变量的极限.docx
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变量的极限
§2.3变量的极限
为了以后的方便,我们把数列fn,函数fx统称为“变量y”,而把nTXT旳,XTXo统称为“极限过程”,而把在某一极限过程变量y有极限A,统一记作limy=A.
定义变量y在某一极限过程中,如果存在某一正数M,使变量y在某一时刻之后,恒有|yM,则称y在那个时刻之后为有界变量。
(是在某一极限过程意义下)
定理3.1如果在某一极限过程中,变量y有极限,则变量一定是(局部)有界变量证设limy=A,依定义,对任意给定的;0,都存在一个时刻,使得在那个时刻以后,恒有y-A:
:
:
;.现在对确定的;=1,当然有相应的时刻,自此时刻以后,恒有y-A"(;“).
因为|ylW(y-A)A|Ey-AA,所以,如果取定义中的
M-1A,则在此时刻以后,恒有y:
:
:
M.因此,变量y在那个时刻以后是有界变量。
注意:
此定理的逆成立吗?
即有界变量必有极限吗?
答案是否定的,即:
有界变量未必有极限。
例
111如y=sin-,当x-;0时,由于|sin—|乞1,(x0),因此sin—是有界变量,X旦极限不存在。
X
xTx
图2.12
变量极限的性质:
惟一性;局部性;保序性;保号性;四则运算;复合函数的极限。
四则运算:
定理假定在同一极限过程x>x0时,极限limf(x)与limg(x)
IXoXTX0
都存在,则有
1.lim[f(x)-g(x)]=limf(x)-limg(x)
2.
3,
推论
lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)
x/0X「x°
limf(x)若limg(x)=0,贝Slim—=I勺.x—X。
x「x°g(x)limg(x)
X_^0
1两个无穷小量(极限为零的变量)的代数和仍是无穷小量
推论2两个无穷小量的乘积仍是无穷小量)
推论3limcf(x)=climf(x),c为常数)
JXo
^x0-—
(从此可推出:
一个有界变量与一个无穷小的积是一个无穷小。
)
丁f(x)cMu—M£
f(x);:
M,limg(x)=0二limf(x)g(x)=O.(两
^^xo^^x0
边夹)推论4若n为正整数,则limxn=(limx)n以:
.
^x0^x0
如limx4=(-2)4=16,以后还可以证明:
对正整数n,
11111
limxn=(limx)n=x?
.女口limx2=9°=9=3.
x^x0x宾0x^9
例当|a|:
:
:
1时,求
n护a
解;|a|:
:
:
1,liman=0.即当n—•—时,an是一个无穷小量)而|sin斗匸1,即sin斗是一个有界变量,故有limansin斗=0.
aanYa
复合函数的极限
定理:
设(中间变量)uh卩(x),y=f(u)分别在x=x0及u=u0的邻
域内(去掉X°及U0)有定义,若
(1)lim(x)二u0且当xX0的心邻域时:
(x)=U0;
^^x0
(2)limf(u)=A,
uTu°
则复合函数f((X))在X0处有极限A,即limf(「(x))=A.
(要证!
曾(。
))",只需证:
一°,「°,使当
Oc|x-x0£6时,恒有f(®(x))-Ave.)
证vlimf(u)=A「.,尹>0,使当Ocu-uovH时,
uTuo
f(u)-A:
:
;.
又-lim申(x)=u°”;wn>0,MaO,使当Ocx—xo£6时,
X_^o
恒有
恒有
玖X)—u°=u—u°£口.x式x°时e(x)Hu°)二0£u—u°f(「(x))-A=f(u)-A:
:
;,即limf(「(x))=A(证毕)
x■■X0
“无穷小变量”概念)
例1.2.29limu(x)=A,AaO,limv(x)=Bnlim[u(x)]v(X)=AB.
xtxoJXoxtxo
证设y=[u(x)]v(Jev3nu(X)..lim[u(x)严"imev(x)lnu(x)^Xo—X。
limv(x)Inu(x)
二exxoeBInA=AB.利用例1.2.26(p.52),1.2.23
(2)(p.47).
例1.2.30求lim土空辛亟."0"型(设法消零因子x2.)_0X20
例1.2.31求lim1X一15N,n1).型
x0
令n1X-1=u,二X=(1u)n-1.
(分子有理化)+分子分母同除以x2,x==6」=4.
32
例若lim(X1-ax-b)=0,求a,b的值。
P.73.EX.30.
XT=Ox+1
解第一、二项的极限都不存在,故不能用极限运算法则,但
22
x1,(1-a)x-(ab)x(1-b)
ax-b.
x1x1
此为多项式之比,其极限为0,可知应有x2的系数(1—a)等于0,x的系数(ab)亦等于0,即1-a=0,ab0,解出a=1,b1.
