最新人教版初二数学八年级上册 第十三章轴对称 全单元教案.docx
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最新人教版初二数学八年级上册第十三章轴对称全单元教案
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用;
2.能够利用尺规过直线外一点作该直线的垂线.
【过程与方法】
经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
【情感、态度与价值观】
在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立学习的自信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用.
【教学难点】
线段的垂直平分线判定定理的证明.
◇教学过程◇
一、情境导入
甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗?
二、合作探究
探究点1 线段垂直平分线的性质
典例1 如图所示,△ABC中,AC=5,AB=6,BC=9,AB的垂直平分线交BC于点D,则△ACD的周长是（ ）
A.11B.14
C.15D.20
[解析] ∵MN是AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴△ACD的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=14.
[答案] B
探究点2 过一点作已知直线的垂线
典例2
已知直线上一点P,过点P作直线的垂线.
[解析] 如图,以点P为圆心,合适长为半径,画弧与直线交于两点,分别以这两点为圆心,同样长度为半径,画弧,交于点C,过点C,P做直线即可.
探究点3 垂直平分线的应用
典例3
如图,兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距离都相等,则猎狗应蹲守在（ ）
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三个角的角平分线的交点
C.三角形三条高的交点
D.三角形三条中线的交点
[解析] 猎狗到△ABC三个顶点的距离相等,则猎狗应蹲守在△ABC的三条垂直平分线的交点.
[答案] A
三、板书设计
线段的垂直平分线
垂直平分线
◇教学反思◇
本节是线段的垂直平分线的性质的教学,在教学中要善于引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,先得出猜想性质以及判定,然后再进行证明,要求学生掌握证明的基本要求和方法,注意数学思想方法的强化和渗透,从集合的观点理解线段的垂直平分线.
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.1 轴对称
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.通过丰富的生活实例能够识别简单的轴对称图形、认识轴对称及其对称轴,并能作出轴对称图形和成轴对称的图形的对称轴;
2.说出轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别与联系.
【过程与方法】
在丰富的现实情境中,经历观察生活中的轴对称现象,探索轴对称现象共同特征等活动,进一步发展空间观念.
【情感、态度与价值观】
欣赏现实生活中的轴对称图形,体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的丰富文化价值.
◇教学重难点◇
【教学重点】
轴对称图形以及轴对称的概念.
【教学难点】
能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们生活在一个充满对称的世界中,许多建筑物都设计成对称形,艺术作品的创作往往也从对称角度考虑,自然界的许多动植物也按对称形生长,中国的方块字中有些也具有对称性,对称给我们带来多少美的感受!
观察下列图形有何特点?
二、合作探究
探究点1 轴对称图形
典例1 下列电脑桌面快捷方式的图片中,是轴对称图形的是（ ）
[解析] 根据轴对称图形的概念解答.A,B,C不是轴对称图形;D是轴对称图形.
[答案] D
变式训练 以下图形中,不是轴对称图形的是（ ）
[答案] D
探究点2 轴对称
典例2 将一张长方形的纸片对折,然后用笔尖在上面扎出字母“B”,再把它展开铺平后,你可以看到的图形是（ ）
[解析] 根据生活中的轴对称现象,结合题意,沿折线折叠后两部分能够重合的即可,主要考查学生的想象力,也可折叠一下做出选择.
[答案] C
探究点3 轴对称的性质
典例3
如图,△ABC和△A'B'C'关于直线l对称,下列结论中正确的有（ ）
①△ABC≌△A'B'C';②∠BAC=∠B'A'C';③直线l垂直平分CC';④直线BC和B'C'的交点不一定在直线l上.
A.4个B.3个C.2个D.1个
[解析] 由轴对称的性质可知①②③正确,直线BC和B'C'的交点一定在直线l上,故④错误.
[答案] B
轴对称的性质:
①成轴对称的两个图形是全等形;②对称轴是对应点连线的垂直平分线;③对应线段或者平行,或者重合,或者相交.如果相交,那么交点一定在对称轴上,若重合则重合在对称轴上.
