中考中的一次函数应用题求解策略含答案.docx

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中考中的一次函数应用题求解策略含答案

中考中的一次函数应用题求解策略

1 试题概述

一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内

容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容

易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热

点。

此外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合的压轴题形式出

现，而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因此一次函数应用题就一直是中考试题中

最频繁出现的考点。

一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：

⑴学生对数形结合的认识和理

解；⑵将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；⑶分类讨论、极端值、对应关

系、有序性的数学思想方法的考查。

⑷对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。

一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：

⑴

方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶由形

求式（单个函数图象、多个函数图象）。

⑷一次函数多种变量及其最值问题。

2 试题例析

2.1 方案设计问题

⑴物资调运

例 1.为支持四川抗震救灾，重庆市 A、B、C 三地现在分别有赈灾物资 100 吨，、100

吨、80 吨，需要全部运往四川重灾地区的 D、E 两县。

根据灾区的情况，这批赈灾物资运

往 D 县的数量比运往 E 县的数量的 2 倍少 20 吨。

（1）求这批赈灾物资运往 D、E 两县的数量各是多少？

（2）若要求 C 地运往 D 县的赈灾物资为 60 吨，A 地运往 D 的赈灾物资为 x 吨（x 为

整数），B 地运往 D 县的赈灾物资数量小于 A 地运往 D 县的赈灾物资数量的 2 倍。

其余的

赈灾物资全部运往 E 县，且 B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过 25 吨。

则 A、B 两地的赈

灾物资运往 D、E 两县的方案有几种？

请你写出具体的运送方案；

（3）已知 A、B、C 三地的赈灾物资运往 D、E 两县的费用如下表：

运往 D 县的费用（元

A 地

220

B 地

200

C 地

200

- 1 -

/吨）

运往 E 县的费用（元

250

220            210

/吨）

为即使将这批赈灾物资运往 D、E 两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，

在

（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

解析：

本题题干文字长，数量关系复杂，但只要弄懂了题意，并结合表格将数量关系

进行整理，解决起来并不难。

⑴直接用一元一次方程求解。

运往 D 县的数量比运往 E 县的数量的 2 倍少 20 吨，设

运往 E 县 m 吨，则运往 D 县（2m-20）吨，则 m+（2m-20）=280，m=100，2m-20=180。

（亦

可用二元一次方程组求解）

⑵由⑴中结论，并结合题设条件，由A 地运往 D 的赈灾物资为 x 吨，可将相应数量关

系列表如下：

D 县（180

A 地（100 吨）

（220 元/吨）

B（100 吨）

180-60-x

C（80 吨）

60（200 元

吨）

=120- （200 元 /吨）

/吨）

E 县（100

100-x （ 250/

100-20-

20（210 元

吨）

吨元）

（100-x）

/吨）

=x-20（220 元/

吨）

表格说明：

①A、B、C、D、E 各地后括号中的数字为调运量或需求量；

②表格中含 x 的式子或数字，表示对应地点调运数量；

③表格中其他括号中的数字，表示对应的调运费用。

确定调运方案，需看问题中的限制条件：

①B 地运往 D 县的赈灾物资数量小于 A

地运往 D 县的赈灾物资数量的 2 倍。

②B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过 25 吨。

故：

解得∴40＜x≤45 ∵x 为整数

∴x 的取值为 41，42，43，44，45则这批救灾物资的运送方案有五种。

方案一：

A 县救灾物资运往 D 县 41 吨，运往 E 县 59 吨；

- 2 -

B 县救灾物资运往 D 县 79 吨，运往 E 县 21 吨。

（其余方案略）

⑶设运送这批赈灾物资的总费用为 y，由⑵中表格可知：

y=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+200×60+210×20 =-10x+60800

