高考数学常用结论集锦.docx
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高考数学常用结论集锦
高考数学常用结论集锦
一.
函数
1.函数的图象的对称性:
①函数的图象关于直线对称
②.
函数的图象关于点对称
2.两个函数图象的对称性:
①函数与函数的图象关于直线（即轴）对称.
②函数与函数的图象关于直线对称.
特殊地:
与函数的图象关于直线对称
③函数的图象关于直线对称的解析式为
④函数的图象关于点对称的解析式为
3.
对数的换底公式
.推论
.
对数恒等式（）
4.
导数：
⑴导数定义：
f（x）在点x0处的导数记作；
⑵常见函数的导数公式:
①；②；③；
④；⑤；⑥；⑦；
⑧
。
⑶导数的四则运算法则：
二.数列
1.
若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。
如图所示：
其前n项和公式
5.
若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则。
等比数列的通项公式；等比数列的变通项公式
其前n项的和公式或
三.三角函数
1．
同角三角函数的基本关系式
，=，
2.
正弦、余弦的诱导公式
即:
奇变偶不变,符号看象限,如
3.
和角与差角公式
;;
.（平方正弦公式）;
.
=（辅助角所在象限由点的象限决定,
）.
4.
二倍角公式
.
.（升幂公式）
（降幂公式）.
5.万能公式:
6.半角公式:
7.
三函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R（A,ω,为常数，且A≠0，）的周期.
函数，（A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0）的周期.
8.
的单调递增区间为单调递减区间为，对称轴为,对称中心为
9.
的单调递增区间为单调递减区间为，对称轴为,对称中心为
10.
的单调递增区间为，对称中心为
11.
正弦定理?
12．面积定理
（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.
（3）=（为的夹角）
13.三角形内角和定理
在△ABC中，有
.
四.平面向量
1.平面两点间的距离公式
=（A，B）.
2.向量的平行与垂直
设a=,b=，且b0，则
a∥bb=λa
.
ab（a0）a・b=0.
3．线段的定比分公式
?
设，，是线段的分点,是实数，且，则
（）.
4．若,O不在直线AB上,则A,B,C共线的充要条件是
x+y=1。
五.直线和圆的方程
1．直线方程的五种形式:
（1）点斜式
（直线过点，且斜率为）．
（2）斜截式
（b为直线在y轴上的截距）.
（3）两点式
（）（、
（））.
（4）截距式
（5）一般式
（其中A、B不同时为0）.
2．两条直线的平行和垂直
（1）若，
①;②.
（2）若,,
①；②；
3.夹角公式
.（，,）
（,,）.
直线时，直线l1与l2的夹角是.
直线l1到l2的角是（，,）
4．点到直线的距离
（点,直线：
）.
5．两条平行线的间距离
（直线：
）.
5.圆中有关重要结论:
（1）
若P（,）是圆上的点,则过点P（,）的切线方程为
特例:
若P（,）是圆上的点,则过点P（,）的切线方程为
（2）
若P（,）是圆外一点,
由P（,）向圆引两条切线,
切点分别为A,B则直线AB的方程为
特例:
若P（,）是圆外一点,由P（,）向圆引两条切线,
切点分别为A,B
则直线AB的方程为
（3）
若P（,）是圆内一点,以过P（,）的弦的端点为切点向圆作两条切线,则两切线的交点的轨迹方程为
特例:
若P（,）是圆内一点,
以过P（,）的弦的端点为切点向圆作两条切线,则两切线的交点的轨迹方程
为
六.圆锥曲线
1.
椭圆
（!
）椭圆的参数方程是.
（2）椭圆焦半径公式
，.
（3）椭圆的准线方程为,椭圆的准线方程为
（4）椭圆的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为
（5）P是椭圆上一点,F,F
是它的两个焦点,∠FP
F=θ
则△P
F
F的面积=
当点与椭圆短轴顶点重合时最大；P是椭圆上一点,A,B是长轴的两端点,当点P在短轴端点时,最大.
（6）若AB是过焦点F的弦,设,P表示焦准距,则
2.
双曲线
（1）双曲线的准线方程为双曲线的准线方程为
（2）
双曲线的渐近线方程为,双曲线的的渐近线方程为
（3）
P是双曲线上一点,F,F
是它的两个焦点,∠FP
F=θ则△P
F
F的面积=
（4）若AB是过焦点F的弦,设,P表示焦准距,AB交在同支时,,AB交在两支时,
（设）
（5）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。
准线过垂足。
※
等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项
（2）共轭双曲线：
与其离心率分别为
其性质：
①渐近线相同；②焦距相同（焦点不同）
（3）渐近线相同的双曲线系方程为：
渐近线方程都是
（7）有心型二次曲线（圆、椭圆、双曲线）上任一弦中点与中心连线的斜率与弦所在直线的斜率之积为（对圆则是－１，为什么？
）
3.抛物线
（1）上的动点可设为P或
P，其中
.
