高中数学推理与证明测试题及答案.docx
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高中数学推理与证明测试题及答案
高中数学推理与证明测试题及答案
高二数学推理与证明苏教版
【本讲教育信息】
一.教学内容:
推理与证明
二.本周教学目标:
1.结合已经学过的数学实例和生活实例,了解合情推理,能利用归纳和类比等方法进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学中的作用。
2.结合已经学过的数学实例和生活实例,了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的模式,并能运用它们进行一些简单的推理。
3.了解直接证明的两种基本方法分析法与综合法;了解间接证明的一种基本方法反证法。
三.本周知识要点:
(一)合情推理与演绎推理
1.归纳推理与类比推理
(1)已知数列的通项公式,记,试通过计算的值,推测出的值。
(2)若数列为等差数列,且,则。
现已知数列为等比数列,且,类比以上结论,可得到什么结论?
你能说明结论的正确性吗?
【学生讨论:
】(学生讨论结果预测如下)
(1)
由此猜想,
(2)结论:
证明:
设等比数列的公比为,则,所以
所以
如
(1)是从个别事实中推演出一般结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
如
(2)是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理。
说明:
(1)归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。
通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤:
①通过观察个别情况发现某些相同的性质。
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)。
(3)类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。
类比的性
质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。
(4)类比推理的一般步骤:
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)。
2.演绎推理
现在冰雪覆盖的南极大陆,地质学家说它们曾在赤道附近,是从热带飘移到现在的位置的,为什么呢?
原来在它们的地底下,有着丰富的煤矿,煤矿中的树叶表明它们是阔叶树。
从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。
所以南极大陆曾经在温湿的热带。
被人们称为世界屋脊的西藏高原上,一座座高山高入云天,巍然屹立。
西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世,雄视世界。
珠穆朗玛峰是世界第一高峰,登上珠峰顶,一览群山小。
谁能想到,喜马拉雅山所在的地方,曾经是一片汪洋,高耸的山峰的前身,竟然是深不可测的大海。
地质学家是怎么得出这个结论的呢?
科学家们在喜马拉雅山区考察时,曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石。
还发现了鱼龙的化石。
地质学家们推断说,鱼类贝类生活在海洋里,在喜马拉雅山上发现它们的化石,说明喜马拉雅山曾经是海洋。
科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法,就是一种名叫演绎推理的方法。
1.演绎推理:
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理方法。
2.演绎推理的一般模式
分析喜马拉雅山所在的地方,曾经是一片汪洋的推理过程:
鱼类、贝类、鱼龙,都是海洋生物,它们世世代代生活在海洋里……大前提
在喜马拉雅山上发现它们的化石……小前提
喜马拉雅山曾经是海洋……结论
M-P(M是P)
常用格式:
S-M(S是M)
S-P(S是P)
三段论:
(1)大前提……已知的一般原理
(2)小前提……所研究的特殊情况
(3)结论……根据一般原理,对特殊情况作出的判断
用集合论的观点分析:
若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P。
练习:
分析下面几个推理是否正确,说明为什么?
(1)因为指数函数是增函数,
(2)因为无理数是无限小数
而是指数函数而是无限小数
所以是增函数所以是无理数
(3)因为无理数是无限小数,而(=0.333……)是无限小数,所以是无理数
说明:
在应用“三段论”进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式之一错误,都可能导致结论错误。
比较:
合情推理与演绎推理的区别与联系
从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个体到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理。
从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确。
人们在认识世界的过程中,需要通过观察、实验等获取经验;也需要辨别它们的真伪,或将积累的知识加工、整理,使之条理化,系统化,合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色。
就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理。
因此,我们不仅要学会证明,也要学会猜想。
(二)直接证明与间接证明
1.综合法与分析法
(1)综合法
一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理证明,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法又叫顺推证法。
它的基本思路是“由因导果”,即从“已知”得“可知”,再逐步推向未知的方法。
(2)分析法
我们从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件,这种证明方法叫分析法,它的特点是:
从未知看需知,再逐步靠近已知。
2.间接证明
反证法
一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
(三)数学归纳法
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:
(1)证明:
当n取第一个值时结论正确;
(2)假设当n=k(k,且k)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。
由
(1),
(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题:
递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。
【典型例题】
例1.如图所示,在锐角三角形ABC中,ADBC,BEAC,D,E为垂足,求证:
AB的中点M到D,E的距离相等。
证明:
(1)因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形,…………大前提
在△ABD中,ADBC,ADB=90,………………………小前提
所以△ABD是直角三角形。
……………………………………结论
同理,△AEB也是直角三角形
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,…………………大前提
而M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,………小前提
所以DM=,……………………………………………………结论
同理,EM=。
所以DM=EM
例2.已知,求证:
。
证法一(综合法):
证法二(分析法):
,为了证明,
只需证明,
即,
即,
即,
即.