∵y 随 x 增大而减小，且 40＜x≤45，x 为整数，

∴当 x=41 时，y 有最大值。

该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是：

y=-10×41+60800=60390（元）

求解物资调运问题的一般策略：

⑴用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量；

⑵根据表格中量的关系写函数式；

⑶依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；

⑷根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。

物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型。

⑵方案比较

例 2.（在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为 x（张），总费用为 y（元）。

现有

两种购买方案：

方案一：

若单位赞助广告费 10000 元，则该单位所购买门票的价格为每张 60 元；（总

费用=广告赞助费+门票费）

方案二：

购买方式如图 2 所示。

解答下列问题：

⑴方案一中，y 与 x 的函数关系式为；方案二中，当0≤x≤100 时，y 与 x 的函

数关系式为，当 x＞100 时，y 与 x 的函数关系式为。

⑵如果购买本场足球赛门票超过 100 张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？

请说

明理由。

- 3 -

⑶甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共 700 张，花去总费用

计 58000 元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？

解析：

这是一个两种方案的比较问题。

方案比较通常与不等式联系紧密。

比较优惠条

件，即通过比较函数值的大小，确定自变量的区间。

y

⑴中方案一的函数关系式，直接依题意写出：

 1=60x+10000（x≥0）；方案二的函数关

系由图象给出，用待定系数法求解。

当 0≤x≤100 时，图象为过原点的线段，函数式为正比例

函数，可求得 y2=100x（0≤x≤100）；当 x＞100 时，图象为不过原点的射线，函数式为一次

函数，过（100，10000），（150，14000），可求得 y2=80x+2000（x＞100）。

⑵购买门票超过 100 张，比较那种方案最省，了先使y1=y2，求出此时 x 的值。

然后利

用不等式确定方案。

当 y1=y2 时，60x+10000=80x+2000，解得 x=400，即购买 400 张门票，两种方案费用相

同。

当 y1＞y2 时，解得 x＜400，则当 100＜x＜400 时，选择方案二，总费用最省；

当 y1＜y2 时，解得 x＞400，则当 x＞400 时，选择方案一，总费用最省。

⑶分两种情况讨论：

（用方程求解）

①甲单位按方案购买的门票少于 100 张时，设甲买 m（m＜100）张，则乙买 700-m 张。

100m+60（700-m）+10000=58000 解得 m=150（不合题意，舍去）

②甲单位按方案购买的门票少于 100 张时，设甲买 m（m＞100）张，则乙买 700-m 张

80m+2000+60（700-m）+10000=58000 解得 m=200，700-m=500

求解方案比较问题的一般策略：

⑴在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。

因此首先需设法求出不同方案各

自的函数式。

求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给出图象的，直接依题意进

行列式。

⑵方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。

比较方案，即比较同一自变量所对应

的函数值。

要会将函数问题转化为方程、不等式问题。

⑶方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小关系不同。

方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。

2.2分段函数问题

⑴分段价格

- 4 -

例 3.（2008 年襄樊第 23 题）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水

意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水 10 吨以

内（包括 10 吨）的用户，每吨收水费 元；一月用水超过 10 吨的用户，10 吨水仍按每吨

元收费，超过 10 吨的部分，按每吨 元（b＞a）收费．设一户居民月用水 吨，应收水费

元，与之间的函数关系如图 13 所示．

（1）求 的值；某户居民上月用水 8 吨，应收水费多少元？

（2）求 的值，并写出当 x＞10 时，与 之间的函数关系式；

（3）已知居民甲上月比居民乙多用水 4 吨，两家共收水费 46 元，求他们上月分别用

水多少吨？

解析：

（1）当

用 8 吨水应收水费

时，有      ．将

（元）．

，      代入，得      ．

（2）当 x＞10 时，有

． 将

，

代入，

得

（3）因

∴

．  故当 x＞10 时，

，

．

所以甲、乙两家上月用水均超过 10 吨．

设甲、乙两家上月用水分别为 吨，

吨，

则解之，得

故居民甲上月用水 16 吨，居民乙上月用水 12 吨．

解分段价格问题的一般策略：

⑴分段函数的特征是：

不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折

线。

解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。

- 5 -

⑵分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。

在求解析式

要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通

常是不同区间的最值。

⑶分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用。

⑵几何图形中的动点

例 4.（2008 年长沙第 25 题）在平面直角坐标系中，一动点 P（ ，y）从 M（1，0）

出发，沿由 A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如

图①）按一定方向运动。

图②是 P 点运动的路程 s（个单位）与运动时间 （秒）之间的函

数图象，图③是 P 点的纵坐标 y 与 P 点运动的路程 s 之间的函数图象的一部分.

（1）s 与 之间的函数关系式是：

；

（2）与图③相对应的 P 点的运动路径是：

；P 点出发秒首次

到达点 B；

（3）写出当 3≤s≤8 时，y 与 s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象.

