54功能关系 能量守恒定律.docx

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54功能关系能量守恒定律

第4讲　功能关系　能量守恒定律

知识一　功能关系

1．内容

（1）功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化．

（2）做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现．

2．功与对应能量的变化关系

合外力做正功

动能增加

重力做正功

重力势能减少

弹簧弹力做正功

弹性势能减少

外力（除重力、弹力）做正功

机械能增加

滑动摩擦力做功

系统内能增加

电场力做正功

电势能减少

分子力做正功

分子势能减少

（1）力对物体做了多少功，物体就有多少能．（×）

（2）力对物体做功，物体的总能量一定增加．（×）

（3）滑动摩擦力做功时，一定会引起能量的转化．（√）

知识二　能量守恒定律

1．内容

能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变．

2．表达式：

ΔE减＝ΔE增．

　ΔE增为末状态的能量减去初状态的能量，而ΔE减为初状态的能量减去末状态的能量．

1．物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种情况下物体机械能的变化情况是（　　）

A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小

B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小

C．由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确定物体机械能的变化情况

D．三种情况中，物体的机械能均增加

【解析】　在三种情况下，外力均对物体做了功，所以物体的机械能均增加，故D正确．

【答案】　D

2.

图5－4－1

（多选）如图5－4－1所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点的速度为v，与A点的竖直高度差为h，则（　　）

A．由A至B重力做功为mgh

B．由A至B重力势能减少

mv2

C．由A至B小球克服弹力做功为mgh

D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为（mgh－

mv2）

【解析】　由A到B，高度减小h，重力做功mgh，重力势能减少mgh，但因弹簧伸长，弹性势能增加，由能量守恒得：

mgh＝

mv2＋Ep，可得：

Ep＝mgh－

mv2，小球克服弹力做功应小于mgh，故B、C错误，A、D正确．

【答案】　AD

3．下列说法正确的是（　　）

A．随着科技的发展，第一类永动机是可以制成的

B．太阳照射到地球上的光能转化成了其他形式的能量，但照射到宇宙空间的能量都消失了

C．“既要马儿跑，又让马儿不吃草”违背了能量转化和守恒定律，因而是不可能的

D．有种“全自动”手表，不用上发条，也不用任何形式的电源，却能一直走动，说明能量可以凭空产生

【解析】　第一类永动机违背了能量守恒定律，所以不可能制成，A错误；根据能量守恒定律，太阳照射到宇宙空间的能量也不会凭空消失，B错误；要让马儿跑，必须要给马儿吃草，否则就违背能量守恒定律，C正确；所谓“全自动”手表内部还是有能量转化装置的，一般是一个摆锤，当人戴着手表活动时，摆锤不停地摆动，给游丝弹簧补充能量，才会维持手表的走动，D错．

【答案】　C

4．（多选）（2012·海南高考）下列关于功和机械能的说法，正确的是（　　）

A．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功

B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量

C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关

D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量

【解析】　物体重力做的功总等于重力势能的减少量，因此A错；根据动能定理可知合力对物体所做的功等于物体动能的改变量，因此B正确；根据重力势能的定义和特点可知C正确；当有除重力以外的力对物体做功时，运动物体动能的减少量不等于其重力势能的增加量，因此D错．

【答案】　BC

5．（多选）（2013·新课标全国卷Ⅱ）目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是（　　）

A．卫星的动能逐渐减小

B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小

C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变

D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小

【解析】　卫星半径减小时，分析各力做功情况可判断卫星能量的变化．

卫星运转过程中，地球的引力提供向心力，G

＝m

，受稀薄气体阻力的作用时，轨道半径逐渐变小，地球的引力对卫星做正功，势能逐渐减小，动能逐渐变大，由于气体阻力做负功，卫星的机械能减小，选项B、D正确．

【答案】　BD

考点一[44]　功能关系的理解及应用

一、常见的几种功能对应关系

1．合外力做功等于物体动能的改变，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk.（动能定理）

2．重力做功等于物体重力势能的减少量，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.

3．弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量，即WF＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.

