八年级数学竞赛资料最新编.docx
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八年级数学竞赛资料最新编
本内容适合七年级进八年级学生暑假提高使用。
重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，是学生提高数学水平的好资料。
另外，在本次培训中，我们适当安排了函数方面的内容，给学生以学习上的提前量，对培养学生的学习兴趣有一定的帮助。
本次暑假培训具体计划如下，以供参考：
第一讲
全等三角形辅助线作法与证明技巧
第二讲
实数
第三讲
一次函数与反比例函数
第四讲
整式的运算
第五讲
因式分解
第六讲
竞赛中质数合数
第七讲
数学竞赛中的不定方程
第八讲
竞赛中整除的基本性质
第九讲
2007年希望杯全国数学竞赛试题
第十讲
“希望杯'全'国数学邀请赛初二第2试
第十一讲
初二竞赛思维训练
第十二讲
逻辑推理问题
第十三讲
考试图论思想
第十四讲
试卷讲评归纳与枚举
第一讲全等三角形辅助线作法与证明技巧
全等三角形辅助线作法与证明技巧:
一：
基础巩固：
1.
△ABC中,AB=5,AC=a,BC边上的中线AD=4,贝Ua的取值范围为（）
这样的P点有个。
奥赛之窗：
中线倍长
【例1】如图所示,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：
AF=EF.（CASIO杯数学竞赛试题）
【例2】如图所示,各边都相等的五边形赛）
ABCDE中，/ABC=2/DBE,求/ABC.（2009世奥赛中国区总决
/BAD=60,/BCD=120,求证:
BC+DC=AC.（希望
截长补短
【例3】如图所示,已知四边形ABCD中,AB=AD,杯全国联赛试题）
【例4】如图所示，△ABC是边长为1的等边三角形
△BDC是顶角/BDC=120的等腰三角形，点M、N
分别在AB、AC上,且/MDN=60
求证:
△AMN
的周长I为2.（华杯赛全国联赛试题）
第二讲实数
一、课标要求
1通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。
了解算术平方根与平方根的区别与联系。
2、能用类比平方根的方法学习立方根，及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同•
3、通过学习实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透数学结合”的数学思想。
4、学会比较两个实数的大小；
、基础夯实
1
1、在3.14,—,2
3
.8,,81,0.4,-9,4.262262226
.（两个6之间依次多1个2）中、
属于有理数的有
属于正实数的有
属于无理数的有
属于负实数的有
2、求下列各式的值
（1）-（0.1）2；
（4）33；30.001（5）3216
（6）31251
10
27
3、求满足下列各式的非负数x的值：
（1）169x2=100
（2）x2-3=0
三、例题精讲
例1、已知0vxV1,那么在x,l,..、x,x2中最大的数是
x
最小的数是
例2、4—...3的整数部分为a,小数部分为b，求b的值.（保留
a
3个有效数字）
例3、已知2a1的平方根是3，3ab1的算术平方根是4，
求a2b的平方根.
例4、已知a，b为实数，且满足.a1
（b1）,1b0，则
20092009,
ab的值时多少?
例5、计算下列各题
（1）J（5）2V（34）432V（4）3
1999
2010个9
999
7
1998
35
15
1998
bc2的个位数字是
四、课堂练习
1、已知a21b2v'abc0,则a2008
2、已知x,y满足y—一豊％一9
求xy的平方根.
的值.
3、已知2008ava2009a，求a20082
第三讲一次函数与反比例函数
一、知识点精讲
1正确认识函数及其形式
2、反比例函数的图象与性质
k
3、反比例函数y—（k0）中的比例系数k的几何意义
x
例2:
如图，直线AB交x轴于A，交y轴于B，求直线AB的函数解析式。
2
例3:
设函数y（m3）xm5m7（5m），当m为何值时，它是一次函数？
此时它的图象经过哪几
个象限？
画出函数图象来。
三、课堂练习
bxk经过象限。
1、若直线y3xk与两坐标轴围成的三角形的面积为24,则常数k的值是
2、直线ykxb经过一、二、四象限，那么直线y
3、当圆柱形罐头的体积为一定值
m（m
0）时，那么这个圆柱的高
h与圆柱的底面半径
r之间的函数关系
是（）
A、正比例函数B、
一次函数
C、反比例函数
D、其他函数
4：
已知abc0,并且
bc
cap，那么直线y
pxp一定通过（
）
c
a
b
A、第一、二象限
B、第二、三象限
C、第三、四象限
D、第一、四象限
5:
如图，正方形
ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且
EB=10cm,点P在边DC上运动,
2
EP与AB的交点为F，设DP=xcm,△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm,
那么，y与x之间的函数关系式是（0x10）。
£
6:
有一个附有进出水管的容器，每单位时间内进出的水量都是一定的，设从某时刻开始的
8
水，不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间的关系如图所示。
（1）每分钟进水多少？
（2）4x12时，x与y有何关系？
（3）若12分钟后只放水，不进水，求y的表达式。
7：
A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台，已知从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费分别为400元和500元。
（1）设从A市、B市各调运x台机器到D市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）
的函数式，并求W的最小值和最大值。
x、y表示总远费W
（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用（元），并求W的最小值和最大值。
8、在直角坐标系中，有两点P（-1,1）和Q（3,3），M是x轴上的任意点，则使PM+PQ的长度最小时,求M点的坐标
第四讲整式的运算
一、知识点精讲
整式是多项式和单项式的总称•整式的乘除主要是多项式的乘除•下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析.