变式训练
如图,正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为（ ）
A.4cm2B.8cm2
C.12cm2D.16cm2
[答案] B
探究点4 镜面对称
典例4
室内墙壁上挂一平面镜,小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示,则这时的实际时间应是（ ）
A.3:
40B.8:
20C.3:
20D.4:
20
[解析] 根据镜面对称的性质,在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒,且关于镜面对称,分析并作答.
[答案] A
变式训练 一辆汽车的牌号在水中的倒影如图所示,则这辆汽车的牌号应为（ ）
A.W17609B.W17906
C.M17609D.M17906
[答案] B
三、板书设计
轴对称
轴对称
◇教学反思◇
本节的内容是轴对称图形以及轴对称,从学生感兴趣的生活中的图形入手,让学生自己发现问题、提出问题,探讨轴对称图形以及轴对称的性质特点,体验探索成功的快乐;通过动手操作,小组讨论来解决自己提出的问题;通过有层次的练习,提高学生解决问题的能力,巩固所学知识.
第2课时 作线段的垂直平分线
◇教学目标◇
【知识与技能】
能够作出轴对称图形以及轴对称的对称轴,明确对称轴是直线.
【过程与方法】
1.经历探索、猜测、动手操作的过程,进一步发展学生的动手操作能力;
2.体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神.
【情感、态度与价值观】
通过积极参与数学学习活动,在数学活动中获得成功的体验,建立学习的自信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
画轴对称图形的对称轴.
【教学难点】
作轴对称图形.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们知道某些图形是轴对称图形,你能想出除折叠外其他画出对称轴的方法吗?
二、合作探究
探究点1 垂直平分线的尺规作图
典例1 如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是（ ）
A.∠A的平分线B.AC边的中线
C.BC边的高线D.AB边的垂直平分线
[解析] 分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则DA=DB,EA=EB,所以点D,E在线段AB的垂直平分线上.
[答案] D
变式训练 作已知点关于某直线的对称点的第一步是（ ）
A.过已知点作一条直线与已知直线相交
B.过已知点作一条直线与已知直线垂直
C.过已知点作一条直线与已知直线平行
D.不确定
[答案] B
探究点2 画对称轴
典例2 用刻度尺分别画下列图形的对称轴,可以不用刻度尺上的刻度画的是（ ）
A.①②③④B.②③
C.③④D.①②所有
[解析] ①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴.
[答案] A
变式训练 下列轴对称图形中,对称轴条数是四条的图形是（ ）
[答案] A
三、板书设计
作线段的垂直平分线
轴对称图形
◇教学反思◇
本节的内容是画轴对称图形的对称轴,在设计上可以通过给出轴对称图形让学生画对称轴的方式,让学生通过小组合作交流,探究、讨论,归纳出画对称轴的方法,体现学生自主学习和合作交流的学习方式,空间想象能力得到加强,创新意识得到培养,并且体验到成功的快乐.
13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
◇教学目标◇
【知识与技能】
能画出简单平面图形作轴对称之后的图形,了解画一般轴对称图形的方法.
【过程与方法】
让每个学生在生动具体的问题情境中参与数学活动,通过积极主动的探索,加深自己的理解和认识.
【情感、态度与价值观】
让学生体验到成功的喜悦,树立自信心,体验合作交流的重要性,感受数学美,明白数学来源于生活又服务于生活的道理.
◇教学重难点◇
【教学重点】
画轴对称图形.
【教学难点】
掌握画一般轴对称图形的方法.
◇教学过程◇
一、情境导入
通过折叠的方式我们可以画出轴对称以及轴对称图形的另一半,根据轴对称的性质不折叠你能画出另一半吗?
二、合作探究
探究点1 已知图形与对称轴画出成轴对称的另一半图形
典例1 如图（左图）,一轴对称图形画出了它的一半,请你以点画线为对称轴画出它的另一半.
[解析] 找到关键的顶点,分别向轴引垂线,并延长找到对应点,顺次连接,如右图所示.
