第八章傅里叶变换090120.docx

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第八章傅里叶变换090120

密^八章傅里叶变换

2013-8-9

彳§8・0前言_

§8・1傅氏积分

§8・2傅氏变换

§8・3傅氏变换的性丿贞

§8・4卷积与相关函数

刖旨

积分变换是通过积分运算，把一个函数变成十另二不函数的变换,与复变函数有着密切的联系。

它的理论与方法不仅在数学的许多分支中，而且在其他自然科学和各种工程技术领域中均有着广泛的应用，它已成为不可缺少的运算工具。

“积分变换”的中心思想是把复杂的.耗费时间的计算简化为简单的、节省时间的计算.

为了理解“数学”是如何完成这项任务的，让我们从大家熟悉的对数说起.十七世纪，航海和天文学积累了大批观测数据，需要对它们进行大量的乘法和除法运算.

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在当时，这是非常繁重的工作.为了克服这个困难，1614年纳皮尔（Napier）发明对数rS后，人们造出以10为底和以e为底的对数表.

令D=gX为正实数｝

（1）R=｛X.X%实数｝;

（2）指数函数尸3是定义在/?

上取值于Q的单值函数.对数函数尸In規指数函数的反函数，它是定义在Q上取值于/?

的单值函

它们建立了阳舷间的一个——对应：

*-I

x^D

XwR

X=lnx

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给定屮数

査反对数表

得到中数

側到中数z,='J-hvN2013-8-9

在中加减运貝

通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。

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一般是含有参变量a的积分

上就是把某函数类＞1中的函数Z'⑺通过上述积分的运算变成另一函数类F（a）o

KO,OC）是一个确定的二元函数，称为积分变换的核；

F（oc）—像函数

/（『）一像原函数

对应的。

在一定的条件下，F（ot）与/⑴是

8.1傅氏积分

木节从周期函数在区间（・7?

2,7?

2）上的Fourier级数展开式出发，讨论当T^+x时它的极限形式，得出菲周期函数的Fourier积分公式。

主要内容

1•傅氏级数的复数形式

2•傅氏积分定理

3•傅氏积分公式的其他形式

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丄•傅氏级数的复数形式

傅氏级敎收敛定理：

设/X0是以砒周期的函数，如果在卜772,772]上满足

（Dirichlet条件）：

（1）连续或只有有限多个第一类间断点,

（2）只有有限多个极值点。

贝IJ在卜〃2,772]I:

就可以展开成傅氏级数:

a+s

m）=才+工（勺cos打如+仇sin7769（/）

2n=I（8.1）

2广/2

5=—J口2fr（F）COSn=0,1,2,…

2广/2

7J-7/2人⑴smgg«=12…

在间断点f（）处，（8.1）式左端为

jL/y（^0+0）+77（『（）一0）1・

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…为了应用上方便，下面将Fourier级数的三角形式利用Eule「公式转换为复指数形式。

Euler公式

eiU卩

COSq>=

sm（P=—-—=（-j）—-—2j2

此时，（8・1）町写为

分护U-

=»[d"~j”"ej"®*+d"+jb“L闷*一T幺—r~—2~

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令：

q）=牛諾

2TJp

~f_aS

G—2

Iy-

=—ijvA（Ocosnft^/dr-jJy/>（;）sinzaft^/dz]

/'y"T

1门

=—I7/y^（r）[cos/7

■

=〒压齐a）h"Edf（«=1,2,3,..）

1.y

]LL

=—IJr齐（f）cosnco^tdt+jjrA（0sinway山|

1"y飞

1pl

=—V/t■⑴[cosn©』+jsmn©"dF/f

=-匹齐（『）』如山⑺=1,2,3,…）

丄2

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而它们町合写成一个式子,

S=-Jl"/）e一EQ

■

（72=0,±l,±2,土3,•…）

.若令®=^0）（77=0,±1，±2,…）

*——

/r（O=工

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这就是傅氏级数的复指数形式，或

齐（CeT%d刊ej%

（8.2）

傅111叶级数冇卄常明确的物理含义。

事实上，f（&l）式4令缶=如2入=屁丢,

Icose产aJ亠,sin匕二一“/A”兄=1,2,•…则式（&1）式变为

+0O

齐（7）=A}+工人（cos&“cosna>^yt一sin&“sin川®F）n=[

+«

cosSsf+Q）

ZI*I

如果以易⑴代表信号，则上式说明，一个周期为丁的信号可以分解为简谐波之和。

这些谐波的（角）频率分别为一个基频0。

的倍数。

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换句严说，信并不含冇齐种频率成分，而仅山一系列具童蔦散频率的谐波所构成,其中4,反映了频率为刃叫的谐波在川）屮所山.的份额，称为振码0”则反映了频率为mJi勺谐波沿时间轴移动的人小，称为相位。

再看（&2）式，由C占5

及亿的关系町得5=4）,

argq=-a「g

I1=1J1=i賦+b；

=A"«=12…

Ihilt可见，仅山系数q,就町以完全刻画信号/；•（『）的频率特性。

W此，称q为周期函数/；（『）的离散频谱,1叩为离散振幅谱,arg_为离散相位谱•为了进一步明确q与频率充00的对应关系，常常记F（挖0。

）=5.

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例1求以丁为丿制期的函数JH）={°2一网离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式。

解：

令00=2兀/7；当丿?