正整数指数幕的运算法则：
⑴aM-an=aM+n;
（2）（ab）n=anbn;（3）（aM）n=aMn;（4）aM^n=aM-n（a刊m>n）;
常用的乘法公式：
（1）（a+b）（a+b）=a2-b2;⑵（a±）2=a2±ab+b2;'“U-沁1■-
⑷（d±3=a3±Ba2b+3ab2±）3；（5）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca•
分析与解
（1）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合.
（2）（x+2y）（x-2y）的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，
但x4-8x2y2+16y4=（x2-4y2）2与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了.例3、己知x2—5x+m能被x—2整除，求m的值。
例5、己知a+b=1,求证：
a3+b3—3ab=1
四、实战演练
1.x2-y2-x-y分解因式的结果是
4.（x+y+z）2-（x-y+z）2
5.已知x-y=2,x2-y2=6，求x与y的值.
6.利用因式分解计算19992+1999-20002
五、课堂练习
1．计算：
（1）（a-2b+c）（a+2b-c）-（a+2b+c）2；
（2）（x+y）4（x-y）4；
（3）（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）．
2．化简：
（1）（2x-y+z-2c+m）（m+y-2x-2c-z）；
（2）（a+3b）（a2-3ab+9b2）-（a-3b）（a2+3ab+9b2）；
3.已知z2=x2+y2，化简（x+y+z）（x-y+z）（-x+y+z）（x+y-z）
4.己知a2=a+1，求代数式a5—5a+2的值
第五讲因式分解
、知识点精讲
主要介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法及配方法，换元法等•在整式的乘、
二、基础夯实因式分解
例2分解因式：
a3+b3+c3-3abc.本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）.
分析我们已经知道公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）.本题就借助于它来推导.
例3分解因式：
x3-9x+8
例4分解因式：
（x2+x+1）（x2+x+2）-12.
四、课堂练习
1.分解因式：
（X4X24）（x4x23）10=.
2.分解因式：
（x2+x+1）（x2+x+2）—12=.
3.分解因式：
（x1）（x3）（x5）12=.
22
4.若x2xyya（xy）25是完全平方式，则a=
5.将多项式
x42x2
3分解因式，结果正确的是（
）.
A.（x
23）（x2
1）
B.
（x2
1）（x2
3）
C.（X
23）（X
1）（x1）
D.
（x2
1）（x
3）（X3）
6.因式分解
“八4
4
4
22
4
（1）a
16b;
⑵
X
xy
y
第六讲质数合数性质
整数的研究在数学里占有极为重要的地位，特别是整数问题的灵活性和独特性，有利于培养和考查学生的综合素质，因此，各级各类数学竞赛，整数的问题涉及较多。
一、知识点精讲
（一）十进制整数与K进制的互化
除2取余法。
例如：
87化为2进制。
87化为4进制。
如何推广至除K取余法。
（二）质数与合数
一个大于1的正整数a,若仅有1与a这两个正约数，则a叫做质数（或素数）；若还有其他的正约数，则a叫做合数。
例1：
若P为质数，P35仍为质数，则P57为（）
A、质数B、可为质数也可为合数
C、合数D、既不是质数也不是合数
例2:
满足90的所有是合数而不是偶数的正约数的和等于.
