电磁场与电磁波杨儒贵第二版课后答案1.docx
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电磁场与电磁波杨儒贵第二版课后答案1
第一章矢量分析
重点和难点
关于矢量的定义、运算规则等容可让读者自学。
应着重讲解梯度、散度、旋度的物理概念和数学表示，以及格林定理和亥姆霍兹定理。
至于正交曲面坐标系一节可以略去。
考虑到高年级同学已学过物理学，讲解梯度、散度和旋度时，应结合电学中的电位、积分形式的高斯定律以及积分形式的安培环路定律等容，阐述梯度、散度和旋度的物理概念。
详细的数学推演可以从简，仅给出直角坐标系中的表达式即可。
讲解无散场和无旋场时，也应以电学中介绍的静电场和恒定磁场的基本特性为例。
至于格林定理，证明可免，仅给出公式即可，但应介绍格林定理的用途。
前已指出，该教材的特色之一是以亥姆霍兹定理为依据逐一介绍电磁场，因此该定理应着重介绍。
但是由于证明过程较繁，还要涉及函数，如果学时有限可以略去。
由于亥姆霍兹定理严格地定量描述了自由空间中矢量场与其散度和旋度之间的关系，因此应该着重说明散度和旋度是产生矢量场的源，而且也是惟一的两个源。
所以，散度和旋度是研究矢量场的首要问题。
此外，还应强调自由空间可以存在无散场或无旋场，但是不可能存在既无散又无旋的矢量场。
这种既无散又无旋的矢量场只能存在于局部的无源区中。
重要公式
直角坐标系中的矢量表示：
AAxe*AyeyA^
A
B
AxBx
AyBy
AzBz
A
B
|A||B|cos
ex
eyez
A
B
Ax
AyAz
Bx
ByBz
A
B
ez|A||B|sin
矢量的标积：
代数定义：
几何定义:
矢量的矢积：
代数定义：
几何定义:
标量场的梯度：
ex
ey
ez
x
y
z
矢量场的散度：
A-
Ax
Ay
Az
x
y
z
高斯定理：
AdVg
A
dS
V
S
ex
ey
ez
矢量场的旋度：
A
—
—
—
x
y
z
Ax
Ay
Az
斯托克斯定理：
（A）dS■:
Adl
Sl
无散场：
（A）
0；
无旋场：
（）
0
格林定理：
第一和第二标量
:
格林定理：
v（
2）dV■S（）dS
（22）dV：
：
dS
VS
第一和第二矢量格林定理：
v[（
P）（Q）
P
Q]dV
。
PQdS
S
v【Q（
P）
P（
Q]dV<
）S[PQQP]dS
亥姆霍
兹定理：
F（r）
（r）
A（r），式中
（r）
1
F（r）dV
A（r）
1F（r）dV
4Vr
r
4Vrr
三种坐标系中矢量表示式之间的转换关系:
Ar
cos
sin
0
Ax
A
sin
cos
0
Ay
Az
0
0
1
Az
Ar
sin
cos
sin
sin
cos
Ax
A
cos
cos
cos
sin
sin
Ay
A
sin
cos
0
Az
Ar
sin
0
cos
Ar
A
cos
0
sin
A
A
0
1
0
Az
题
解
第一
'早
题
1-1
已知三
个矢
量
分
别为
为
A
ex2e
y3ez
|A|,
|B|,|C|;②单位矢量ea,
eb
ec
:
③A
B:
④
A
及（AB）C
解
B3exey2ez；C2exez。
试求①
B:
⑤（AB）C及（AC）B；®（AC）B
解①A%；AxaA2V'122232yF\4
BB；B；V321222v'14
ea
eb
ec
1-2已知
B
B「
cy
A
.14
B
.14
C
.5
c；22
1
ex
•14
3ex
14
o2
2ey
ey
2exez
3ez
2ez
ex
ey
ez
ex
eyez
Ax
Ay
Az
1
23
Bx
By
Bz
3
12
ex
ey
ez
C
7
11
5
11ex
2
0
1
3
B
7ex11ey5ez
B
AxBxAyByAzBz
22ez
ex
ex
ex
ex
ey
ez
A
C
Ax
Ay
A
1
2
3
2ex5ey
Cx
Cy
Cz
2
0
1
ex
ey
ez
A
C
B
2
5
4
6ex
8ey13ez
3
1
2
C
B
2
3
5
113
215
A
B
C72
0
5
119。
A
4ez
3ey
z0平面的位置矢量A与X轴的夹角为,位置矢量B与X轴的夹角为
，试证
cos（）coscossinsin
证明由于两矢量位于z0平面，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为
AexAcoseyAsin
BexBcoseyBsin
已知ABABcos，求得
a||b|coscos|ABsinsin
cosHBI
cos（
）coscossinsin
1-3已知空间三角形的顶点坐标为R（0,1,2）,P2（4,1,3）及Pa（6,2,5）。
试问：
①该三角
形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？
解由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为
P1ey2ez；P24exey3ez；P36ex2ey5ez
那么，由顶点P1指向P2的边矢量为
P2P14exez
同理，由顶点P2指向P3的边矢量由顶点P3指向P1的边矢量分别为
P3P22exey8ezRP36exey7ez
因两个边矢量（P2P1）（P3P2）
0，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三
角形。
因P2P1、4212,17
P3P2IV221282769，
所以三角形的面积为
1
S-|P2P1IIP3P20.5J1173
P1及P2之间的抛物线x2y2或直线RE为积分路径，试求线积分“Adi
P2
的方向上的方向导数解已知梯度
exeyez岂屮e『（2xyz2）ez3yz2
xyz
ex3ey3ez
A
ex
3ey
3ez
2ex
2ey
ez2631
1-6
试证式
（1-
5-11
），式
（1-
5-12
）及式（1-5-13）
证明
式（1-5-
■11
）为
，该式左边为
ex—
ey-
ez-
x
y
z
ex
ey
ez——一
x
x
y
y
