九年级上册数学 旋转几何综合专题练习word版.docx

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九年级上册数学旋转几何综合专题练习word版

九年级上册数学旋转几何综合专题练习（word版

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．

（1）如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：

PC＝PE；

（2）如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题

（2）中的结论是否发生变化？

如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由．

【答案】

（1）见解析；

（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；

（2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；

（3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可；

【详解】

解：

（1）证明：

如图：

∵∠ACB＝∠AEF＝90°，

∴△FCB和△BEF都为直角三角形．

∵点P是BF的中点，

∴CP＝BF，EP＝BF，

∴PC＝PE．

（2）PC＝PE理由如下：

如图2，延长CP，EF交于点H，

∵∠ACB＝∠AEF＝90°，

∴EH//CB，

∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP，

∵点P是BF的中点，

∴PF＝PB，

∴△CBP≌△HFP（AAS），

∴PC＝PH，

∵∠AEF＝90°，

∴在Rt△CEH中，EP＝CH，

∴PC＝PE．

（3）

（2）中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下：

如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，

∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°，

在△DAF和△EAF中，

∴△DAF≌△EAF（AAS），

∴AD＝AE，

在△DAP≌△EAP中，

∴△DAP≌△EAP（SAS），

∴PD＝PF，

∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，

∴FD//BC//PM，

∴，

∵点P是BF的中点，

∴DM＝MC，

又∵PM⊥AC，

∴PC＝PD，

又∵PD＝PE，

∴PC＝PE．

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解本题的关键也是难点．

2．已知如图1，在中，，，点在上，交于，点是的中点．

（1）写出线段与线段的关系并证明；

（2）如图2，将绕点逆时针旋转，其它条件不变，线段与线段的关系是否变化，写出你的结论并证明；

（3）将绕点逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段的范围．

【答案】

（1），，证明见解析；

（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值最小值．

【解析】

【分析】

（1）在Rt△ADF中，可得DE=AE=EF，在Rt△ABF中，可得BE=EF=EA，得证ED=EB；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°；

（2）如下图，先证四边形MFBA是平行四边形，再证△DCB≌△DFM，从而推导出△DMB是等腰直角三角形，最后得出结论；

（3）如下图，当点F在AC上时，CE有最大值；当点F在AC延长线上时，CE有最小值．

【详解】

（1）∵DF⊥AC，点E是AF的中点

∴DE=AE=EF，∠EDF=∠DFE

∵∠ABC=90°，点E是AF的中点

∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF

∴DE=EB

∵AB=BC，

∴∠DAB=45°

∴在四边形ABFD中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°

∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2（∠EFD+∠EFB）

=360°－2×135°=90°

∴DE⊥EB

（2）如下图，延长BE至点M处，使得ME=EB，连接MA、ME、MF、MD、FB、DB，延长MF交CB于点H

∵ME=EB，点E是AF的中点

∴四边形MFBA是平行四边形

∴MF∥AB，MF=AB

∴∠MHB=180°－∠ABC=90°

∵∠DCA=∠FCB=

∴∠DCB=45°+，∠CFH=90°－

∵∠DCF=45°，∠CDF=90°

∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形

∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+

∴∠DCB=∠DFM

∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形

∴DC=DF，BC=AB=MF

∴△DCB≌△DFM（SAS）

∴∠MDF=∠BDC，DB=DM

∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°

∴△DMB是等腰直角三角形

∵点E是MB的中点

∴DE=EB，DE⊥EB

（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：

∵BC=6，∴在等腰直角△ABC中，AC=6

∵CF=3，∴AF=3

∴CE=CF+FE=CF+

当点F在AC延长线上时，CE有最小值，图形如下：

同理，CE=EF－CF

【点睛】

本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM是等腰直角三角形．

3．如图一，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；

（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若，求的值．

（3）如图二，在

（2）的条件下，直线AB上有一点P，BP=2，点E是直线DC上一动点，在BE左侧作矩形BEFG且始终保持，设AB=，试探究点E移动过程中，PF是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）；

（2）；（3）存在，

【解析】

【分析】

（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；

（2）由△BCE∽△BA2D2，推出，可得CE=，由推出，推出A1C=，推出BH=A1C=，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；

（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.

