浙江省杭州市初中数学教学论文 由一道课本例题带来的.docx

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浙江省杭州市初中数学教学论文由一道课本例题带来的

“1+n”

“1+1+……+1”

——由一道课本例题带来的日常教学思考

【摘要】

   根据数学内容的性质，数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习教学等五类。

相应地，例题教学贯穿这５类教学之中，起着承上启下的作用。

新课改中数学学习的基本要求更多地放在了学习有效性上，数学学科本身又具备其鲜明的特点：

在我们的学案中例题的教学可以说是一节课的重头戏，一方面例题数量占有绝对多的篇幅，另一方面例题的教学时间占整堂课的80%到90%。

因此把例题教好，是我们教学的主要任务。

“一道例题加n个后缀”是一种例题教学的思路；“一道例题加一道例题…”也是一种例题教学的思路。

那么如何更好地进行例题教学？

笔者根据自己在教学一线的实践，以例题教学为例，着重论述如何实施数学例题“1+n”式在教学中的优势。

【关键词】变式；阶段；选择；讲解；准则；积累；

课本上的一道例题：

浙教版八上《3.2直棱柱的表面展开图》P58

书本例题：

如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处.

⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？

⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？

（ⅰ）教材分析：

1．教学目标：

（1）了解直棱柱的表面展开图的概念；

（2）会判断一个平面图形是否直棱柱的表面展开图，培养学生的空间想象能力；

（3）会画简单直棱柱的表面展开图；

（4）能根据展开图判断和制作立体模型；

2．教学重点：

（1）直棱柱的表面展开图的想象与判断；

（2）画展开图；

3．教学难点:

（1）立方体的表面展开图的辨认；

（2）表面展开图的应用；

4．学生分析：

（1）学生首次接触空间立体图形与平面图形的相互转化；

（2）学生学习数学的心理规律，应该强调从学生已有的生活经验出发；

（3）从数学过程、数学操作、数学交流、数学空间等方面强化逻辑思维；

（4）学生需要经历观察、实验、猜测、尝试、推理、交流、反思等活动；

（ⅱ）教学过程：

如何解决本题呢？

如果就事论事，学生知识的结构完整性达不到要求，只按书本讲例题也显单薄，何不拓展变式延伸呢！

1.问题引入：

例：

如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，

房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处.

⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？

⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？

2．引子铺垫：

例：

如图是一个“立方体”的表面展开图吗？

如果是，请分别用1，2，3，4，5，6中的同一个数字表示立方体和它的展开图中各对对应的面（只要求给出一种表示方法）.

，

通过“玩具”演示，课件引导，展示了立方体展开图的全部可能情况，结论如下:

不同的折叠方法对应了不同的填写结果.例题的原本要求是“只要求给出一种表示方法”，而通过各小组组内及组间的交流，我们的学生可以自然得到多种不同的表示.

3．练习巩固：

例：

判断下列平面图形是否立方体的表面展开图？

注：

让学生在“先想一想，再折一折”的活动过程中，体会“展开与折叠”的对应转化，积累经验，建立自己的空间观念.

4．问题解决——谜底：

Ａ在前侧面

Ａ在左侧面

Ａ在底面

5．例题教学后的反思：

对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课本先安排了一个合作学习的栏目，让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过体例、练习和作业题来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。

