数学模型航空机票超订票问题.docx
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数学模型航空机票超订票问题
TPMKstandardizationoffice【TPMK5AB-TPMK08-TPMK2C-TPMK18】
数学模型航空机票超订票问题
辽宁工程技术大学
数学建模课程成绩评定表
学期
2014-2015学年1学期
姓名
专业
班级
课程名称
数学建模
论文题目
航空机票超订票问题
评
定
标
准
评定指标
分值
得分
知识创新性
20
理论正确性
20
内容难易性
15
结合实际性
10
知识掌握程度
15
书写规范性
10
工作量
10
总成绩
100
评语:
任课教师
时间
2014年月日
备注
航空机票超订票问题
摘要
当今是一个经济发展迅猛的时代,做任何事情都要有超前意识,为赢得时间,快速的交通工具成为现代生活的必需品。
飞机成为我们生活当中日益重要的交通工具,订购机票也自然成为我们需要关心的一个问题。
本文基于“航空机票超票订票的问题”运用数学建模所学知识建立数学模型,运用MATLAB软件,通过计算解决以下问题:
(1)假设两地的机票价为1500元,每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况,问航空公司多售出多少张票,使该公司的预期损失达到最小?
(2)上述参数不变的情况下,问航空公司多售出多少张票,使该公司的预期利润达到最大,最大利润为多少?
关键词:
航空机票;数学建模;MATLAB软件;最大利润
1问题背景描述
随着社会的不断进步,经济的不断发展,人们生活节奏也越来越快,对效率的要求也越来越高,为了出行的效率,飞机成了人们通常的选择。
航空公司会针对社会现象推出相应的营运模式,从而使公司赢得最大的利润。
针对此种现象,航空公司一般都采用超量订票的运营模式,即每班售出票数大于飞机载客数。
按民用航空管理有关规定:
旅客因有事或误机,机票可免费改签一次,此外也可在飞机起飞前退票。
航空公司为了避免由此发生的损失,采用超量订票的方法,即每班售出票数大于飞机载客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况,在这种情况下,航空公司让超员旅客改乘其它航班,并给旅客机票价的20%作为补偿。
为了减少发生持票登机旅客多于座位数的情况,航空公司需要对乘客数量进行统计,从而对机票预售量做出一定估算,从而获得最大的利润。
2问题的提出
某航空公司执行两地的飞行任务。
已知飞机的有效载客量为150人。
按民用航空管理有关规定:
旅客因有事或误机,机票可免费改签一次,此外也可在飞机起飞前退票。
航空公司为了避免由此发生的损失,采用超量订票的方法,即每班售出票数大于飞机载客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况,在这种情况下,航空公司让超员旅客改乘其它航班,并给旅客机票价的20%作为补偿。
要求:
(1)假设两地的机票价为1500元,每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况,问航空公司多售出多少张票,使该公司的预期损失达到最小?
(2)上述参数不变的情况下,问航空公司多售出多少张票,使该公司的预期利润达到最大,最大利润为多少?
3分析与建立模型
(1)假设两地的机票价为1500元,每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况,问航空公司多售出多少张票,使该公司的预期损失达到最小?
设飞机的有效载客数为N,超订票数为S(即售出票数为N+S),k为每个座位的盈利值,h为改乘其他航班旅客的补偿值.设x是购票末登机的人数,是一随机变量,其概率密度为f(x).当时,有S-x个人购后,不能登机,航空公司要为这部分旅客进行补偿。
当x>S时,有x-S个座位没有人坐,航空公司损失的是座位应得的利润,因此,航空公司的损失函数为
满足方程的S是函数E[L(S)]的极小值点,使航空公司的损失达最小。
设每位旅客购票未登机的概率为p,共有m个旅客,则恰有x旅客未登机的概率
,即x服从二项分布。
因此,积分
即用二项分布计算。
(2)上述参数不变的情况下,问航空公司多售出多少张票,使该公司的预期利润达到最大,最大利润为多少?
设飞机的有效载客数为N,超订票数为S(即售出票数为N+S),k为每个座位的盈利值,h为改乘其他航班旅客的补偿值.