（三）最大公约数与最小公倍数
例3:
a、b为自然数，且a=1999b，则a、b的最大公约数与最小公倍数的和等于。
例4:
电子钟9分钟亮一次灯，整点响铃，12点既亮灯又响铃以后，下次在几点既亮灯又响铃？
（四）奇数与偶数
整数可以分为奇数和偶数两类。
在整数中能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数，通常用2k表示偶数，用2k+1（或2k—1）表示奇数，其中k为整数。
例5:
99个连续自然数之和等于abcd，若a、b、c、d皆为质数，则a+b+c+d的最小值等于多少？
例6:
abed是一个四位的自然数，已知abed—abcaba1995，试确定这个四位数abed。
例7:
写出10个连续自然数，使其中每一个数都是合数
例&是否存在整数a，b满足a21998b2。
例9:
设a、b、c、d为自然数，并且ab=cd,试问a+b+e+d能否为质数?
第七讲不定方程与应用
、知识点精讲
关于二元一次不定方程axbyc（其中a、b、c是整数；a0,b0）的解有下面定理:
定理1
若不定方程axbyc［其中（a、b）=d1）］，而常数c却无因数d，则此不定方程无整
如5x
数解。
10y13，不管x，y取什么整数总有5|（5x10y），但5不整除13，所以这个方程无整数解。
x230t
y113t
其他某些不定方程可经过转化后根据上述定理求解二、例题精讲
1：
不定方程3x5y1306有多少组正整数解?
例2:
求除以7余5，除以5余2,除以3余1的所有三位数中的最小正整数。
例3:
牛吃草问题的不定方程解法探秘。
例4:
江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需
要抽水机台。
（1999年全国数学联赛试题）
例5:
某班参加一次智力竞赛，共a、b、c三题，每题或者得满分或者得0分，其中题a满分20分，
题b、题c满分分别为25分，竞赛结果，每个学生至少答对一题，三题全对的有1人，答对其中两道题的
有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20,问这个班的平均成绩是多少分？
例6:
林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如
【浙江2007】
果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？
（假定野果生长的速度不变）
第八讲竞赛中整数性质的运用
一、知识点精讲
二、完全平方数的末位数
若a是整数，则称a2为完全平方数。
定理1:
完全平方数的末位数只能是0,1，4，5，6，9。
推论：
凡末位数是2，3，乙8的自然数一定不是完全平方数。
定理2:
奇数的平方的十位数字必是偶数。
推论：
十位数字是奇数的完全平方数一定是偶数。
定理3:
连续的10个自然数的平方和的末位数都是5。
三、连续自然数乘积的末位数
定理4：
两个连续自然数乘积的末位数只能是0，2，6；3个连续自然数乘积的末位数只能是0，4，6；4个连续自然数乘积的末位数只能是0，4；5个或5个以上连续自然数乘积的末位数都是0。
四、末位数的运算性质
定理5：
两个自然数和的末位数等于这两个自然数末位数和的末位数；两个自然数乘积的末位数等于这两个自然数末位数乘积的末位数，即
P（ab）P[p（a）P（b）]，
P（ab）P[P（a）P（b）]，
其中a和b都是自然数
利用末位数的性质，可以使一些看上去很困难的问题得以顺利解决。
二、例题精讲
例1：
（1）求19941995的末位数。
（2）求3100171002131003的末位数。
例2:
n为怎样的自然数时，1n2n3n4n能被10整除?
表格法的应用与直观性分析。
例3:
5个连续自然数的平方和能否是完全平方数?
请证明你的结论。
我们就由这里入手考虑。
例4:
若一个自然数的平方的十位数字是7，求这个自然数平方的末位数。
分析:
一个自然数的平方的末两位数字是由这个自然数的末两位数字确定的，
）数的整除的判定法则
（1）末两位数能被4（或25）整除的整数能被4（或25）整除。
（2）末三位数能被8（或125）整除的整数能被8（或125）整除。
（3）一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
（4）奇位千进位的总和与偶位千进位的总和之差能被7或11或13整除，则这个数能同时被7，11，13整除。
（三）带余除法两个整数的和、差、积仍是整数，即整数中加、减、乘运算是封闭的，但用一非零整数去除另一整数，所得的商未必是整数。
一般地，a、b为两个整数，b0则存在惟一的整数对q和r，使得a=bq+r。
这里0r|b|，特别是当r0，则称b|a
当r0，则称b不整除a，q称为a被b除时所得的不完全商；r称为a被b除时所得的余数。
（四）同余、余数的分类
由上可得abqr，而这里r可以取0,1,2,…r-1。
（1）如果我们把这r个数，每一个数分为一类，（即按余数相同的分为一类）则可分为b类。
女口，整数a被3除时，余数只能是0,1,2,所以整数a可以分为3q,3q1,3q2这三类形式，
任一整数都属于这三类中的某一类，从而把整数的整体问题转化为讨论每一类问题的共性，得出整数总体的性质。
（2）两整数a和b被c除时，余数相等，叫做a和b对模c同余，记作：
ab（modc）
学会这方面知识可以使许多问题简单化
如：
644（mod30）
二、例题精讲
例1：
1999除以某自然数,其商为49,求除数和余数。
分析：
