高中数学必修2第二章点线面位置关系测试题1.docx
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高中数学必修2第二章点线面位置关系测试题1
必修二第二章综合检测题
时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.若直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是()
A.相交B.平行C.异面D.平行或异面
2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()
A.3B.4C.5D.6
3.已知平面
α和直线l,则
α内至少有一条直线与
l(
)
A.平行
B.相交
C.垂直D.异面
4.长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°
5.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得()
A.a?
α,b?
αB.a?
α,b∥αC.a⊥α,b⊥αD.a?
α,b⊥α
6.下面四个命题:
①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;
②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;
③若a∥b,则a,b与c所成的角相等;
④若a⊥b,b⊥c,则a∥c.其中真命题的个数为()
A.4B.3C.2D.1
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上的不与端点重合的动点,如果A1E=B1F,有下面四个结论:
①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有()A.①②B.②③C.②④D.①④
8.设a,b为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是()A.若a,b与α所成的角相等,则a∥b
B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b
C.若a?
α,b?
β,a∥b,则α∥β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A?
l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,n∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()
A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β
10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1的中点,那么直线AE与D1F所成角的余弦值为()
4333
A.-5B.5C.4D.-5
11.已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=3,BC=2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为()
311
A.3B.3C.0D.-2
12.如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PA=AB,则PB与AC所成的角是()
A.90°B.60°C.45°D.30°
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
13.下列图形可用符号表示为.
14.正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-C的平面角等于.
15.设平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=.
16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成60°的角;
④AB与CD所成的角是60°;其中正确结论的序号是.
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17/(10分)如下图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面
ABC,F、F1分别是AC,A1C1的中点.
求证:
(1)平面AB1F1∥平面C1BF;
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
(1)证明:
CD⊥平面PAE;
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD
的体积.
19.(12分)如图所示,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=22,M为BC的中点.
(1)证明:
AM⊥PM;
(2)求二面角P-AM-D的大小.
20.(本小题满分12分)如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.
(1)证明:
平面AB1C⊥平面A1BC1;
(2)设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,求A1DDC1的值.
21.(12分)如图,△ABC中,AC=BC=底面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.
2
2AB,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥
(1)求证:
GF∥底面ABC;
(2)求证:
AC⊥平面EBC;(3)求几何体ADEBC的体积V.
[分析]
(1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC;
(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE;
(3)几何体ADEBC是四棱锥C-ABED.
22.(12分)如下图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点
(1)求证:
AC⊥BC1;
(2)求证:
AC1∥平面CDB1;
(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
必修二第二章综合检测题详解答案
1[答案]D
2[答案]C
[解析]AB与CC1为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行的直线,因此只有两类:
第一类与AB平行与CC1相交的有:
CD、C1D1
与CC1平行且与AB相交的有:
BB1、AA1,
第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3[答案]C
[解析]1°直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行的直线,∴A错;
2°l?
α时,在
α内不存在直线与
l
异面,∴D错;
3°l∥α时,在
α内不存在直线与
l
相交.
无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.
4[答案]D
[解析]由于AD∥A1D1,则∠BAD是异面直线AB,A1D1所成的角,很明显∠BAD=90°.5[答案]B
[解析]对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a?
α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,C错误;对于选项D,a?
α,b⊥α,一定有a⊥b,D错误.
6[答案]D
[解析]异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确;对于
④,在平面内,a∥c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.
7[答案]D
[解析]如图所示.由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF?
平面A1B1C1D1,则EF⊥AA1,所以①正确;当E,F分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F分别不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1
∥平面ABCD,EF?
平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.
8[答案]D;[解析]选项A中,a,b还可能相交或异面,所以A是假命题;选项B中,a,b还可能相交或异面,所以B是假命题;选项C中,α,β还可能相交,所以C是假命题;选项D中,由于a⊥α,α⊥β,则a∥β或a?
β,则β内存在直线l∥a,又b⊥β,则b⊥l,所以a⊥b.
9[答案]C
[解析]如图所示:
AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l?
AC⊥m;AB∥l?
AB∥β.
3
10[答案]5命题意图]本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用.
[解析]首先根据已知条件,连接DF,然后则角DFD1即为异面直线所成的角,设边长为2,则可以求解得到
5=DF=D1F,DD1=2,结合余弦定理得到结论.
11[答案]C
[解析]取BC中点E,连AE、DE,可证BC⊥AE,BC⊥DE,∴∠AED为二面角A-BC-D
的平面角
又AE=ED=2,AD=2,∴∠AED=90°,故选C.
12[答案]B
[解析]将其还原成正方体ABCD-PQR,S显见PB∥SC,△ACS为正三角形,∴∠ACS=60°.
13[答案]α∩β=AB
14[答案]45°
[解析]如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,由于BC⊥AB,BC1⊥AB,则∠C1BC是二面角C1-AB-C的平面角.又△BCC1是等腰直角三角形,则∠C1BC=45°.
15[答案]9
[解析]如下图所示,连接AC,BD,
则直线AB,CD确定一个平面ACBD.
ASCS812
∵α∥β,∴AC∥BD,则SB=SD,∴6=SD,解得SD=9.
16[答案]①②④
[解析]如图所示,①取BD中点,E连接AE,CE,则BD⊥AE,BD⊥CE,而AE∩CE=E,
∴BD⊥平面AEC,AC?
平面AEC,故AC⊥BD,故①正确.
②设正方形的边长为a,则AE=CE=2a.
2
由①知∠AEC=90°是直二面角A-BD-C的平面角,且∠AEC=90°,∴AC=a,
∴△ACD是等边三角形,故②正确.
③由题意及①知,AE⊥平面BCD,故∠ABE是AB与平面BCD所成的角,而∠ABE=45°,所以③不正确.
④分别取BC,AC的中点为M,N,连接ME,NE,MN.
则MN∥AB,且
11
==,
MNABa
22
11
ME∥CD,且ME=
CD=a,22
∴∠EMN是异面直线AB,CD所成的角.
在Rt△AEC中,AE=CE=2,=,
2aACa
NE11
∴=AC=
2
a.∴△MEN是正三角形,∴∠EMN=60°,故④正确.2
17[证明]
(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点,
∴B1F1∥BF,AF1∥C1F.
又∵B1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F,
∴平面AB1F1∥