例若lim(..ax2bxc-kx-m)=0,(a.0)试求k,m的值,并计算x_.
极限limx(ax2•bx•c-kx-m)的值。
解lim(...ax2・bx・c-kx-m)(因极限=0,.k.0)-:
:
"型
在上述条件下
两个重要极限
sinx
xim。
〒汀
本节主要介绍如下两个重要极限:
lim(1\x=e(
x—;;.:
x'
并介绍极限存在的两个准则
极限存在的准则
定理1(两边夹定理)若存在正数、•,使得当o:
:
:
|x-X0|:
:
:
、:
时,有关系g(x)乞f(X)乞h(x),且ling(x)linh(x)二A,贝S必有limf(x)=A.(书.P.55)
X=xo
定理2(单调有界定理)
(1)单调有界数列必有极限;
(2)若f(x)在Xo的某一侧邻域内单调有界,则当X—•Xo时,f(x)在此侧的单侧极限必存在。
定理3(Heine定理):
0
limf(x)二Au对任何含于U(x0,a)且收敛于x0
X)X0
的数列{xn},都有limf(xn)=A.其中a>0.
n—JpC
定理4(Cauchy准则):
limf(x)=A=于呂a0,日6a0,当O<|x"-X0且Ocx"-x()|v6时,有
X―rx0
f(x)-f(xj£&
例1证明limsinx=0.
X—
证当x在0附近,即当|x|:
:
:
?
时,有关系0_|sinx|_|x|,而limO=0;lim|x|=0,由两边夹定理可知,lim|sinx|=O,从而000
limsinx=0.
x「0
例2证明limcosx=1.
^^0
证当x在0附近,即当时,由半角公式知
两边夹定理类似数列极限
lim-—y=limn―=0;lim=佃丄=0.由两边夹定理可知nr'(2n)2n「.「4n2n_,:
.:
n2
111
lim[二2討=0
n—"n(n1)(2n)
1
(复习2)求lim(12n-3n)n.
n—^pd
1111
解•/⑶卩:
:
:
(12n-3n)n:
:
:
(33n)n-3n3,而
111
lim(3n)n=lim3=3;且lim3n3=3lim3n=31-3.故知
n:
n:
n:
n—):
:
11
lim(12n3n)n=3.容易证明:
lim(12n3n...Knf=k;
n■n
1
若a0,b0,c0=]im:
(anbncn)n=max{a,b,c}
(练习题:
若x^0,求悝畀+xn+(才)n.提示:
将0,「:
分成四个区间X,[0,1),[1,、.2)122),[2,二)来讨论)
(复习3)给定:
10/0,令〉-讨宀二),证明]叩一存在,
并求其值
证g=2⑺二)-22「—.有下界
故有极限。
将:
「=2(“J两边取极限'可得叮…
两个重要极限
sinx
lim
-1
x
重要极限一:
(x的单位为弧度)
即可。
为此,作一个半径为1的单位圆,比较三角形OPR,扇形OQR和三角形OQS三者的面积,显然有1.1
cosxsinxx11tanx
222即Icosxsinx:
:
-
22
遍乘以正数2
sinx
limcosx=lim—-=1.故由两边夹定理知
X「oX7cosx
lim亠=1,其倒数极限亦等于1,即
x0sinx
limsinx=1(注意,此结论是在弧度制下)。
F面介绍第二个重要极限重要极限二:
已知蚁十1)—要证酣十丁十("仟"型)
x
证先证Jim(1
=e当x1,-
xLx_〔x「1,—
「(UP
=lim—
…:
11
1VIxl
xlim:
(1护
lim(1
X.
X"
由两边夹准则,有
lim(1
X・
_)x=e.
x
只需作变换U(x・1),=x=-(1u),当X>
—口时,U_.•“,便可
证出lim(1」)xlim(1l)u(1e.=
XUT耘uu
X
若令二J
x
lim(1」)x=e.
Jx
则有如下重要极限
i
lim(1:
:
;■;):
=e.
■-.0
利用复合函是极限性质,
若在X0的空心邻域(xp^0,lim(X^0,则有
sin(x)
(1)lim心'、,=1;
(2)
申(X)
1
lim[1(x)](x)二e.
X「Xo
求lim电.
xTx
tanxsinxlimlim
x—0xx)0x
求lim—箋.
x0X
1sinx1
limlim—cosxx刃xx0cosx
=11=1.
解利用倍角公式沁十間号可知
2X2sin—
1-cosx2
lim2lim厂厶
xTxx-0x
.X
sin—
=lim-
(2)2
xQ2X
2
.X
sin
T
X
2
(即
l-cosx/x2,
2
当XT0).