设除数为x,余数为y,由余数公式有1999=49x+y,且0yx，由此可以确定x的取值范围。
例2：
甲、乙、丙三个数分别是312,270,211,用自然数A分别去除这三个数,除甲所得余数是乙所得余数的2倍,除乙所得余数是除丙所得余数的2倍,求这个自然数A。
分析：
若设丙的余数为r,商分别为a,b,c,则可得方程组，再利用整数性质即可求出A。
例3:
若N=2X78是一个能被17整除的四位数，求X。
例4:
51999的末三位数是（）
A、025B、125C、625D、825
例5:
已知一个七位自然数62xy427能被99整除，试求，950x24y3
分析：
•••99=9X11•••根据被9、11整除的数的特征便可求出x、y的值。
例6:
已知两个三位数abc,def和abc+def能被37整除，证明，六位数abcdef也能被37整除。
例7:
小于1000既不能被5整除，又不能被7整除的自然数的个数为（）
A、658B、648C、686D、688
例&今天是星期六，从今天起102000天后的那一天是星期几？
例9:
试找出由0,1,2,3,4,5,6这7个数字组成的没有重复的七位数中，能被165整除的最大
数和最小数。
例10:
试写出5个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除。
学校
第九讲第十七届“希望杯”全国数学邀请赛
初二
2006年3月19日
学号
上午8:
30至10:
00
姓名
辅导教师
成绩
一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内.
1.实数m=20053-2005，下列各数中不能整除m的是（）
（A）2006（B）2005（C）2004
2.a,b,c,d是互不相等的正整数，且
（A）30（B）32
3.三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为
（A）55种
4.已知m,n是实数,
（D）
abcd=441，那么a+b+c+d的值是（（C）34（D）
10,这样的三角形有（
（C）40种（D）
且满足m2+2n2+m—4n+17=0，则一mn2的平方根是
一36
（B）45种
2003
36
）
30种
（D）
5.某校初一、初二年级的学生人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的
4.已知初一年级
5
的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的
丄，那么三个年级
4
女生人数占三个年级学生人数的（
11
（C）21
（A）9（B）
1919
6.如图1，点E、F、G、H、M、N分别在△ABC的BC、AC、AB边上，且NH//MG//BC,
ME//NF//AC,GF//EH//AB.有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从F点出发，黑蚁沿路线FtHtEtMtGtF爬行，白蚁沿路线F宀B~C宀F爬行，那么（）
（A）黑蚁先回到F点（B）
（C）两只蚂蚁同时回到F点（D）
7.—个凸多边形截去一个角后形成的多边形的内角和是
（A）14（B）15（C）
8.Letabeintegralpartof.2andbbeitsdecimalpart.part..ifad—bc=m,then（
（A）—2vmv—1（B）
（D）
10
21
N
EF
图1
白蚁先回到F点
哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定
2520°则原多边形的边数是（
15或16（D）15或16或17
Letcbetheintegralpartofanddbethedecimal
9.对a,b,定义运算*"如下:
（A）2-.3
（B）
）
—1vmv0（C）
（英汉词典:
0vmv1（D）1vmv2
integralpart整数部分；decimalpart小数部分）
；bb，当:
vb时?
，已知3*吩36,则实数m等于（）
（C）±2,3
（D）4或i2-.3
10.
将连续自然数1,2,3,…，n（n>3的排列顺序打乱，重新排列成ai,a2,a3,…，an.若（ai—1）（a2
、A组填空题（每小题4分，共40分）
11.已知a、b都是实数，且a=手，b=写，i<2a，那么实数％的取值范围是——
12.计算^20052006—2007—2008+1—20062的结果是
18.A,n都是自然数，且A=n2+15n+26是一个完全平方数，则n等于.
19.一个长方体的长、宽、高均为整数，且体积恰好为2006cm3,现将它的表面积涂上红色后，再切割成
边长为1cm的小正方体，如果三面为红色的小正方体有178个，那么恰好有两面为红色的小正方体有
个.
20.一条信息可以通过如图4所示的网络按箭头所指方向由上往下传送，例如到达点C2的信息可经过B1
第十讲第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛
初二第2试
2006年4月16日上午8:
30至10:
30得分
一、选择题（每小题4分，共40分•）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.
1•下列四组根式中，是同类二次根式的一组是（）
（A）-5和21/0*5-（B）13a*和3右.
JI『一3戶司
2•要使代数式，有意义，那么实数x
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