成立,
成立
例3:
证明:
不能为同一等差数列的三项。
证明:
假设、、为同一等差数列的三项,则存在整数m,n满足
=+md①=+nd②
①n-②m得:
n-m=(n-m)
两边平方得:
3n2+5m2-2mn=2(n-m)2
左边为无理数,右边为有理数,且有理数无理数
所以,假设不正确。
即、、不能为同一等差数列的三项
例4.通过计算可得下列等式:
将以上各式分别相加得:
即:
类比上述求法:
请你求出的值。
解:
将以上各式分别相加得:
所以:
例5.自然状态下鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响,用表示某鱼群在第年年初的总量,,且>0。
不考虑其它因素,设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比,死亡量与成正比,这些比例系数依次为正常数。
(Ⅰ)求与的关系式;
(Ⅱ)猜测:
当且仅当,满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?
(不要求证明)
解:
(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为
(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1,n,从而由(*)式得
因为x10,所以ab。
猜测:
当且仅当ab,且时,每年年初鱼群的总量保持不变。
【模拟试题】
1.如果数列是等差数列,则
A.B.
C.D.
2.下面使用类比推理正确的是
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出“”
C.“若”类推出“(c0)”
D.“”类推出“”
3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错误的,是因为
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误
4.设,,nN,则
A.B.-C.D.-
5.在十进制中,那么在5进制中数码2019折合成十进制为
A.29B.254C.602D.2019
6.函数的图像与直线相切,则=
A.B.C.D.1
7.下面的四个不等式:
①;②;③;④。
其中不成立的有
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.类比平面几何中的勾股定理:
若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直,则三角形三边长之间满足关系:
。
若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为。
9.从中,可得到一般规律为(用数学表达式表示)
10.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f
(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是。
11.在△ABC中,,判断△ABC的形状
12.△ABC三边长的倒数成等差数列,求证:
。
13.在各项为正的数列中,数列的前n项和满足
(1)求;
(2)由
(1)猜想数列的通项公式;(3)求
【试题答案】
1.B2.C3.C4.D5.B6.B7.A
8..
9.
10.f(2.5)f
(1)f(3.5)
11.ABC是直角三角形;因为sinA=
据正、余弦定理得:
(b+c)(a2-b2-c2)=0;
又因为a,b,c为ABC的三边,所以b+c0
所以a2=b2+c2
即ABC为直角三角形。
12.证明:
=
为△ABC三边,
13.
(1);
要练说,得练看。
看与说是统一的,看不准就难以说得好。
练看,就是训练幼儿的观察能力,扩大幼儿的认知范围,让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中,积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时,我着眼观察于观察对象的选择,着力于观察过程的指导,着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
(2);
要练说,得练看。
看与说是统一的,看不准就难以说得好。
练看,就是训练幼儿的观察能力,扩大幼儿的认知范围,让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中,积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时,我着眼观察于观察对象的选择,着力于观察过程的指导,着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
家庭是幼儿语言活动的重要环境,为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作,孩子一入园就召开家长会,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长,要求孩子回家向家长朗诵儿歌,表演故事。
我和家长共同配合,一道训练,幼儿的阅读能力提高很快。
(3)。