作简单平面图形轴对称后的图形,其依据是轴对称的性质.基本作法:
①先确定图形的关键点;②利用轴对称性质作出关键点的对称点;③按原图形中的方式顺次连接对称点.探究点2 作成轴对称的图形
典例2 下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形,其中正确的是（ ）
[解析] 由轴对称图形的定义可知,成轴对称图形对应点的连线与对称轴直线垂直,且点到直线等距,可排除A,C,D.
[答案] B
三、板书设计
画轴对称图形
画轴对称图形
◇教学反思◇
本节的内容是画轴对称图形,重点要求学生理解轴对称的性质,根据性质得到画法.学生对保留作图痕迹理解不到位,部分学生是把对称图形做完后再来补充垂线,这样的作图不科学,要在今后作图讲解时多强调.
第2课时 坐标平面中的轴对称
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.探索平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称点的坐标的规律,并能运用这一规律写出平面直角坐标系中的点关于x轴、y轴对称的点的坐标;
2.能利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形.
【过程与方法】
1.经历轴对称变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质的定义;
2.结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律.
【情感、态度与价值观】
用轴对称变换的方式去认识和构建几个图形,发展形象思维,并尝试用轴对称变换去从事推理活动.
◇教学重难点◇
【教学重点】
用坐标表示轴对称.
【教学难点】
利用转化的思想,确定能代表轴对称图形的关键点.
◇教学过程◇
一、情境导入
（1）观察上图中两个圆脸有什么关系?
（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4,3）,左眼的坐标为（2,3）,嘴角两个端点,右端点的坐标为（4,1）,左端点的坐标为（2,1）.你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼,右眼及嘴角两端点的坐标吗?
二、合作探究
探究点1 关于坐标轴对称的点的坐标特点
典例1 点A（3,-2）关于x轴对称的点的坐标是 .
[解析] 平面直角坐标系中,两点关于横轴对称时,横坐标相同,纵坐标互为相反数.
[答案] （3,2）
需要记忆几个关于特殊直线对称的规律:
对
称
性
关于原点对称
（-a,-b）
关于x轴对称的坐标
（a,-b）
关于y轴对称的坐标
（-a,b）
关于x=a对称
（2a-x,y）
关于y=b对称
（x,2b-y）
变式训练 已知点P（a,3）和点Q（4,b）关于y轴对称,则（a+b）2018的值（ ）
A.1B.-1C.72018D.-72018
[答案] A
探究点2 坐标系中的轴对称
典例2
如图,在平面直角坐标系xOy中,A（1,2）,B（3,1）,C（-2,-1）.
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1;
（2）写出点A1,B1,C1的坐标（直接写答案）.A1 ,B1 ,C1 ;
（3）求△ABC的面积.
[解析]
（1）如图所示.
（2）A1（-1,2）,B1（-3,1）,C1（2,-1）.
（3）△ABC的面积=3×5-×3×3-×2×1-×5×2=.
【技巧点拨】坐标系中的轴对称图形,关键是确定特殊点的坐标,求三角形的面积,应注意方法,在计算不规则图形的面积时,可以利用分割与补图的方法,在网格中可以把三角形补成长方形.
变式训练
小莹和博士下棋,小莹执圆子,博士执方子.如图,棋盘中心方子的位置用（-1,0）表示,右下角方子的位置用（0,-1）表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是（ ）
A.（-2,1）B.（-1,1）
C.（1,-2）D.（-1,-2）
[答案] B
探究点3 折纸问题
典例3 把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③,再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔,则重新展开后得到的图形是（ ）
[解析] 由图③折叠的对称性可知,在图②中的图形应该是三角形小孔一个向左,一个向右是对称分布;由图②折叠的对称性可知,在图①中的图形应该是图②中的图形对称分布,故C正确.
[答案] C
变式训练 如图,将一张正方形纸片按图1,图2所示方法折叠,得到图3,再将图3按虚线剪裁得到图4,将图4展开后得到的图案是（ ）
[答案] B
三、板书设计
坐标系中的轴对称
坐标系中的轴对称
◇教学反思◇
本节是平面直角坐标系中的轴对称,关键是通过探索、归纳关于坐标轴对称的点的坐标的特点,并记忆应用解决问题,内容比较简单,学生在记忆时容易混淆致错,应引起足够的重视,关于坐标系中的轴对称图形主要是寻找关键点的对称点,在教学中应通过练习让学生熟练掌握.