4．除了重力和弹簧弹力之外的其他力所做的总功，等于物体机械能的改变，即W其他力＝E2－E1＝ΔE.（功能原理）

二、对功能关系的理解

1．不同的力对物体做功会引起不同能量的转化或转移，应根据题中已知和所求，选择合适的功能关系来分析问题．

2．重力势能、弹性势能、电势能的改变量与对应的力做的功数值相等，但符号相反．

三、摩擦力做功的特点及其与能量的关系

类别

比较

静摩擦力

滑动摩擦力

不同点

能量的转化

只有能量的转移，而没有能量的转化

既有能量的转移，又有能量的转化

一对摩擦

力的总功

一对静摩擦力所做功的代数总和等于零

一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零，总功W＝－Ff·l相对，即摩擦时产生的热量

相同点

做功的正、负

两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功

——————[1个示范例]——————

　（多选）（2013·山东高考）如图5－4－2所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m（M>m）的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中（　　）

图5－4－2

A．两滑块组成系统的机械能守恒

B．重力对M做的功等于M动能的增加

C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加

D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功

【解析】　这是系统能量转化的综合问题，解题要点是分析各个力做的功与能量的转化关系．

除重力以外其他力对物体做的功等于物体机械能的变化，故M克服摩擦力做的功等于两滑块组成的系统机械能的减少量，拉力对m做的功等于m机械能的增加量，选项C、D正确．

【答案】　CD

——————[1个预测例]——————

图5－4－3

如图5－4－3所示，AB为半径R＝0.8m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接．小车质量M＝3kg，车长L＝2.06m，车上表面距地面的高度h＝0.2m，现有一质量m＝1kg的滑块，由轨道顶端无初速度释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运动了t0＝1.5s时，车被地面装置锁定（g＝10m/s2）．试求：

（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；

（2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；

（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小．

【审题指导】　解答该题应注意：

（1）t0＝1.5s时，滑块是否相对车静止，故应求出二者共速所用时间进行比较．

（2）摩擦生热的求法为Q＝μmgl相对．

【解析】　

（1）由机械能守恒定律和牛顿第二定律得

mgR＝

mv

，FNB－mg＝m

则：

FNB＝30N.

（2）设m滑上小车后经过时间t1与小车同速，共同速度大小为v

对滑块有：

μmg＝ma1，v＝vB－a1t1

对于小车：

μmg＝Ma2，v＝a2t1

解得：

v＝1m/s，t1＝1s，因t1

故滑块与小车同速后，小车继续向左匀速行驶了0.5s，则小车右端距B端的距离为，l车＝

t1＋v（t0－t1）．解得l车＝1m.

（3）Q＝μmgl相对＝μmg（

t1－

t1）．

解得Q＝6J.

【答案】　

（1）30N　

（2）1m　（3）6J

考点二[45]　对能量守恒定律的理解及应用

一、对能量守恒定律的理解

1．某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等．

2．某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．

这也是我们列能量守恒定律方程式的两条基本思路．

二、应用能量守恒定律解题的步骤

1．分清有几种形式的能在变化，如动能、势能（包括重力势能、弹性势能、电势能）、内能等．

2．明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式．

3．列出能量守恒关系式：

ΔE减＝ΔE增．

——————[1个示范例]——————

　（多选）一木块静置于光滑水平面上，一颗子弹沿水平方向飞来射入木块中．当子弹进入木块的深度达到最大值3.0cm时，木块沿水平面恰好移动距离2.0cm.则在上述过程中（　　）

图5－4－4

A．木块获得的动能与子弹损失的动能之比为1∶1

B．系统损失的机械能与子弹损失的动能之比为3∶5

C．系统损失的机械能与木块获得的动能之比为3∶2

D．系统产生的热与子弹损失的动能之比为3∶5

【解析】　由动能定理对子弹f（3＋2）×10－2＝ΔEk1.对木块f×2×10－2＝ΔEk2，则ΔEk1∶ΔEk2＝5∶2，A项错．系统损失的动能为fΔs＝f×3×10－2＝ΔE.ΔE∶ΔEk1＝3∶5，B、D两项正确．ΔE∶ΔEk2＝3∶2，C项正确．

【答案】　BCD

——————[1个预测例]——————

图5－4－5

如图5－4－5所示，一物体的质量m＝2kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4m．当物体到达B后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，AD＝3m．挡板及弹簧的质量不计，g取10m/s2，sin37°＝0.6，求：

（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ.

（2）弹簧的最大弹性势能Epm.