【详解】

解：

（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．

∴AD=HA1=n=1，

在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，

∴BA1=2HA1，

∴∠ABA1=30°，

∴旋转角为30°，

∵BD=，

∴D到点D1所经过路径的长度=；

（2）∵△BCE∽△BA2D2，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴A1C=，

∴BH=A1C=，

∴，

∴m4﹣m2n2=6n4，

∴，

∴（负根已舍去）．

（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF的长度为最小值；

由

（2）可知，，

∵四边形BEFG是矩形，

∴，

∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，

∴∠DFG=∠MFE，

∵DF⊥PF，即∠DFM=90°，

∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，

∴∠FDG=∠FME，

∴△FDG∽△FME，

∴，

∵∠DFM=90°，，

∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，

∴；

在矩形ABCD中，有，

即，则，

∵MN⊥AB，

∴四边形ANMD是矩形，

∴MN=AD=3，

∵∠NPM=∠DMF=30°，

∴PM=2MN=6，

∴NP=，

∴DM=AN=BP=2，

∴，

∴；

【点睛】

本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.

4．综合与探究：

如图1，的直角顶点在坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作轴于点，抛物线经过点，与轴交于点，直线与轴交于点．

（1）求点的坐标及抛物线的表达式；

（2）如图2，已知点是线段上的一个动点，过点作的垂线交抛物线于点（点在第一象限），设点的横坐标为．

①点的纵坐标用含的代数式表示为________；

②如图3，当直线经过点时，求点的坐标，判断四边形的形状并证明结论；

③在②的前提下，连接，点是坐标平面内的点，若以，，为顶点的三角形与全等，请直接写出点的坐标．

【答案】

（1）点的坐标为，；

（2）①；②点F的坐标为，四边形为正方形，证明见解析；③点的坐标为或或．

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件与旋转的性质证明，根据全等三角形的性质得出点C的坐标，结合点E的坐标，根据待定系数法求出抛物线的表达式；

（2）①设直线AC的表达式为，由点A、C的坐标求出直线AC的表达式，进而得解；

②过点作轴于点，过点作轴，垂足为点，的延长线与的延长线交于点，根据等腰三角形三线合一得出，结合①由平行线分线段成比例得出点G的坐标，根据待定系数法求出直线的表达式，结合抛物线的表达式求出点F；利用勾股定理求出，结合可得出结论；

③根据直线AC的表达式求出点H的坐标，设点N坐标为，根据勾股定理分别求出，，，，然后分两种情况考虑：

若△FHC≌△FHN，则FN＝FC，NH＝CH，若△FHC≌△HFN，则FN＝CH，NH＝FC，分别列式求解即可．

【详解】

解：

（1），，

点的坐标为，点的坐标为，

线段绕点顺时针旋转得到线段，

，，

，

在中，，

，

轴于点，

，

．

，

，

，，

，

点的坐标为，

∵抛物线的图象经过点，与轴交于点，

，

解得，，

∴抛物线的表达式为；

（2）①设直线AC的表达式为，

∵直线AC经过点，，

∴，

解得，，即，

∴点的纵坐标用含的代数式表示为：

，

故答案为：

．

②过点作轴于点，

，，

，，

，

，

，

，

，

，，

点为，

设直线的表达式为，将和代入表达式得，，

，即表达式为，

点为直线和抛物线的交点，

得，

，（舍去），

点的坐标为，

过点作轴，垂足为点，的延长线与的延长线交于点，

，，，，

在中和中，根据勾股定理，得，

同理可得，

，

四边形为菱形，

，

菱形为正方形；

③∵直线AC：

与x轴交于点H，

∴，

解得，x＝12，

∴，

∴，，

设点N坐标为，

∴，，

第一种情况：

若△FHC≌△FHN，则FN＝FC，NH＝CH，

∴，

解得，，（即点C），

∴；

第二种情况：

若△FHC≌△HFN，则FN＝CH，NH＝FC，

∴，

解得，，，

∴或，

综上所述，以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等时，点N坐标为或或．

【点睛】

本题是函数与几何的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，全等三角形的判定与性质，菱形与正方形的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，其中对全等三角形存在性的分析，因有一条公共边，可对另外两边进行分类讨论，本题有一定的难度，是中考压轴题．

5．请阅读下列材料：

问题：

如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大