zz
exey
ez
ex
eyez
x
y
z
x
yz
即，。
根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）。
1-7已知标量函数sinxsinyez，试求该标量函数在点P（1,2,3）处的最大变化
23
率及其方向。
解标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。
已知标量函数的梯度为
—eyeZ
xyz
那么
P点最大变化率方向的方向余弦为
1-8若标量函数为
试求在P（1,2,1）点处的梯度
解已知梯度ex——ey—ez——,将标量函数代入得
xyz
ex2xy3ey4yx2ez6z6
P3ex9ey
再将P点的坐标代入，求得标量函数在P点处的梯度为
1-9试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。
1-10试求距离|r1r2|在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式解在直角坐标系中
I1222
r1avX2为y2y1z乙
在圆柱坐标系中，已知xrcos，yrsin，zz，因此
zrcos,因此
在球坐标系中，已知xrsincos,yrsinsin
r1r2r2sin2cos2nsin1cos12r2sin2sin2r1sin1sin12r2cos2r1cos12
r；r122r2r1sin2sin1cos21cos2cos1
1-11已知两个位置矢量r1及a的终点坐标分别为（r「1,1）及（°2,2），试证口与a之间的
夹角为
cossin1sin2cos（12）cos1cos2
证明根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为
r1exr1sin1cos1
eyr1sin1sin1
ezr1cos1
r2exr2sin2cos2
eyr2sin2sin
ezr2cos2
已知两个矢量的标积为r1
cos
这里
为两个矢量的夹角。
因此夹角为
cos
「1|「2
式中
r1r2（sin1coscos1cos2）
1sin2cos2
sin
1sin
1sin2sin2
因此
cos
sin1sin2（cos
sin1sin2cos（
1cos2sin
2）cos
1sin
icos
2）
1-12
试求分别满足方程式
fi（r）r
cos1cos2
f2（r）r
0的函数f1（r）及f2（r）。
解在球坐标系中，为了满足
3f1
即要求r
dr
3fir
dfir
Inf1
3lnrInC
C
3
r
在球坐标系中，
为了满足
由于f2rr0，r0，即上式恒为零。
故f2r可以是r的任意函数。
1-13试证式（1-7-11）及式（1-7-12）。
证明①式（1-7-11）为CACA（C为常数）
令AAxe*Ayey，CACA^CA『eyCAzez，贝U
exeyez
exeyez
CA
C
CA
xyz
xyz
CAxCAyCA
AAyAz
令AAxexAy
eyAzez，
AAxex
Ayey
Azez，则
ex
ez
A
—
—
—
—Az-
—Ay
ex
x
y
z
y
z
A
Ay
Az
Az
Axey—
Ay
—Axez
x
z
x
y
-Az
—Ay
ex
——Az——
Axey
AyAxez
y
z
xz
xy
A7
Ay
AzAx
AyAx
e
汶
e
y
ez
y
z
xz
xy
A
A
②式（1-7-12）为
A
A
A
若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明。
1-14试证r0,-0及厶0
rr
证明已知在球坐标系中，矢量A的旋度为
sin
e
rsin
②（Ae^-）CkAeckr；
③（Aeckr）CkAeckr
证明①证明eCkrCkeCkr。
利用公式FF，贝U
eCkr
eCkr
Ckr
Ckr
Cekr
CkAe
而krkxxkyykzz
求得eCkrCkeCkr。
②证明AeCkr
利用公式AA
AeCkrA
再利用①的结果，则
exkxeykyezkzk
A
，则
Ckr
Ckr
AA
Ckr
e
e
e
Ckr
AeCk
CkAeCkr
③证明
ACkr
Ae
Ckr
CkAe
利用公式AAA,则
证明已知在球坐标系中
证明利用公式
ABAB
令上式中的AB
2E
2
—2E
将上式整理后，即得
1-18已知矢量场F的散度
q（r）,旋度
0，试求该矢量场。
根据亥姆霍兹定理，Fr
Ar,
其中
1-19
dV
那么因
Fqr，求得
er
已知某点在圆柱坐标系中的位置为
4，l，3，
试求该点在相应的直角坐标系及圆
球坐标系中的位置。
解已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
xrcos，yrsin，zz
因此，该点在直角坐标下的位置为
x4cos-2;y4sin22、3;z=3
33
同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，
2
；arctan—zx
获
r‘X2y2z2；arctan—
可得该点在球坐标下的位置为
120
4
arctan53；
3
1-20已知直角坐标系中的矢量Aaexbe『cez，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？
试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。
解由于A的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量。
已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
62y
rxy；arctan;zz
b
sin
v'a2b2
又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
Acossin0A
Asincos0Ay
A001A.