例10求lim沁沁
xT0
解limsin(sinX)
x^0
X
sin(sinx)二lim
x—0sinx
処=lim
xx—0
sin(sinx)
sinx
例11求limJg.(可用
x-0xsinx
1-cosx〜
解原式
2sin2仝
lim
x,2前3彳
222
lim
x—0x
cos—
*例12求limansin'(a=0,t为常数).
nYa
解若t=0,sinA=0,.ansin2=0,故limansin£=0.aa“护a
若t=0,分三种情况讨论:
综合以上讨论,有如下结论:
0,
sin飞=fsint,a
J,
作业p.721,2班:
27(1,4),28(1,4,7,10,13)
3班:
27(2,5),28(2,5,8,11,14)
4班:
27(3,5),28(3,6,9,12,15)
例13
求lim』^
x>G(°)2ji
2sinx二2sin(二-x)原式工limr2lim
—兀兀-xJ兀(兀+x)(兀一x)
Rot+Pa-P
(cos:
-cos--2sinsin)
22
2sin2xsinxsin2x
=4lim
^_0
原式工lim4lim.=41=4
2x
txsinx
例15求limxsin1.
tx
时)。
例16求』mA(1•十)mt.其中r0,t,A)皆为常数。
解令n』,当m—「心,则n—;":
所以
r
丿叫汕1护訓从护讥职心*)丁*rt.
17
求lim(12)x
x
x
1、22
=lim
(1)
X,x
I"622
=lim[
(1)2]=e2
X,x
18
求lim(:
)x
j:
x2-1
xx1x1x
门)vm(门)xim(R)
1
lim(1」)x
x_,:
:
:
x
19
求li
例20
例21求
呵(1匚
3secx
cosx)
("1:
:
"型)
cosx=:
,贝ylim.(1Cosx)3secx
=lim(1:
)」lim[(1:
)]3
r,r0r.r0
求lim(12x)「二
x_
—2+
lim(12x)2x
2x^0
=lim[(12x)2x]2
2x)0
■2^+2x^e2
1]叫(1-sinx)x.
=lim[1(-sinx)]
-sinx—0
1sinx
(•-3)
-sinxx
例22求极限lim(1k)cxbx护x
解当k=0,原式=lim1x^jpc
x—]:
:
=[lim(V)'f=e3.
r.0
=lim[(12x)2x]2(12x)
2x]0
1二e2
1sinx
lim3133
lim(1(—sinx))』inx]x0x}=(e\=e
-sinx)0
(b,c,k为常数)
cxb=lim1=1
X—):
:
(1).
当k=0,令kJ,x二ky,
xy
当x—:
时,
yr:
:
因此,原式=lim(1^)ckyb
yim」(1LT
Pm。
y)y]ckymdt)b=
y—》:
:
ckck
=e1=e
■'e0=1,所以
(1)可以合并到
(2),
lim(1k)cxb=eck.(不论k=0或k=0)
X-x
*例23
limTlimy(书p.57例1.2.37)
X卫X令ax」今y)0loga(1y)
m0
loga(1y)y
Ina.logae
xxx1
例24计算lim(ab-)^,
a0,b0,c0.
(
xx
abc
x
xxxa+b+c迥"(
axbxcxd
-1)]^^
3x
1
(InaTnbTnc)
二e3
1
In(abc)
=e3
1
ln(abc)3
二e
3=X
例25
计算
lim(沁严
x—sina
sinasinx-sina1
lim[1亠-原式x>asina
]sinx-sina
x-asina(:
心)
sinx-sina
因为
lim(sinx~sina)
XTx-a
=lim
x=a
xa.x-a
2cossin
22
x-a
=lim
x)a
xa
cos—
2
x-a
.X—asin
—二cosa所以,由
(…)知:
原式二
cosa
e
sina
cota
.(a=k二,k=0,工1,二2)
书p.57例35lim
Xr0
cosx-1
Xim°(sin2xJcosx+1
1-cosx=啊[(
x2
'、cosX-3cosX
・2
sin
lim0(
x■-0
一cosx-1
・2
sin
1-cosx
.2
sinx
sin2x)(.cos1
1+^cosx+勺cos2x
+
1十cosx十务cos2X
1-3cosX)
sin2x
书p.57例38lim
XJ
(ix)7
X
e^1X)1
X
e」nflX)1
•IIn(1x)
JIn(1x)
X
书p.58例39lim1-(響)[=o.(lHospitalrule洛必达法则)
XTx
cos-1
11:
;sinx
(cosxsinxin2x_[(1.cos~1)cos」](1sinx)sin(1sinx丿_[(1sinx)]
无穷小量与无穷大量
两个定义
定义1如果lim〉(x)=0,则称变量:
(x)当x>xo时,是一个无穷X^Xo
小量。
类似,如果li^(x)=0,a(x)也称为一个无穷小量。
同样,若limf(n)=0,贝卩f(n)也称为一个无穷小量。
n—
为简化,今后对极限过程X>x0常常可以理解为也包含X>
的情况。
例1limX2=0,.•.当X>0时,厂X2是一个无穷小量。
x—:
0
例2=lim1=0"当xt於时,y=」是一个无穷小量。
xYxX
例3limsinx=0,当x-0时,y=sinx是一个无穷小量。
xT
例4lim^=0r当n…:
时,y号是一个无穷小量。
定义2如果当X-;X0时,变量y二f(x)的绝对值无限增大,则
称f(x)当x-X。
时为无穷大量,记为limf(x)二;:
(也包含二;,X—iK0
或--。
(;定义2中的f(x)的绝对值无限增大,.f(x)没有固定的常数A作为它的变化趋势,故f(x)没有极限,或说limxf(x)不存在)。
例5lim1当x_.2时,是一个无穷大量。
显然
xTx—2x—2
下列关系成立:
如果f(x)=0,而limf(x)=0,贝Slim1;
Xf^xof(x)
A
如果limf(x)二:
:
,则lim-0.