若不超订票(即S=0),则盈利的期望值为
E0=每个座位的盈利×飞机座位有乘客的期望值=kN(1–p).
若超订票数为1(即S=1),盈利的期望值为
E1=不超订票时盈利的期望值+P{该旅客乘机}×P{该旅客有座位}×每个座位的盈利-P{该旅客乘机}×P{该旅客无座位}×该旅客的补偿=E0+(1–p)·P{N个旅客至少有1人不乘机}·k–(1–p)·P{N个旅客至多有0人不乘机}·h=E0+(1-p)[1-binopdf(0,N,p)]·k-(1-p)·binopdf(0,N,p)·h=E0+(1-p)[k-(k+h)binopdf(0,N,p)].
因此,只要计算出超订票数S=0,1,2,…的期望值,并比较它们的大小,就可以得到最优的超订票数和最大盈利的期望值。
4MATELABE运算过程
(1)假设两地的机票价为1500元,每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况,问航空公司多售出多少张票,使该公司的预期损失达到最小?
Matlab软件中提供二项分布函数
根据题意N=300,p=0.04,k=1500。
假设机票价就是航空公司的盈利,h=1500*0.2=300。
Matlab中相应的程序:
N=150;
p=0.04;
k=1500;
h=300;
S=0;
whilebinopdf(S,N+S,p)S=S+1;
end
S
结果
S=9
答案:
超订票数在8-9张之间,即每班售出的票数在158-159之间。
程序截图如下:
程序结果如下
(2)上述参数不变的情况下,问航空公司多售出多少张票,使该公司的预期利润达到最大,最大利润为多少?
matlab程序设计如下:
seats=1:
150;
extra=1:
15;
EPROFIT=linspace(0,0,15);
k=1500;
h=300;
p=0.04;
N=15;
EPROFIT0=k*N*(1-p);
EPROFIT
(1)=EPROFIT0+(1-p)*(k-(k+h)*binopdf(0,N,p));
whileextra(i)||i>1
EPROFIT(i)=EPROFIT(i-1)+(1-p)*(k-(k+h)*binopdf(i-1,N+i-1,p));
end
EPROFIT(x)
结果如下:
EPROFIT=
217436.2218849.7220194.6221400.4222393.5223124.5223584.7
223803.4223832.6223728.7223540.1223302.3223038.1222760.7
222477.2
答案:
比较EPROFIT数组中的结果得超订票数为9张时,航空公司获利润最大,预期的期望值达到223832.6元。
程序截图如下:
程序结果截图如下:
5建模的应用与推广
模型的应用与推广,在高速发展的社会,再快节奏的生活中,飞机的必然成了既舒适又高效的交通工具,随着机票打折飞机成了越来越多人的出行选择,该模型可在实际情况中得到应用,不仅可以保证每次航班的使用效率,提高运载能力,同时也可以使航空公司获得更高的利润。
所以在众多的机场中,订票管理部门皆可使用本模型。
也可在火车或长途客运的售票中运用该模型,以做到利润最大。
但是现实中还有好多实际问题有待解决,模型只提供了理论上支持。
6参考文献
[1]理学院应用数学系.数学建模简介及其MATLAB的实现[M].阜新:
辽宁工程技术大学理学院应用数学系,2008
[2]谢金星,薛毅.51单片机C语言程序设计快速入门[M].北京:
清华大学出版社,2005
[3]谭永基,俞文ci,《数学模型》,复旦大学出版社,1997
[4]李尚志等,《数学实验》,高等教育出版社,1999
7附录MATLAB的用途
MATLAB的名称源自MatrixLaboratory,它是一种科学计算软件,专门以矩阵的形式处理数据。
MATLAB将高性能的数值计算和可视化集成在一起,并提供了大量的内置函数,从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分析、仿真和设计工作,而且利用MATLAB产品的开放式结构,可以非常容易地对MATLAB的功能进行扩充,从而在不断深化对问题认识的同时,不断完善MATLAB产品以提高产品自身的竞争能力。