解析：

（1）由图象可知为正比例函数。

S=

（t≥0） 

（2）由图象③，M 纵坐标为 0 变为 1，

则路径为：

M→D→A→N， 10 秒

（3）当 3≤s＜5，即 P 从 A 到 B 时，y=4-s；

当 5≤s＜7，即 P 从 B 到 C 时，y=-1；

当 7≤s≤8，即 P 从 C 到 M 时，y=s-8．（补全图象略．）

求解几何图形中的动点问题一般策略：

⑴解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应

的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。

因此根据不同路径以确定自变量的变化

区间至关重要。

- 6 -

⑵在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的

变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。

⑶动点（动线）问题，引起图形中相关量的变化，多以面积为主。

本题给出的坐标变

化相对降低了难度。

但给出的图象较多，涉及到路程与时间、路程与坐标三个变量，共两种

函数，在解决问题时，应认真审题。

2.3数形结合由“形”求式

⑴单个函数图象

例 5.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行

驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．

根据图象进行以下探究：

信息读取

（1）甲、乙两地之间的距离为km；

（2）请解释图中点

的实际意义；

图象理解

（3）求慢车和快车的速度；

（4）求线段

所表示的  与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；

问题解决

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车

与慢车相遇 30 分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小

时？

解析：

（1）900；

（2）图中点

的实际意义是：

当慢车行驶 4h 时，慢车和快车相遇．

- 7 -

（ 3 ） 由 图 象 可 知 ， 慢 车 12h 行 驶 的 路 程 为 900km ， 所 以 慢 车 的 速 度 为

；

当慢车行驶 4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为 900km，所以慢车和快车

行驶的速度之和为，所以快车的速度为 150km/h．

（4）根据题意，快车行驶 900km 到达乙地，所以快车行驶

到达乙地，此

时两车之间的距离为

，所以点  的坐标为

．

设线段

所表示的

与 之间的函数关系式为

，把     ，       代入

得

解得

所以，线段所表示的与 之间的函数关系式为

．

自变量 的取值范围是

．

（5）慢车与第一列快车相遇 30 分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是

4.5h．

把代入，得．

此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是 112.5km，所以两列

快车出发的间隔时间是

，即第二列快车比第一列快车晚出发 0.75h．

单个函数图象求“式”的一般策略：

⑴单个函数图象，尤其是折线图，在读图过程中一定要正确认识和理解图形上点的坐

标的实际意义。

⑵要关注“折点”所表示的意义，用好折点坐标。

⑶用图象求函数式，多用待定系数法，因此要善于寻找图象上点的坐标。

一方面可以

从图象上寻找，此外还可以结合题设中的条件寻找。

⑵多个函数图象

例 62008 年 5 月 12 日 14 时 28 分四川汶川发生里氏 8.0 级强力地震。

某市接到上级

通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点 480 千米的灾区。

乙

- 8 -

组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发 1.25 小时（从甲组出发时开始计时）。

图中的

折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程（千米）、（千米）与时间 x（小时）之间的函

数关系对应的图像。

请根据图像所提供的信息，解决下列问题：

（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了_________小时；（2 分）

（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区。

请问甲组的汽车在排除故障时，

距出发点的路程是多少千米？

（6 分）

（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不过

25 千米。

请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定。

解析：

本题由甲乙两个互相关联但又不同的行程问题构成，函数图象之间彼此相交。

要解决好所求问题，必须深入认识和理解图象中的信息，尤其是已知点坐标的实际意义。

（1）由图象可知：

AB 段发生故障。

时间为 4.9-3=1.9 （小时）

（2）要求甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米。

即要求出 B 点的纵

坐标。

点 B 在线段 BD 上，且横坐标为 4.9。

只需求出 BD 所在直线的解析式即可。

C 是 BD、

EF 交点，C 点的横坐标为 6，求出直线 EF 的解析式，则可得到 C 点坐标。

从而求出 BD 解

析式，得到 B 点纵坐标。

设直线 EF 的解析式为

乙

=kx+b∵点 E（1.25,0）、点 F（7.25,480）均在直线 EF 上

∴解得∴直线 EF 的解析式是 y 乙= 80X-100

∵点 C 在直线 EF 上，且点 C 的横坐标为 6，

∴点 C 的纵坐标为 80×6—100=380

∴点 C 的坐标是（6，380）

- 9 -

设直线 BD 的解析式为 y 甲 = mx +n

∵点 C （6，380）、点 D （7，480）在直线 BD 上

∴解得∴BD 的解析式是 y 甲=100 X -220

∵B 点在直线 BD 上且点 B 的横坐标为 4.9，代入 y 甲得 B （4.9，270）

∴甲组在排除故障时,距出发点的路程是 270 千米。

（3）符合约定

由图像可知：

甲、乙两组第一次相遇后在 B 和 D 相距最远。

在点 B 处有 y 乙—y 甲=80×4.9—100—（100×4.9—220）=22 千米＜25 千米

在点 D 有 y 甲—y 乙=100×7—220—（80×7—100）=20 千米＜25 千米

∴按图像所表示的走法符合约定

多个函数图象求式问题的一般策略：

⑴一题中有多个函数图象时，尤其要关注图象交点的坐标。

因其交点坐标同时满足两

个图象的关系式。

⑵分析多个函数图象时，还应关注其交点两侧图象的上下位置关系。

图象在上方的函

数图象，同一个自变量所对应的函数值大。

由此可比较两个函数图象所表示函数式之间的变

化关系。

2.4多变量及其最值问题

例 7（2008 年泰安第 25 题）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口

规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农

若干元．经调查，种植亩数 （亩）与补贴数额 （元）之间大致满足如图 1 所示的一次函

数关系．随着补贴数额 的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益 （元）会相

应降低，且 与 之间也大致满足如图 2 所示的一次函数关系．

- 10 -

（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？

（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数

和每亩蔬菜的收益  与政府补贴数

额之间的函数关系式；

（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额 定为多少？

并求出总收益的最大值．

解析：

 1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为：

（元）

（2）由题意可设

与 的函数关系为

将

代入上式

得

∴

∴种植亩数与政府补贴的函数关系为

同理可得，每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为

（3）由题意

∴u

∴当，即政府每亩补贴 450 元时，全市的总收益额最大，最大为7260000 元．

解多个变量及其最值问题的一般策略：

⑴一个问题中涉及多个变量，往往对应着多个函数式。

因此在求解过程中，一定要理

清变量之间的对应关系，正确求出不同的函数式。

⑵求函数的最值问题，一次函数主要运用一次函数性质求。

二次函数则可用配方法或

公

⑶对于函数式的求取，则主要是用列式法和待定系数法。

- 11 -