=OH、」,

L/C、1I「772

5=尸（0）=討”处）d2討。

2dz=l

1「772C”=S°）=-J“=2『2小叫dr=j

T^Jo

齐（/）&"叫dF

-心

22-1）«兀

Jr0,当川为偶数，

丄（e加—1）=.

齐⑴的傅里叶级数的复指数形式为

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1尸（兄＜%）1二＜0,

\n\Tt

Z7=0n—±2,±4,•…

，歼=±1,±3,…

相位谱为

0,n=0,±2,±4,・・・，

一兀/2,/7=1,3,5,•…，

兀/2,川=-1,-3,-5,•••

其图形如图8・2所示.

图8・2

□<

Yvn

一2

o互X

/r/O

-殳•

我们作周期函数/应方使其在［-r/2,T/2］之內等于A几而在［-772//2］之外按周期延拓車釘数轴上基则

lim齐（/）=/（/）

TT+00

在（8・2）屮，令厂T+oo时，结果可看成

足/⑴的展开式，即

I严7"

八2您疗工唾齐⑺产3严（&3）

/ns-«o2

当并収一切幣数时，叫所对应的点均匀地分布rn整个数轴上。

如下图所示：

2兀-.

为T->+00时，冇=0,此时上式可写成:

<■0].

当涸泄时，一B是参数2兀r

◎的函数，记为5（%）

这样（8.4）式可写成：

f（t）=lim工①丁（◎）△◎

A越tO

很明显，当A©tO同厅T+OC时,

①/这里

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从何（/河以看作是①（©）在（-8,+8）上的积分

N）=匚①（®）d®

即心）=匚（D（Q）dQ

1「+8p+OC

Ww=—Jif/"Wd步m

2TTJ—8J

（8.5）

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傅里叶积分定理

若yxr）在（Y0，+8）1:

满足条件:

r在任一冇限区间1:

满足Dirichlet条件；

2"在（yo,H）一上绝对町积（即£^|/（Z）|dZ收敛）,

1Q♦S「Q♦S

+匚lLm）egd屮"加

-I（8.5）

/（/），在/'（/）连续点

h八+0）+/（-0）,在八）间断点

（8・5）式足/*（/）的傅氏积分公式的复指数形式,利用欧拉公式，町将它转成三角形式。

Ip+m/•+CO.-

/⑴=—L[J"/⑺〜回比卜回血iL

=—J[J/（r）cos

）（r—r）dr+jj/（r）sinrt）（f—r）dTJdf?

）

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A-l-co_

r/'（r）sin£y（Z-r）dr是ry"勺奇函数,J—S•

fI[/（r）sine（r-r）dr]de=0

J—coJ—oo"

Ir-haof+

/（O=—J[f/（r）C0S69（z-r）dr]d692兀J—8J—

■.1f+00r+8

H./（z）=一f[f/（r）cos£y（r-r）drldty兀JOJ-co

小结

周期函数的傅氏级数的复指数形式:

1+821

齐⑴二〒Z[J1齐⑺「咛“祀曲

frt=—co2

卄周期函数的傅氏积分公式

/⑴=云/⑺e®「血le冋血

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第二节傅氏变换

本节内容

1•傅氏变换的概念

2•单位脉冲函数及其傅氏变换

3•非周期函数的频谱

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十傅氏变换的概念

「当函数/（门满足傅氏积分定理中的条件时,I则在/⑴的连续点处有

y-TTJ—COJ—8

令f（q）=「：

ra）eT%/

J-oO

贝1卩（0=+匚F（0）eMZe

（8-5）

（8.9）

（8.10）

上面两式可以看出，/⑴和FS）通过指定的积分运算可以相互表达。

-（&9）式叫做北）的可记为F（3）=b［A/）lo

F（3）叫做X◎的像函数。

（8.10）式叫做尺的傅氏逆变换式，可记为

/（/）=b-丄［尺。

）］叫做尺d））的像原函数。

这时我们称/（◎和尺0）构成了一个傅氏变换对。

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11=]

/（◎与尺d＞）构成一个傅氏变换对。

与傅氏级数一样，傅氏变换也有明显的物理含义5以说明非周期函数与周期函数一样，也是由许多不同频率的正、余弦分量合成，所不同的是，非周期函数包含了从零到无穷大的所有频率分量。

而尺劲是◎中各频率分量的分布密度，因此称尺6^）为频谱密度函数（简称为频遭或连续频谱），称I尺QI为如g频谱。

arg尺劲为相位琳.

例L求换数M）=n°的傅氏变换及2-0,『>0

IL积分衣达式，其中0>0・这个/■⑴叫做指数哀减函数。

命军,F（^）=F[/（/）]

=「/（应"dr=「eSe^dr

J—00Jo

£严叫=詁^TO

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根据（&10）9冇/（z）=F-HF（ty）J

I户+00

一fF（0）egdQ

2兀J-8

——fF（D）ejadc

2兀Jf

0,t<0

F[/（/）!

=F（a））=f7*（7）「处山=rr伽df

J-sJ占

其图形如图X・3所示。

i/（0

图8・3

■/（/）的傅氏逆变换表达式为丄、1rZsinSe伽」

/（^）=—Ie回也

2兀JyC（Q

1「+82sin%）,jp+co2sine.,

——costy/dcyHsintyZd^y

271Jyo02兀J・

-8

_2r+ssin鈕兀Jo

IJrl

coscotdco=«l/2,lz1=3

0,1zl>^

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上式屮令/=（）町得重要积分公式

如咖积分JT畔d吨

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