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握等腰三角形的性质,会运用性质进行证明和计算.
【过程与方法】
经历观察实验、猜想证明,发展合情推理能力和演绎推理能力.
【情感、态度与价值观】
通过同学间的合作与交流,体会在解决问题过程中与他人合作的益处,数学知识在生活中的用途.
◇教学重难点◇
【教学重点】
等腰三角形性质的发现、证明及应用.
【教学难点】
等腰三角形的性质三线合一的发现、证明及应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们知道有两边相等的三角形叫等腰三角形,请同学们按下面的要求操作,如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,然后沿着虚线剪开,再把它展开,得到一个等腰三角形,通过折叠你发现了等腰三角形的那些性质?
二、合作探究
探究点1 等腰三角形的性质
典例1 等腰三角形的一个内角是50°,则另外两个角的度数分别是（ ）
A.65°,65°B.50°,80°
C.65°,65°或50°,80°D.50°,50°
[解析] 由于50°角可能是顶角,也可能是底角,因此要分类讨论.当50°是底角时,顶角为180°-50°×2=80°,当50°是顶角时,底角为（180°-50°）÷2=65°.
[答案] C
等腰三角形两底角相等,内角和为180°,只要知道一个角,就可以求其他的两个角的度数,顶角的范围是0°<顶角<180°,底角的范围0°<底角<90°,当给的角是锐角时,应分两种情况讨论.这种问题不要漏解.
探究点2 等腰三角形的两边相等
典例2 等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰长为（ ）
A.3cmB.6cm
C.3cm或6cmD.8cm
[解析] 当3cm是底时,则腰长是（15-3）÷2=6（cm）,此时能够组成三角形;当3cm是腰时,则底是15-3×2=9（cm）,此时3+3<9,不能组成三角形,应舍去.
[答案] B
探究点3 等腰三角形性质的应用
典例3 如图,已知△ABC中,AB=AC,BE=CD,BD=CF,求∠EDF.
[解析] ∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵BD=CF,BE=CD,∴△BDE≌△CFD（SAS）,
∴∠BDE=∠CFD,∠EDF=180°-（∠BDE+∠CDF）=180°-（∠CFD+∠CDF）=180°-（180°-∠C）=∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A+2∠EDF=180°,
∴∠EDF=90°-∠A.
变式训练
如下图所示,D为BC上一点,且AB=AC=BD,则图中∠1与∠2的关系是（ ）
A.∠1=2∠2
B.∠1+∠2=180°
C.∠1+3∠2=180°
D.3∠1-∠2=180°
[答案] D
三、板书设计
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质
◇教学反思◇
本节课的是等腰三角形的性质,设计上让学生从动手实验入手,发现、猜想、证明、探究等腰三角形的性质,并逐步懂得联系生活实际.个别同学会对等边对等角以及“三线合一”的性质理解不透,应用的不是很熟练,仍然忽略两种情况的存在,还需要多尝试练习.
第2课时 等腰三角形的判定
◇教学目标◇
【知识与技能】
会证明等腰三角形的判定定理,解决简单问题.
【过程与方法】
发展学生的归纳猜想能力,提高学生证明文字命题的能力,培养举一反三、灵活变换的能力.
【情感、态度与价值观】
体会数学源于实际,运用于实际的应用价值,领悟数学中的转化思想,欣赏数学的几何美、对称美.
◇教学重难点◇
【教学重点】
等腰三角形的判定定理及应用.
【教学难点】
等腰三角形的判定与性质的区别.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们学习了等腰三角形的性质,同样的需要继续学习它的判定,它是否与平行线的性质和判定一样,结论和题设互换呢?
猜想我们可以怎样判定一个三角形是等腰三角形?
二、合作探究
探究点1 等角对等边
典例1 下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A.a=3,b=3,c=4
B.a∶b∶c=2∶3∶4
C.∠B=50°,∠C=80°
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
[解析] 由等腰三角形的性质易知A,D是等腰三角形;C项中由内角和为180°可得∠A=180°-（∠B+∠C）=50°=∠B,所以C也是等腰三角形;B项中三边各不相等,所以不是等腰三角形.