【审题指导】　

（1）物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化；利用公式Q＝fx计算摩擦生热时，x表示路程．

（2）物体在C点时弹性势能最大，物体从开始位置A到C的过程中，分析动能变化、重力势能变化、弹性势能变化及摩擦生热，利用能量守恒定律方程求解．

【解析】　

（1）物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为：

ΔE＝

mv

＋mglADsin37°

物体克服摩擦力产生的热量Q＝Fx

其中x为物体的路程，即x＝5.4m

F＝μmgcos37°

由能量守恒定律可得ΔE＝Q

解得：

μ＝0.52.

（2）由A到C的过程中，动能减少，即

ΔEk＝

mv

重力势能的减少量ΔEp＝mglACsin37°

摩擦生热Q′＝FlAC＝μmgcos37°·lAC

由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为：

ΔEpm＝ΔEk＋ΔEp－Q′

联立解得：

ΔEpm＝24.4J.

【答案】　

（1）0.52　

（2）24.4J

动力学和功能关系问题中的传送带模型

一、模型概述

传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况．一般设问的角度有两个：

1．动力学角度：

首先要正确分析物体的运动过程，做好受力情况分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律，求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系．

2．能量角度：

求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解．

二、传送带模型问题中的功能关系分析

1．功能关系分析：

WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q.

2．对WF和Q的理解：

（1）传送带的功：

WF＝Fx传；

（2）产生的内能Q＝Ffs相对．

传送带模型问题的分析流程

三、传送带上动力学问题的分析思路

1．明确研究对象．

2．对研究对象进行受力分析、过程分析和状态分析，建立清晰的物理模型．

3．利用牛顿运动定律和运动学规律列方程解决物体的运动问题．

4．利用能量转化和守恒的观点，解决传送带问题中的功能转化问题．

——————[1个示范例]——————

图5－4－6

（16分）（2013届山师大附中检测）如图5－4－6所示，传送带与水平面之间的夹角θ＝30°，其上A、B两点间的距离L＝5m，传送带在电动机的带动下以v＝1m/s的速度匀速运动．现将一质量m＝10kg的小物体（可视为质点）轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝

，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：

（取g＝10m/s2）

（1）传送带对小物体做的功．

（2）电动机做的功．

【规范解答】　

（1）小物块加速过程根据牛顿第二定律有：

μmgcosθ－mgsinθ＝ma（2分）

物块上升的加速度a＝

g＝2.5m/s2（1分）

当物块的速度v＝1m/s时，位移是：

x＝

＝0.2m（2分）

即物块将以v＝1m/s的速度完成4.8m的路程，（1分）

由功能关系得：

W＝ΔEp＋ΔEk＝mgLsinθ＋

mv2＝255J．（2分）

（2）电动机做功使小物体机械能增加，同时小物体与传送带间因摩擦产生热量Q，由v＝at得t＝

＝0.4s（2分）

相对位移x′＝vt－

vt＝0.2m（2分）

摩擦生热Q＝μmgx′cosθ＝15J（2分）

故电动机做的功W电＝W＋Q＝270J．（2分）

【答案】　

（1）255J　

（2）270J

——————[1个模型练]——————

图5－4－7

如图5－4－7所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体在滑下传送带之前能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到与传送带相对静止这一过程，下列说法中正确的是（　　）

A．电动机多做的功为

mv2

B．物体在传送带上的划痕长

C．传送带克服摩擦力做的功为

mv2

D．电动机增加的功率为μmgv

【解析】　小物块与传送带相对静止之前，物体做匀加速运动，由运动学公式知x物＝

t，传送带做匀速运动，由运动学公式知x传＝vt，对物块根据动能定理μmgx物＝

mv2，摩擦产生的热量Q＝μmgx相＝μmg（x传－x物），四式联立得摩擦产生的热量Q＝

mv2，根据能量守恒定律，电动机多做的功一部分转化为物块的动能，一部分转化为热量，故电动机多做的功等于mv2，A项错误；物体在传送带上的划痕长等于x传－x物＝x物＝

，B项错误；传送带克服摩擦力做的功为μmgx传＝2μmgx物＝mv2，C项错误；电动机增加的功率也就是电动机克服摩擦力做功的功率为μmgv，D项正确．

【答案】　D

⊙考查功能关系

1.

