结构的许可荷载。
（2）梁BC中
_2Fx^
CT==—
^CT]=0.683x[cr]=7.513MPa
%=加呼=7.51^10e
心特"&
4x2.0
30Bx2.4=50^3-5
解：
取mm以上部分为分离体，由J'"一，有
2.4m
=214kN
解：
（1）杆CD受压力Fcd
梁BC中最大弯矩
（3）杆CD
lxl
（Q235钢的P100）
El_tt3x200x10-x20*x10'12
64x1
L—厂文64
故，由
（2）、（3）可知，［F］15.5kN
［习题9-18］图示结构中，钢梁AB及立柱CD分别由16号工字钢和连成一体的两根
63mm63mm5mm角钢组成，杆CD符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆
的要求。
均布荷载集度q48kN/m。
梁及柱的材料均为Q235钢，［］170MPa，
E210GPa。
试验算梁和立柱是否安全。
解：
（1）求多余约束力Fcd
把CD干去掉，代之以约束反力
Fcd。
由变形协调条件可知，
WCqWcFcdlCD
查型钢表得：
16号工字钢的lz1130cm4，Wz141cm3
24
63mm63mm5mmL形角钢的面积：
A6.143cm,Iz23.17cm,iz1.94cm
5
48kN/100cm4004
4cm
FCD
33
400cmFcd200cm
4
3841130cm
48
42
1130cm12.286cm
5
4
48kN/100400
FCD
4003
Fcd200
3841130
48
1130
12.286
141592.92031179.941FCD16.279FCD
FCD118.367（kN）
（2）梁的强度校核
MA0
12
RB4118.36724840
2
RB36.8165（kN）（J）
RA
484
36.8165
118.367
36.8165（kN）
AC段:
Q（x）
36.8165
48x;
2
M（x）36.8165x24x
令
Q（x）
36.8165
48x0
，得：
当x0.767m时，
Mmax
36.8165
0.767
240.767214.119（kNm）
CB段：
M（x）36.8165x118.367（x2）24x2
x
0
0.767
1
2
3
3.233
4
M
0.000
14.119
12.817
-22.367
12.817
14.119
0.000
弯矩图
22.367kNm
因为
max
|M|max
Wz
22.367106Nmm
141103mm3
158.631MPa
]170MPa
所以符合正应力强度条件，即安全。
（3）立桩的稳定性校核
由柔度—-200Cm103查表得稳定因素0.536
iz1.94cm
[]st[]0.53617091.12MPa
所以压杆会失稳。
不安全。
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