江苏省常州市武进区九年级数学上册 12 一元二次方程的解法专项练习三 苏科版.docx

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江苏省常州市武进区九年级数学上册12一元二次方程的解法专项练习三苏科版

一元二次方程的解法3：

1．选择适当的方法解一元二次方程：

（1）x2+2x﹣15=0

（2）4x﹣6=（3﹣2x）x．

2．、

按要求解一元二次方程：

（1）x2－10x＋9＝0（配方法）

（2）x（x－2）＋x－2＝0（因式分解法）

3．阅读下列材料：

问题：

已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分

别是已知方程根的2倍．

解：

设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=，把x=，代入已知方程，

得（）2+﹣1=0．

化简，得y2+2y﹣4=0，

故所求方程为y2+2y﹣4=0

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：

把所求方程化为一般形式）：

（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；

（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

4．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：

因式分解法、直

接开平方法、配方法和公式法．请选择合适的方法解下列方程．

（1）x2－3x＋1＝0；

（2）（x－1）2＝3；

（3）x2－3x＝0；（4）x2－2x＝4.

5．解一元二次方程x2-6x+3=0.6．解一元二次方程：

x2＋3x－1＝0

7．按要求解一元二次方程

（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）

（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）

（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0．

8．请写出一个你喜欢的，仅含有二次项、一次项得一元二次方程，并求出它的解．

9．解下列一元二次方程．

（1）x2+6x+5=0；

（2）x2+x﹣1=0．（用配方法解）

10．一元二次方程有一个根为2，写出这样的一个一元二次方程

11．解一元二次方程：

2x2+4x+1=0．

12．解下列一元二次方程．

（1）x2+6x+5=0；

（2）x2+x﹣1=0．（用配方法解）

13．解一元二次方程：

（x-2）2=x-2．14．解一元二次方程：

x2﹣4x﹣1=0．

15．解一元二次方程：

3x2+2x﹣5=0．

16．阅读新知：

移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax4+bx2+c=0（a≠0），一般通过换元法解之，具体解法是设x2=y，则原四次方程化为一元二次方程：

ay2+by+c=0，解出y之后代入x2=y，从而求出x的值．例如解：

4x4﹣8y2+3=0

解：

设x2=y，则原方程可化为：

4y2﹣8y+3=0

∵a=4，b=﹣8，c=3

∴b2﹣4ac=﹣（﹣8）2﹣4×4×3=16＞0

∴y=

=

∴y1=

，

∴y2=

∴当y1=

时，x2=

∴x1=

，x2=﹣

；当y1=

时，x2=

∴x3=

，x4=﹣

小试牛刀：

请你解双二次方程：

x4﹣2x2﹣8=0

归纳提高：

思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是（选出所有的正确答案）

①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；

②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；

③当b2﹣4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；

④原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．

17．用适当的方法解一元二次方程

（1）x2+3x+1=0

（2）x2﹣10x+9=0

（3）（2x﹣1）2=（3x+2）2（4）（x﹣1）（x+2）=2（x+2）

18．用适当的方法解下列关于x的一元二次方程：

（1）x2-6x

+8=0；

（2）x2-4ax-12a2=0；

（3）（x－3）2+2x（x－3）＝0；（4）（2x+3）2=x2

19．已知下列n（n为正整数）

个关于x的一元二次方程：

（1）请解上述一元二次方程;

（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点,写出一条即可

答案详解：

1．

（1）x1=﹣5，x2=3；

（2）x1=，x2=﹣2．

试题

分析：

（1）利用因式分解法解方程；

（2）先把方程变形得到2（2x﹣3）+x（2x﹣3）=0，然后利用因式分解法解方程．

试题解析：

（1）（x+5）（x﹣3）=0，

x+5=0或x﹣3=0，

所以x1=﹣5，x2=3；

（2）2（2x﹣3）+x（2x﹣3）=0，

（2x﹣3）（2+x）=0，

2x﹣3=0或2+x=0，

所以x1=，x2=﹣2．

2．

（1）x1＝9或x2＝1；

（2）x1＝2或x2＝－1．

试题分析：

1）首先将常数项移到等号的右侧，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．

（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

试题解析：

（1）x2－10x＋9＝0（配方法）

（x－5）2＝16

x－5＝4或x－5＝－4

x1＝9或x2＝1．

（2）x（x－2）＋x－2＝0（因式分解法）

（x－2）（x＋1）＝0

x－2＝0或x＋1＝0

x1＝2或x2＝－1．

3．

（1）y2﹣2y﹣1=0；

（2）所求方程为a+by+cy2=0（c≠0）．

试题分析：

（1）、互为相反数的两个数的和为原两数和的相反数，积不变，从而得出方程；

（2）、设所求方程的根为y，则y=

（x≠0）,于是x=

（y≠0），然后将x=

代入方程，从而得出所求的方程.