将上述结果代入，求得
即该矢量在圆柱坐标下的表达式为
Aera2b2ezc
直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为
22
yarctan
x
arctan
z
由此求得
矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
Ar
sin
cos
sinsin
cos
Ax
A
cos
cos
cossin
sin
Ay
求得
A
sin
cos
0
Az
Ar
sin
cos
sin
sin
cos
a
2,22
、abc
A
cos
cos
cos
sin
sin
b
0
A
sin
cos
0
c
0
即该矢量在球坐标下的表达式为Aera2b2c2。
1-21已知圆柱坐标系中的矢量Aaerbe冷，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？
试求A及A以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。
解因为虽然a,b,c均为常数，但是单位矢量er和e均为变矢，所以A不是常矢量。
已知圆柱坐标系中，矢量A的散度为
rr
r
z
A
aerbecez代入，
得
A1
r
r
矢
量A的旋度为
er
e
ez
e
ez
r
r
r
r
A
b
r
z
r
z
A
rA
Az
arb
c
A
rAr
ar
将
b
ez
1A
已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
00-
xrcos;yrsin;zz
又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
Ax
cos
sin
0
Ar
Ay
sin
cos
0
A
Az
0
0
1
Az
将上述接结果代入，
得
b
x
y
0
x-ya
Ax
a
a
a
Ay
y
x
0
b
b
J
—
yx
a
a
a
Az
0
0
1
c
c
即该矢量在直角坐标下的表达式为
矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
Ar
sin
0
cos
Ar
A
cos
0
sin
A
A
0
1
0
Az
rob
2C
rob
2
a
a_
逸a-rc-ro
a-r
AAA
即该矢量在球坐标下的表达式为Arerbe
1-22已知圆球坐标系中矢量Aaerbece,式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？
试求A及A，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。
解因为虽然a,b,c均为常数，但是单位矢量er，e，e均为变矢，所以A不是常矢量在球坐标系中，矢量A的散度为
将矢量A的各个分量代入，求得A空-cot
rr
矢量A的旋度为
e
e
rsin
r
rA
rsinA
er
2.rsin
r
Ar
e
e
rsin
r
b-er
rb
rsinc
er
2.rsin
r
a
利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
A
sin
cos
0
A
ra
za
0
a
brz
a
A
0
0
1
A
0
0
1
b
c
z
r
Az
cos
sin
0
A
0
c
b
Z-
a
a
zr
a
求得其在圆柱坐标下的表达式为
.bb
Arzercezrez。
aa
1-23
若标量函数
1（x,y,z）
xy
2z
2（x,,z）
rzsin
3（r,
智，试求21,
r
x2
z2
2xz
2xz
1-24
一rzsinr
rzsin
2.
rsin
sin
2・2rsin
122sin1
~r3~2~_
rrrrsin
sincos
0
2
r
2sin
2cos
4.
rsin
sin2
sin
A（x,y,z）
3
xyzex
3
xzey
2
yez
A（r,,z）
2“c
errcos
3_■
ezrsin
A（r,,
errsin
1.sinr
1
e2cos
r
试求
yAy
Az
x
3xyz
（此处利用了习题26中的公式）
er
e
e
er
e
e
2.rsin
rsin
r
2.rsin
rsin
r
r
r
Ar
rA
rsin
A
rsin
sin
1.
rsincos
sin
3e
r
2cos
3r
-e
sin
r
2cos
sin
er3
r
2cose3
r
e
cos
sin
2r
er2Ar
务A
r
2
sinA
2
A
2・rsin
2・rsin
3sin
7
A
2a
2cos
r
2a
A
~2rsin
2cosA
22rsin
2a
A
-2~:
~2rsin
2
~2~:
~
rsin
A-2cosA
2.2rsin
将矢量A的各个坐标分量代入上式
求得
9cos2
Aer
rsin
4cos
3~r
2cos
2sin
3"r
cos
e~4~~2
rsin
1-25若矢量A
2
cos
er3
r
试求
AdV，式中V为A所在的区域。
解在球坐标系中
dV
2・
r2sin
-r2Ar
r
1
rsin
sin
rsin
将矢量A的坐标分量代入,
求得
AdV
2cos
dV
2
2cos2.」—rsindrr
1-26试求
2cos
2
sin
cos2
◎S（er3sin
dS，
式中
S为球心位于原点，半径为5的球面。
解利用高斯定理，
AdV，则
SAdSvAdV
5江r2sindr752
0r
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