．注重对例题的全方位反思。

例题的作用是多方面的，除上文提到的几点外，例题教学还具有传授新知识，积累数学经验，完善数学认知结构,提高学生解决实际问题的数学能力，对所学知识的理解加深的作用。

更重要一点，可以通过对例题解法的分类，归纳，总结若能得到自己得以独到见解，解决某一类问题的简便方法。

才是真正意义上的例题教学目的。

6．“变式”的思考：

如果我们改变几何体的形状背景：

（ⅰ）比如在金字塔形的空间里（ⅱ）比如在圆锥形的空间里

侧面展开图为三角形侧面展开图为扇形

（ⅲ）比如在圆柱形的空间里

侧面展开图为矩形

如果学生条件允许的话老师还可以添加形如圆台、棱台、不规则几何体等等能展开成为平面的几何体供学生发挥，也可以放手学生自己对这类问题的联想。

举一反三，由表及里。

一个例题，面面俱到。

开发思维，事半而功倍！

有效教学，众人喜！

“好”例题的概念：

“1+n”中的“1”，就代表一道“好”例题。

上面的例题在教学中满满地占用了一节课，环节紧紧相扣，层层叠进。

同学们复习了很多，又学到了很多。

感觉像是在讲一个例题，但知识点已覆盖全部。

看来，好的例题有着它以下的特别之处（但不必面面俱到）：

体现教学基本内容；

课本是教学的核心，严格以教学大纲、课程标准为要求；

学生是学习的主体，严格以符合学生思维基本特点为要求；

指导解题方法和思路；

切合实际，易于方法引导；

满足多层次学生，具有普遍应用的价值；

适合归纳总结、研讨、交流、探究；

承前启后，了解、掌握、应用；

问题新颖，推陈出新，与时俱进；

多“变式”，多“解法”，便于举一反三；

主题分支，基于问题，解决新题；

一个问题多种解法，“异曲同工”之效；

“梅开三度”，引人入胜；

广度、深度、趣味度；

设问、反问、问了还想问；

“纲举目张”；

一张鱼网有千个眼，但绝对需要一根主线将他们统统拎起；

一道例题有若干解法，但他往往围绕一个主体思想贯穿而行；

例题教学的理论支持：

（ⅰ）《新课程标准解读》中的支持：

有效数学例题教学，是学生掌握数学基础知识、基本技能、基本数学思想方法、发展能力的重要途径，也可促进学生学习态度、学习方式的改变。

（ⅱ）俗语说：

“鱼儿离不开水，瓜儿离不开秧”，同样数学教学离不开例题。

例题教学是课堂教学的主要环节，切实加强各类型例题的教学，对于学生理解和掌握数学知识，培养能力，发展智力，训练思维，形成方法，陶冶情操等方面都具有举足轻重的作用。

（ⅲ）在新浙教版教材中所选用的例题主要围绕以下六个标准：

1．创设情境性例题；

①直接感官，看得到想得出；②主动接受，提高学生兴趣；

2．设置实验性例题；

①抽象意识，想得出做得到；②动手设计，自主建构知识；

3．设置开放性例题；

①思维创造，做得到摸得着；②探索争论，培养创新精神；

4．设置猜想性例题；

①疑难予设，“变”不完留着用；②变换角度，磨练意志和耐心；

5．设置规律性例题；

①敏锐观察，注意归纳综合；②举一反三；提高解题能力；

6．设置应用性例题；

①营造空间，摸得着用得到；②关注事实，学有用的数学。

（ⅳ）让学生体验到数学在他们周围世界的力量。

我们的例题教学在内容选择、教学方式方法上都在不断变化。

我们会不自觉地对部分教材内容进行整合、变形，更会利用课本的现有条件充分发挥“变式”的优势来达到补充和提高。

例题教学在日常工作中的操作：

（ⅰ）例题教学的几个阶段：

例题的选取阶段；

题目涉及知识要点应覆盖本节课的内容，具有一定的梯度和一定的基础性与综合性，要选择能体现“通性通法”即包含最基本的教学思想方法的题目，不必追求偏、怪、难，也不要贪多，要重视一题多解、一题多变，在培养学生解题能力中的作用

根据教学大纲的要求对课本上的例题采取恰当的增补；

比如：

二次函数补充“交点式”；扇形中补充圆锥侧面展开圆心角公式；

例题的选择要有一定的代表性，能起到举一反三的效果；

比如：

问题：

△ABC中，AD是BC边上的中线，

F是AD上一点，且AF:

FD=1:

5，连结CF并延长

交AB于E．求AE:

EB的值．

解1．有学生提出要过点D作DM∥AB交EC于点M．

用平行将比例转化

易证

．此方法简洁明了，大多

数同学都采用了这一证法。

解2．有学生说也可以向左添辅助线，

于是有：

过点D作DN∥AC

交AB于点N．同理易证．

解3．学生另解：

左右可添，不妨上下添

注：

这样的解法较为复杂，但可以较好

地体现平行与相似的相合．在与教师和

其他同学的争论中有理可依，也是好证法。

解4．左右可以，内外能行吗？

过B作BG∥EC，

交AD于G．

注：

学生提出的方法到这里可充分体现平行与相似的结合，且基本了解转化的方法，学以致用。

在解法开放上的探索，使学生

看似东南西北，实质“内外结合，左右逢源”。

例题的选择要遵循思维的认知规律，从易到难，循序渐进；

有目的、有计划地将课本中的例习题整理归类，恰当地进行延伸、演变；

比如：

在圆与直线的教学中，虽然弱化了对线圆的证明要求，但是从知识的掌握上来讲，教师完全可以将课本所提到的几个性质定理梳理成“线”：

例：

同心圆O中，求证：

AB·AC=PQ·PR

方法一：

作弦心距，复习圆的基本性质；

方法二：

作小圆的切线，复习切割线

定理；

方法三：

连BQ交大圆O于M、N，复习相交弦定理；

方法四：

如图连线，复习割线定理；

老师更可以将以上方法总结为如下方法：

方法五：

连OQ，揭示已被弱化的，但依然经典的“圆幂定理”实质。

学生预习阶段；

教师引导学生研读教材；

启发学生积极思考课文中的有关问题；

教师注意方法的指导：

（1）怎样分析问题；

（2）怎样理解概念（找出关键的字、词、句，把握其本质等）；

（3）怎样看懂例题（分析解题思路，归纳解题步骤，把握解题注意点等）；

（4）怎样归纳、小结等；

3．教师的讲解阶段；

①综合法；

根据题目正面推导，它是从问题的条件入手进行思考，这里一般有三个思维层次：

充分利用条件；善于转化条件；积极创设条件。

（1）充分利用条件。

在明处都容易发现，教师要善于帮助学生挖掘隐含条件。

给学生讲明解题过程要使所给的条件全部用上才行，用于解题，才算充分运用了条件。

例如：

方程

的两根都是负数，求m的值。

若只注意题设条件：

两个负根，由韦达定理

得出m的范围就错了。

还应该注意到隐含的条件：

这样就充分地利用了条件。

（2）善于转化条件。

条件与结论相距甚远，那么我们就使条件和结论逐渐靠近，将条件转化为可以更好服务于结论的新面目。

例如：

在解绝对值不等式时，若

，化减

？

解答时我们必须把

转化为

，再化简：

原式

；

又如：

方程函数、代数几何的转化。

（3）积极创设条件。

走跳棋的时候经常会碰到过“河”搭“桥”的问题，在没有现成设施的情况下，要巧用有限资源来搭建通道。

例如：

在解决等腰梯形对角线互相垂直的问题上，往往搭建一个等腰RT△来解决对高线长的求解或等量证明问题。

并可延伸为平移腰，平移底，作高线，旋转等等。

②分析法；

老师可以在例题教学的过程中使用它良好的思想方法：

从问题的结论入手。

如何从问题的结论思考呢？

这就需要“反过来想”和“发散开去想”。

反过来想；

根据题目中涉及的主要概念，从后往前想它的定义是怎样的？

根据题目的条件、结论及其特征回想与它们有关的公式、定理、法则是什么？

发散开去想；

找出与题目很接近的或很相似的原理、方法、结论或命题来，变通使用这些知识看是否能解决问题，特别是对于初中证明较复杂的几何题经常要联想一些“基本图形”、“生活中的图形”。