试题解析：

（1）、y2-2y-1=0

（2）、设所求方程的根为y，则y=

（x≠0）,于是x=

（y≠0）

把x=

带入方程ax2+bx+c=0,得a（

）2+b（

）+c=0

去分母，得a+by+cy2=0

若c=0，有ax2+bx="

0",于是，方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不合题意

∴c≠0，故所求方程为：

a+by+cy2=0（c≠0）.

4．方程

（1）用公式法解：

x1＝，x2＝.

方程

（2）用直接开平方法解：

x1＝－＋1，x2

＝＋1.

方程（3）用因式分解法解：

x1＝0，x2＝3.

方程（4）用配方法解：

x1＝－＋1，x2＝＋1.

试题分析：

（1）利用公式法即可解决问题；

（2）直接开方法即可解决问题；

（3）利用因式分解法即可解决问题；

（4）利用配方法即可解决问题；

试题解析：

（1）x2-3x+1=0，

∴a=1，b=-3，c=1，

∵△=9-4=5，

∴x1=，x2=．

（2）（x-1）2=3，

∴x-1=±，

∴x1=1+，x2=1-．

（3）∵x2-3x=0，

∴x（x-3）=0，

∴x=0或x-3=0，

∴x1=，0，x2=3．

（4）∵x2-2x=4，

∴x2-2x+1=4+1，

∴（x-1）2=5，

∴∴x1=1+，x2=1-．

5．试题分析：

移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

试题解析：

x2−6x=−3，

x2−6x+9=−3+9，

（x−3）2=6，

x−3=±，

x1=3+x2=3−.

6．试题分析：

找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．试题解析：

这里a=1，b=3，c=-1，

∵△=9+4=13，

∴

则，.

7．

（1）x1=1+，x2=1﹣．

（2）x1=﹣，x2=；（3）x1=，x2=；（4）x1=﹣4，x2=2．

试题分析：

（1）利用配方法解方程.

（2）利用因式分解法（提取公因式）解方程.（3）利用公式法解方程.

（4）利用因式分解法（十字相乘）解方程.

试题解析：

解：

（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）

移项得，x2﹣2x=，

配方得，x2﹣2x+1=+1，

（x﹣1）2=，

∴x﹣1=±

∴x1=1+，x2=1﹣．

（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）

7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0，

（5x+2）（7x﹣6）=0，

∴5x+2=0，7x﹣6=0，

∴x1=﹣，x2=；

（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）

整理得，3x2+10x+5=0

∵a=3，b=10，c=5，b2﹣4ac=100﹣60=40，

∴x==，

∴x1=，x2=.

（4）x2﹣2x﹣8=0．

（x+4）（x﹣2）=0，

∴x+4=0，x﹣2=0，

∴x1=﹣4，x2=2．

点拨：

一元二次方程的解法

（1）直接开平方法，没有一次项的方程适用

（2）配方法，所有方程适用（3）公式法，所有方程适用，公式法需要先求判别式，根据判别式的正负，求方程的解（4）因式分解法，可因式分解的方程适用,其中因式分解的方法有提取公因式，公式法

（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法.

8．见解析

试题分析：

按要求写出符合条件的方程，然后进行求解即可.

试题解析：

如：

x2-3x=0，

x（x-3）=0，

x=0或x-3=0，

x1

=0或x2=3.