图5－4－8

（2012·安徽高考）如图5－4－8所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（　　）

A．重力做功2mgR

B．机械能减少mgR

C．合外力做功mgR

D．克服摩擦力做功

mgR

【解析】　小球到达B点时，恰好对轨道没有压力，只受重力作用，根据mg＝

得，小球在B点的速度v＝

.小球从P到B的过程中，重力做功W＝mgR，故选项A错误；减少的机械能ΔE减＝mgR－

mv2＝

mgR，故选项B错误；合外力．做功W合＝

mv2＝

mgR，故选项C错误；根据动能定理得，mgR－Wf＝

mv2－0，所以Wf＝mgR－

mv2＝

mgR，故选项D正确．

【答案】　D

⊙考查重力势能、功率、功能关系

2.

图5－4－9

（2012·福建高考）如图5－4－9所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦）．初始时刻，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态．剪断轻绳后A下落、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块（　　）

A．速率的变化量不同

B．机械能的变化量不同

C．重力势能的变化量相同

D．重力做功的平均功率相同

【解析】　A、B开始时处于静止状态，对A：

mAg＝T①

对B：

T＝mBgsinθ②

由①②得mAg＝mBgsinθ

即mA＝mBsinθ③

剪断绳后，A、B均遵守机械能守恒定律，机械能没有变化，故B项错误；由机械能守恒知，mgh＝

mv2，所以v＝

，落地速率相同，故速率的变化量相同，A项错误；由ΔEp＝mgh，因m不同，故ΔEp不同，C项错误；重力做功的功率PA＝mAg

＝mAg

＝mAg

，PB＝mBg

sinθ＝mBg

sinθ，由③式mA＝mBsinθ，故PA＝PB，D项正确．

【答案】　D

3.

图5－4－10

汽车在拱形桥上由A匀速地运动到B，下列说法中正确的是（　　）

A．牵引力与摩擦力做的功相等

B．牵引力和重力做的功大于摩擦力做的功

C．合外力对汽车不做功

D．重力做功的功率不变

【解析】　此过程动能不变，故C选项正确；由动能定理W牵－mgh－W摩＝ΔEk＝0得W牵＝mgh＋W摩，故可确定A、B错误；重力做功的功率为P＝mgvcosθ，此过程中夹角一直改变，故D错误．

【答案】　C

⊙涉及摩擦的功能关系的应用

4．（多选）

图5－4－11

（2010·山东高考）如图5－4－11所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面（此时物块未到达地面），在此过程中（　　）

A．物块的机械能逐渐增加

B．软绳重力势能共减少了

mgl

C．物块重力势能的减少等于软绳克服摩擦力所做的功

D．软绳重力势能的减少小于其动能的增加与克服摩擦力所做功之和

【解析】　取斜面最高点为参考平面，软绳重力势能减少量ΔEp绳＝mg

－mg

sin30°＝

mgl，选项B正确；物块向下运动，对物块，除重力以外，绳拉力对物块做负功，物块机械能减少，选项A错误；设W克为软绳克服摩擦力做的功，对系统由功能关系得ΔEp绳＋ΔEp物＝

mv2＋

m物v2＋W克，又因为ΔEp物＞

m物v2，故选项C错而D对．

【答案】　BD

⊙能量守恒定律在生活实际中的应用

5．（2011·浙江高考）节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车．有一质量m＝1000kg的混合动力轿车，在平直公路上以v1＝90km/h匀速行驶，发动机的输出功率为P＝50kW.当驾驶员看到前方有80km/h的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动L＝72m后，速度变为v2＝72km/h.此过程中发动机功率的

用于轿车的牵引，

用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能．假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变．求：

（1）轿车以90km/h在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F阻的大小；

（2）轿车从90km/h减速到72km/h过程中，获得的电能E电；

（3）轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能E电维持72km/h匀速运动的距离L′.

【解析】　

（1）轿车牵引力与输出功率的关系P＝F牵v

将P＝50kW，v1＝90km/h＝25m/s代入得

F牵＝

＝2×103N.

轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有

F阻＝2×103N.

（2）在减速过程中，发动机只有

P用于汽车的牵引．根据动能定理有

Pt－F阻L＝

mv

－

mv

代入数据得Pt＝1.575×105J

电源获得的电能为E电＝50%×

Pt＝6.3×104J.

（3）根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为F阻＝2×103N．在此过程中，由能量守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功，则E电＝F阻′L

代入数据得L′＝31.5m.

【答案】　

（1）2×103N　

（2）6.3×104J　（3）31.5m