[答案] B
探究点2 网格中的等腰三角形
典例2 如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1.已知A,B是两格点,若△ABC为等腰三角形,且S△ABC=1.5,则满足条件的格点C有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
[解析] 如下图:
分情况讨论.
①AB为等腰△ABC底边时,符合△ABC为等腰三角形的C点有4个;②AB为等腰△ABC其中的一条腰时,符合△ABC为等腰三角形的C点有4个.因为S△ABC=1.5,所以满足条件的格点C只有两个,如图中实心的点.
[答案] B
探究点3 等腰三角形的判定有关证明
典例3 如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE∥AC.求证:
△BDE是等腰三角形.
[解析] ∵DE∥AC,
∴∠1=∠3,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∵AD⊥BD,
∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,
∴∠B=∠BDE,
∴△BDE是等腰三角形.
三、板书设计
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
◇教学反思◇
本节是等腰三角形的判定,在探索等腰三角形的判定定理时,首先要求学生写出已知和求证,独立思考后再在小组内讨论,最后与课本规范的证明过程对比.这种学生自主学习的形式代替老师的讲解,能使学生的印象更加深刻.
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质和判定
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.探索等边三角形的性质和判定;
2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明.
【过程与方法】
经历用数学思想和方法研究数学问题.
【情感、态度与价值观】
积极参与数学学习活动,增强对数学的好奇心和求知欲.
◇教学重难点◇
【教学重点】
等边三角形的概念、性质和判定.
【教学难点】
等边三角形判定定理的探究与证明,并灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们知道底边和腰相等的等腰三角形是等边三角形,那么等边三角形除了具有等腰三角形的性质外,还有哪些特殊的性质呢?
二、合作探究
探究点1 等边三角形的性质
典例1 如图,等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,求∠APE的度数.
[解析] ∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABD=∠C,AB=BC,
在△ABD与△BCE中,
∴△ABD≌△BCE（SAS）,
∴∠BAD=∠CBE,
∵∠ABE+∠EBC=60°,
∴∠ABE+∠BAD=60°,
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°,
∴∠APE=60°.
探究点2 等边三角形的判定
典例2 下列关于等边三角形的描述错误的是（ ）
A.三边相等的三角形是等边三角形
B.三个角相等的三角形是等边三角形
C.有一个角是60°的三角形是等边三角形
D.有两个角是60°的三角形是等边三角形
[解析] 等边三角形中,各边都相等,故A正确;三个角相等的三角形是等边三角形,故B正确;有一个角为60°的等腰三角形才是等边三角形,故C错误;有两个角是60°的三角形是等边三角形,故D正确.
[答案] C
探究点3 等边三角形的相关计算与证明
典例3 如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,AD=BD,E为DC中点.
（1）求∠CBD的度数.
（2）△BDE是等边三角形吗?
为什么?
[解析]
（1）∵AB=BC,∠ABC=120°,
∴∠A=∠C=30°,
∵AD=BD,∴∠A=∠ABD=30°,
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=90°.
（2）△BDE是等边三角形.
∵∠CBD=90°,∠C=30°,
∴∠BDC=60°,
又∵E为DC中点,∴BE=ED,
∴△BDE是等边三角形.
三、板书设计
等边三角形
等边三角形
◇教学反思◇
本节课主要引导学生明确等边三角形是特殊的等腰三角形,满足等腰三角形的所有性质,让学生在这个探究过程中,自主探索、合作交流,以达到帮助学生从感性认识发展到理性思考,促使学生逐渐形成方法,形成技能.
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握有一个角为30°的直角三角形的性质并简单应用.
【过程与方法】
经历“探索──发现──猜想──证明”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.
【情感、态度与价值观】
体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.
◇教学重难点◇
【教学重点】
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
【教学难点】
含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
◇教学过程◇
一、情境导入
用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?
能拼出一个等边三角形吗?
说说你的理由.
由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
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