舒尔不等式及其变式的应用蔡玉书.docx
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舒尔不等式及其变式的应用蔡玉书
舒尔不等式及其变式的应用
蔡玉书
（江苏省苏州市第一中学,215006
《数学通报》2009年第10期刊登了朱华伟老师
的《Schur不等式及其变式》一文,读后受益匪浅,本
人对舒尔不等式也有一定的研究,曾用舒尔不等式
解决了几十道国内外数学竞赛试题,现将部分优秀
试题奉献给广大数学竞赛爱好者,与大家分享.
Schur不等式 设x,y,z≥0,r是实数,则
xr（x-y（x-z+yr（y-x（y-z+zr（z
-y（z-x≥0.
变形1 x3+y3+z3-（x2y+xy2+x2z+
xz2+y2z+yz2+3xy≥0.
简记为∑x3-∑x2（y+z+3xyz≥0.
变形2 （x+y+z3-4（x+y+z（xy+yz
+zx+9xyz≥0.
变形3 xyz≥（x+y-z（y+z-x（z+x
-y.（1983年瑞士数学奥林匹克试题
变形4 x2（y+z-x+y2（x+z-y+z2
（x+y-z≤3xyz.（第6届IMO试题
变形5 2（xy+yz+zx-（x2+y2+z2≤
x+y+z
.
变形6 （x2+y2+z2+33（xyz≥2（xy
+yz+zx.
证明 在变形5中,应用均值不等式得
x+y+z≤33
（xyz即得.
下面给出7个典型的不等式赛题供参考.例1 （2001年奥地利波兰数学奥林匹克试题已知a,b,c是■ABC的三条边,证明:
2<
abc
333
abc≤3.
证明 左不等式等价于（b+c-a（c+a-b（a+b-c>0,右不等式等价于（b+c-a（c+a-b（a+b-c≤abc（Schur不等式（变形3例2 （2009年希腊数学奥林匹克试题已知x,y,z都是非负数,且x+y+z=2,证明不等式:
x2y2+y2z2+z2x2+xyz≤1.
证明 两边齐次化,等价于证明（x+y+z4≥16（x2y2+y2z2+z2x2+8xyz（x+y+z①因为（x+y+z4=x4+y4+z4+4（x3y+xy3+y3z+yz3+z3x+zx3+6（x2y2+y2z2+z2x2+4xyz（x+y+z,
所以①等价于证明
x4+y4+z4+4（x3y+xy3+y3z+yz3+z3x+zx3-10（x2y2+y2z2+z2x2+4xyz（x+y+z≥0②由Schur不等式（r=2时得x2（x-y（x-z+y2（y-x（y-z+z2（x-y（z-x≥0,即x4+y4+z4-（x3y+xy3+y3z+yz3+z3x+zx3+xyz（x+y+z≥0,
所以,x4+y4+z4≥（x3y+xy3+y3z+yz3+z3x+zx3-xyz（x+y+z.
从而,要证明②,只要证明
5（x3y+xy3+y3z+yz3+z3x+zx3-10（x2y2+y2z2+z2x2+3xyz（x+y+z≥0③由均值不等式得x3y+xy3≥2x2y2,y3z+yz3≥2y2z2,z3x+zx3≥2z2x2,
所以5（x3y+xy3+y3z+yz3+z3x+zx3-10（x2y2+y2z2+z2x2≥0,而3xyz（x+y+z≥0显然成立,所以不等式③成立.等号成立的充要条件是x,y,z中有一个是0,其余两个相等.
例3 （2006年乌克兰数学奥林匹克试题已知a,b,c是正数,证明:
3（a3+b3+c3+abc≥4（a2b+b2c+c2a.
证 由Schur不等式（变形1得:
a3+b3+c3+3abc≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2①
由均值不等式得333
3
≥a2b,
3333≥b2c,3333≥c2a,
将这三个不等式相加即得
a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a②再由均值不等式得
a3+ab2≥2a2b,即a3≥2a2b-ab2,同理,b3≥2b2c-bc2,c3≥2c2a-ca2,
将这三个不等式相加即得
a3+b3+c3≥2（a2b+b2c+c2a-（ab2+bc2+ca2③将不等式①②③相加得3（a3+b3+c3+abc≥4（a2b+b2c+c2a.
例4 （2009年Oliforum数学奥林匹克试题
设a,b,c是正实数,证明:
a+b+c
a+bb+cc+a2cab
.