提高总结阶段；

①解题规律要总结；

例题解答之后，要引导学生反思解题过程，总结解题的经验教训，对一些常用的教学方法，解题策略予以归纳概括，提示学生今后注意运用。

②针对问题，精选练习题；

例如为了引入新课，选编知识衔接题；为了巩固概念，选编基础变式题；为了纠正差错，选编判断选择题；为了拓宽思路，选编多解题等等。

注意避免所谓的“题海战术”；

要认识到“

”。

④肯定学生的成绩，提高学生练习的积极性。

（ⅱ）例题教学的实施准则：

1．注重对基本题型、基本模式的训练；

①培优——变化多，思路活，思维能力增长快；

②强化——重基础，助巩固，书本知识掌握好；

③后30%——量较少，易消化，学习压力轻不少。

2．注重数学本质教学，注意适度的形式化；

①常规例题——形式表达，揭示本质；

②经典例题——自主探索，形成意识；

③Popular例题——体会感受，快乐学习。

注重变式训练、一题多解；

①改变条件——不同的方法，共同的结果，解决多知识点问题；

②改变结论——相同的方法，不同的结果，解决数学严谨性问题；

③改变背景——两个国家，两种制度，相同的数据，不同的认识，

解决思维创新问题，提高实战能力。

  　　4．注重学生的自主探索；

①放开手脚——倡导积极主动、勇于探索的学习方式；

②鼓励革新——只有创造思维的环节，才能培养学生的思维能力；

③头脑竞技——激发学生的创新意识和学习热情；

5．注重师生交流、生生交流；

①立论驳论——讨论中体会数学学习的微妙；

②合作交流——眼观六路，耳听八方，交流中汲取多信息；

③理性对比——形成竞争，在学习目标和情感目标上你追我赶。

　（ⅲ）挖掘课本资源，积累精彩底蕴：

1．“1+n”式的例题教学是对课本资源的优化，凝结着教师的智慧；

例题需要重新整理。

用合理的方式表现出来，必须采取严谨的治学态度。

①符合数学知识的逻辑体系；

②符合学生的生活实际和认知特点；

③教材中的改编例题是合理的优化和重建；

④例题的选择典型、有效，例题的呈现科学而能够引领价值；

⑤一个老师辛苦的结晶，经历实践的检验，更值得保留。

2．例题教学是整体研读教材的产物，要正确把握好知识点之间的联系；

作为一个数学教师，理性地研究教材，充分深入地钻研教材，应该感性地走向学生，以严谨客观的态度去审视例题，把握好“度”的尺寸，做“有的放矢”的准备。

不同版本、不同时期的数学教材，其例题编排的层次和顺序会有所不同，要做到知识体系和原有价值的正确把握。

不盲目闭门造车。

①整体性的研读教材，依据例题逐步分析知识点；

②结合学生现实基础，合理地定位教学目标；

③依据例题呈现方式，分清知识点的类型，选择有效教学方式；

（1）集体的；

（2）个体的；

⑤精研每课的例题、习题，区分每课例题知识点之间的联系；

⑥揣摩例题原有意图、特点和目的，以便采取针对性应对。

3．例题是课本中的设计，它可成为数学学习的“泉眼”；

多数课本例题都设计由生活引入新的学习内容，把丰富的生活素材作为学生的学习资源。

这充分体现了新课程的教学理念：

数学教学重视联系学生熟悉的生活实际，以学生的生活经验支撑数学学习，或通过创设的情境为学生提供活动平台，促进学生的主动探索与学习。

①例题设计呈现生活，让学生感受数学学习的背景；

②例题设计呈现本质，让学生感受数学学习的概念；

③例题设计呈现发展，让学生感受数学思维的变化；

④例题设计呈现活动，让学生感受数学学习的舞台；

⑤例题设计呈现动感，让学生感受数学学习的魅力。

（ⅳ）结束语：

1．“好”例题，当然体现在题目本身的科学性上。

但是更为重要的是不同年代、不同时期的教师在这个问题上的处理。

笔者对于一个“老的”但“实在”的话题做了新的思考：

用“1+n”式的方式作为现在的一个教学参考模式，来进行实践。

希望在瞬息变迁的当代，能够开创自己的一些教学作为。

那么多的教学艺术上的突破、举例，不也就是针对于教师的一个个“例题”吗！

对于我们而言，肯定也会选择那些“以一抵百”的方法。

希望自己能在数学日常的教学中不断提高，摸索出更好、更优的“药方”来。

2．对于一个一线教师而言，例题的处理可能没有海纳百川般的高瞻远瞩；也可能没有大肆渲染的变化必要。

但作为还在每天“传道、授业；上学、求知”的教师、学生而言，面对一轮快过一轮的教材改革、考试改革，我们当然需要一种“新”的、“更优”的教与学的方式。

虽然这是一个老话题，但于“旧人”可反思；于“新人”可传承。

有限的条件中结合时世变化、总结，我们应该做这“简要”的事。

3．教师的对象最终是学生，对于教学的思考不应仅仅停留在教师自身的层面上。

如何应对学生的变化和发展？

如何能更适应学生的思维特点（初中的三年特点鲜明而又变化快）？

如何能针对学生更合理地量体裁衣？

……这些都将是我们接下来可以深究的问题，也许这才是真正的挑战所在。

思考不会戛然而止，教育事业更会流光溢彩！

参考书目：

1、《数学方法论》作者：

郑毓信  广西教育出版社2001.11版

2、《我国基础教育课程改革研究》李建平《教育发展研究》2003

3、《波利亚解题理论》作者：

乔治·波利亚（GeorgePolya,1887—1985）

4、《新课程中教师行为的变化》首都师范大学出版社   傅道春

5、《中共中央国务院关于进一步深化教育改革推进素质教育的意见》周济.2006.11

6、《数学课程标准解读》北京师范大学出版社刘兼孙晓天2006年12月

7、《义务教育课程标准实验教科书》（教学参考书）浙江教育出版社2007年10月