9．

（1）x=﹣1或x=﹣5；

（2）x1=，x2=．

试题分析：

（1）因式分解法求解可得；

（2）配方法求解可得．

（1）（x+1）（x+5）=0，

∴x+1=0或x+5=0，

解得：

x=−1或x=−5；

（2）x2+x=1，

x2+x+=1+

（x+）2=

x+=,

x1=，x2=

10．答案不唯一

试题分析：

答案不唯一，如;,等等．

11．试题分析：

找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．

试题解析：

这里a=2，b=4，c=1，

∵△=16﹣8=8，

∴．

12．

（1）x=﹣1或x=﹣5；

（2）x1=，x2=．

试题分析：

（1）因式分解法求解可得；

（2）配方法求解可得．

（1）（x+1）（x+5）=0，

∴x+1=0或x+5=0，

解得：

x=−1或x=−5；

（2）x2+x=1，

x2+x+=1+

（x+）2=

x+=,

x1=，x2=

13．x1=2，x2=3．

试题分析：

首先移项后提取公因式（x-2）得到（x-2）（x-3）=0，然后解两个一元一次方程即可．

试题解析：

（x-2）2-（x-2）=0，

∴（x-2）（x-3）=0，

∴x-2=0或x-3=0，

解得x1=2，x2=3．

14．x1=2+

，x2=2﹣

．

试题分析：

根据配方法解一元二次方程的步骤：

移项、配方、开平方，即可得出方程的解．

解：

x2﹣4x﹣1=0．

移项得：

x2﹣4x=1．

配方得：

x2﹣4x+4=1+4．

即（x﹣2）2=5，

开平方得：

x﹣2=±

，

解得x1=2+

，x2=2﹣

．

15．x1=﹣，x2=1

试题分析

：

先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

试题解析：

解：

3x2+2x﹣5=0，

（3x+5）（x﹣1）=0，

3x+5=0，x﹣1=0，

x1=﹣，x2=1．

考点：

解一元二次方程-因式分解法

16．①②③④

试题分析：

先设y=x2，则原方程变形为y2﹣2y﹣8=0，运用因式分解法解得y1=﹣2，y2=4，再把y=﹣2和4分别代入y=x2得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．

根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④．

解：

x4﹣2x2﹣8=0

设y=x2，则原方程变为：

y2﹣2y﹣8=0．

分解因式，得（y+2

）（y﹣4）=0，

解得，y1=﹣2，y2=4，

当y=﹣2时，x2=﹣2，x2+2=0，△=0﹣4×2＜0，此方程无实数解；

当y=4时，x2=4，解得x1=﹣2，x2=2，

所以原方程的解为x1=﹣2，x2=2．

根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④；

故答案为①②③④．

17．

（1）

（2）x1=1x2=9（3）x1=-3x2=-（4）x1=-2x2=3

试题分析：

（1）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解；

（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；

（3）利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解；

（4）方程移项后，左边分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

试题解析：

（1）x2+3x+1=0，

这里a=1，b=3，c=1，

∵b2﹣4ac=9﹣4×1×1=5＞0，

∴x=

，

∴x1=

，x2=

；

（2）分解因式得：

（x﹣1）（x﹣9）=0，

可得x﹣1=0或x﹣9=0，

解得：

x1=1x2=9；

（3）开方得：

2x﹣1=±（3x+2），

即2x﹣1=3x+2或2x﹣1=﹣（3x+2），

∴x1=﹣3，x2=﹣

；

（4）分解因式得：

（x+2）（x﹣1﹣2）=0，

可得x+2=0或x﹣3=0，

解得：

x1=﹣2，x2=3．

18．解：

（1）x=2或x=4

（2）x=2ª或x=6a（3）x=1或x=3（4）x=-1或x=-3

试题分析：

（1）利用因式分解法解方程；

（2）利用因式分解法解方程；

（3）利用因式分解法解方程；

（4）利用因式分解法解方程；．

解：

（1）x2-6x+8=0

（x-2）（x-4）=0

x-2=0，x-4=0

∴x=2或x=4

（2）x2-4ax-12a2=0

（x+2a）（x-6a）=0

x+2a=0，x-6a=0

∴x=2ª或x=6a

（3）（x－3）2+2x（x－3）＝0

（x-3）（3x-3）=0

x-3=0，3x-3=0

∴x=1或x=3

（4）（2x+3）2=x2

（2x+3）2-x2=0

（3x+3）（x+3）=0

3x+3=0，x+3=0

∴x=-1或x=-3

19．答案见解析．

试题分析：

利用因式分解法分别解方程,求

出结果,分析方程的解与因式之间的关系,总结出共同特点．

试题解析：

（1）①（x+1）（x﹣1）=0,所以x1=﹣1,x2=1

②（x+2）（x﹣1）=0,所以x1=﹣2,x2=1;

③（x+3）（x﹣1）=0,所以x1=﹣3,x2=1;

（n）（x+n）（x﹣1）=0,所以x1=﹣n,x2=1

（2）共同特点是：

都有一个根为1;都有一个根为负整数;两个根都是整数根等．

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！