^^x0f(x)
例如,当x—」-■时,ex
—讼ex
而4是无穷大量(即lim1二:
:
)。
xxqx
二.函数(数列)极限的无穷小量表示
是无穷大量,(:
』m_e-■:
:
),而e»二A是无穷小量(即lim_4r=0)。
又如,当x>0时,x3是无穷小量,
定理4.1limf(x)二A=f(x)=A亠:
其中lim:
=0.
XfXf
证必要性(=)Timf(x)二A,.-;•0,_I\0,使得当0:
:
:
|x-x01<-
X—
时,恒有|f(x)-A|:
:
:
;.
此表明函数(f(x)-A)是一个无穷小量(=lim(f(x)-A)=0),记
为:
(x),即卩f(x)-A=:
(x),因此f(x)=A:
(x),其中〉(x)为无穷
小量。
充分性(=)设f(X)A:
•,其中A是常数,(x)是无穷小量,即lim(x)=0,由极限定义:
*>0,M>0,使当
X—^0
0<|x-Xc|£6时,有,即|f(x)-A|<—此表明limf(x)=A.
X—^x0
注对X」:
的情形以及对数列的情形,同样可证。
即有
”m:
:
yn=A=yn=A:
lim:
n=0.limf(x)二A=f(x)二A匕(x),其中lim:
(x)=0.n,x,x—,
三•无穷小量的性质
11
例6limx2sin0(|sin|_1)
xx
*例7求limdx'x—1+x+1.
jqJx2+sinx
解分子分母同除以x,原式化为
推论1.常量与无穷小量的乘积仍是一个无穷小量推论2.有限个无穷小量的乘积仍是一个无穷小量。
推论3.无穷小量除以极限不为零的变量仍是一个无穷小量证设当x>xo时,u(x)为无穷小量,v(x)的极限为A,且A",不妨设
A>0,由于xlimxv(x)=A0,所以,对于三o,存在一。
,
0
益IAA3A
使得当0<6,时有v(x)—A<^,即0<_2212d
亦即亦气&气.因此——在0£x-时是有界变量,再
v(x)
由定理4.2便知命题成立.
四.无穷小量的阶
定义设是同一极限过程中的两个无穷小量。
如果lim0,则称1是较:
•高阶无穷小,记作1=0(〉).
a
如果lim二乂(c=0),则称[与〉是同阶无穷小。
特别是,
CL
如果lim—1则称[与:
•是等阶无穷小,记作:
■~■.
a
如果佃上=旳(即|计當=0),则称B是比a较低阶无穷小量。
例
2
例12求lim2n一n*3
解先将分子分母同除以n2,得
4*21
4x32x2_1x7
3x4+1
lim
1
3+-r
x
=0.
xim(xpm00-0
1|呼+斗)x「x
从上面的例题可以得出以下结论:
2
以后做题时可直接利用上述结论,如lim丝笃=-2.
^^2+4x—x
F面的例题是利用“消去零因式”,或先“分子有理化”以后
解因为当x》一1时,原式
1Q
f(x)=(-—)出现“匚―,”型,两项均不存在极限,故不
X+1X+1
2
原式二lim(x_x⑴-3
能直接使用极限运算法则。
需先通分母:
2小
x_x_2
=lim厂
x>J(x1)(x-x1)
xjf(消去零因式(x1))
(消去零因式)
x_2
—lim
Xw(X-2)(-x2)(x-1)
(在x>4的过程中,
=lim1
x4(-x'2)(x-1)
小-2=0,故可以同除,从而可以消去)
1_1(22)(4-1)~12
2x43x3
3
x
3
解原式=limx(2x33)(消去零因子x3)=lim(2x3)-3.xTx7
例19求极限lim1x一1—x.(“0”型)Tx0
解原式jim(1x-J-xIxJ-x)
xTX(£1+X+P