证明 令a=xy,b=yz,c=zx,则原不等式化为
2x2+y2+z2+xyz
x+yy+zz+x
≥xy+yz+zx.
由柯西不等式得x+y+
y+z
+
z+x≥
2（x+y+z
只要证明x2+y2+z2
x+y+z
≥2（xy+yz+zx,
即（x+y+z2
x+y+z
≥4（xy+yz+zx（x+y+z3-4（x+y+z（yz+zx+xy+9xyz≥0.此就是Schur不等式（变形2.
例5 （2003年美国国家集训队选拔试题设
α,β,γ∈（0,
2
证明不等式:
sin（β+γsin（γ+α
sin（α+β
≥0.
证明 因为sin（x+ysin（x-y=（sinxcosy+cosxsiny（sinxcosy-cosxsiny=sin2xcos2y-sin2ycos2x=sin2x（1-sin2y-sin2y（1-sin2x=sin2x-sin2y.
所以,原不等式等价于
[sinα（sin2α-sin2β（sin2α-sin2γ+sinβ（sin2β-sin2α（sin2β-sin2γ+sinγ（sin2γ-sin2β（sin2γ-sin2α]/[sin（α+βsin（β+γsin（γ+α]≥0①
因为α,β,γ∈（0,
2
所以,sin（α+βsin（β+γsin（γ+α>0,只需证明
sinα（sin2α-sin2β（sin2α-sin2γ+sinβ（sin2β-sin2α（sin2β-sin2γ+sinγ（sin2γ-sin2β（sin2γ-sin2α≥0②记x=sin2α,y=sin2β,z=sin2γ,②化为x（x-y（x-zy（y-z（y-x+z（z-x（z-y≥0③
这就是Schur不等式当r
2
时的情况.从而,原不等式成立.
例6 （2004年中国西部数学奥林匹克试题
求证:
对任意正实数a,b,c,都有1<
+b+b+cc+a2
.
证明 先证明左边的不等式.令x
2
c2,y=2
2
z
2
b2
则x,y,z∈R+,xyz=1,于是只需证明
1+x1+y1+z
>1.
不妨设x≤y≤z,令A=xy,则z
A
A≤1,
于是
1+x+
1+y
+
1+z
=
1+x+
1x1+z1+x
1
x
=
1+x>
1.再证明不等式的右边.
令a22（y+z-x,b2=2（x+z-y,a22
（x+y-z,其中x,y,z是■ABC的三条边长.则
a+b+c+a
=2z+
2x
+
2y,
原不等式转化为
z+
x
+
y
≤3①
①式
xz（x+y-z≤3xyz,
两边平方得
xy（y+z-x+yz（x+z-y+xz（x+y -z+2xzy（y+z-x（x+z-y +2yzx（y+z-x（x+y-z
+2xyz（x+z-y（x+y-z
≤9xyz②②式左边≤xy（y+z-x+yz（x+z-y+xz（x+y-z+xz（y+z-x+y2（x+z-y+yz（x+y-z+x2（y+z-x+xy（x+z-y+z2（x+y-z=6xyz+x2（y+z-x+y2（x+z-y+z2（x+y-z.
要证明②式成立,只要证明x2（y+z-x+y2（x+z-y+z2（x+y-z≤3xyz.这正是Schur不等式（变形4.
下面的例7曾出现在朱华伟老师的文章中,下面给出它的完整的证明.
例7 设x,y,z是正实数,证明
3333xyz
x+y+z
≥2.（MirceaLasscu不等式
证明 由Schur不等式（变形6x+y+z+33xyz≥2xy+yz+zx得
33xyz≥2xy+yz+zx-（x+y+z.我们有
3
x+y+zx+y+z,于是,
333
3xyz
3
x+y+z
333
3xyzx+y+z-1
333
3xyz-1x+y+z-2+2222
3xyz
x+y+z
+2222
6xyz
2+2+2x+y+z
+2=∑[
2
6xyzx+y+z
]
·2+2.
而由于x,y,z都是正实数,所以由均值不等式有
（x+y+z22-6xyz
>2（x+yzxy2-6xyz
≥8xyz-6xyz
=2xyz>0,
所以
2
6xyzx+y+z>0,从而∑[
2
6xyzx+y+z]·xy2≥0.
所以
333
3xyz
3
x+y+z
≥2.
（收稿日期:
2010-03-26
64数学通讯—2010年第8期（下半月 ·课外园地·
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