（2）P（,）是抛物线上的一点,F是它的焦点,则|PF|=+
（3）抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦AB性质：
<1>．
x1x2=；y1y2=－p2；
<2>．；
<3>．以AB为直径的圆与准线相切；
<4>．以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；<5>．。
焦点弦长,其中是焦点弦与x轴的夹角;点P是抛物线上的一点,F是它的焦点,则
⑥AB的中垂线与X轴交于点R，则
（6）抛物线y2=2px（p>0），对称轴上一定点，则
①若，顶点到点A距离最小，最小值为；
②若，抛物线上有关于轴对称的两点到A的距离最小，最小值为。
（7）直线与圆锥曲线相交：
弦长公式
4、A，B是抛物线y2=2px（p>0）上两点，则直线AB过定点（或）
（1）先证“”
设直线AB：
，与抛物线方程联立得
从而可得
（2）再证
“”
设直线AB：
，与抛物线方程联立得
从而可证得直线AB过定点
5、抛物线y2=2px（p>0）与直线相交于且该直线与轴交于点，
则有
6、过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的直线交该抛物线于、两点，自、两点向准线作垂线，垂足分别为，则；其逆命题：
若，则A、F、B三点共线。
※若点M是准线上任一点，则
7、过抛物线y2=2px（p>0）的顶点O作两条互相垂直的动弦OA，OB，则①
②直线AB过定点
③的最小值为
4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
或
（弦端点A，由方程
消去y得到，,为直线的斜率）.
若（弦端点A由方程
消去x得到，,为直线的斜率）.则
5.圆锥曲线关于点成中心对称的曲线是.
求圆锥曲线的切线与切线有关的过定点问题
1、已知点是椭圆上任意一点，求以点为切点的切线方程。
解：
①若，
切线为;
②若，
与①同理得
③若，则切线亦满足。
故所求的切线方程为。
2、已知点是双曲线上任意一点，求以点为切点的切线方程。
解：
①若，切线为;
②若，
与①同理得
③若，则切线亦满足。
故所求的切线方程为。
3、已知点是抛物线上任意一点，求以点为切点的切线方程。
解：
4、已知椭圆，点是定直线上一动点，过点P作椭圆的两条切线PA、PB，A、B为切点，求证：
直线AB过定点，并求出定点的坐标。
证明：
设，由第1题的结论，则
，，则有
，
故直线AB：
，由于，，即直线AB过定点
点评：
若点定直线上的动点呢？
则直线AB过定点
5、已知双曲线，点是定直线上一动点，过点P可作双曲线的两条切线PA、PB，A、B为切点，求证：
直线AB过定点，并求出定点的坐标。
证明：
设，由第2题的结论，则
，，则有
，
故直线AB：
，由于，，即直线AB过定点
点评：
若点定直线上的动点呢？
只要能过其上的点作两条切线，则直线AB过定点
6、已知抛物线，点是定直线上一动点，过点P可作抛物线的两条切线PA、PB，A、B为切点，求证：
直线AB过定点，并求出定点的坐标。
证明:
设，由第3题的结论，则
故直线AB：
，由于，，即直线AB过定点
7、已知椭圆C：
的左、右顶点分别是A、B，设是直线上的动点，若直线与椭圆C分别交于M、N，求证：
直线MN过定点
证明：
同理
令，故直线MN过定点
注意:
理解思路，试题一般会告知具体数字。
变式：
已知椭圆C：
的上、下顶点分别是A、B，设是直线上的动点，若直线与椭圆C分别交于M、N，求证：
直线MN过定点
8、已知双曲线C：
的左、右顶点分别是A、B，设是直线上的点，直线与双曲线C分别交于M、N，求证：
直线MN过定点
9、已知抛物线的顶点为，为直线上一动点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，则直线过定点
证明：
设，直线：
代入得，
点评：
①过定点的直线与抛物线交于点，经过点和抛物线顶点的直线交定直线于，则；
②过定点的直线与抛物线交于点，作交定直线于，则三点共线。
10、已知点是椭圆C：
上
不同于左、右顶点A、B的任意一点，直线分别交直线于点，则以
MN为直径的圆经过定点
证明：
以
MN为直径的圆：
令即过定点
11、过抛物线的焦点F任意作直线与抛物线交于点两点，则在轴上存在定点，使始终平分。
证明：
设
设则由
，则，
始终平分。
点评：
过定点作直线与抛物线交于点两点，点与点关于轴对称，则直线过定点
12、过椭圆的左焦点F任意作直线与椭圆交于点两点，则在轴上存在定点，使始终平分。
点评：
过定点作直线与椭圆交于点两点，点与点关于轴对称，则直线过定点（即焦点）
13、过双曲线的右焦点F任意作直线与双曲线交于点两点，则在轴上存在定点，使始终平分。
点评：
过定点作直线与双曲线交于点两点，点与点关于轴对称，则直线过定点（即焦点）
14、已知椭圆上有一点，过P作倾斜角互补的两条直线PM，PN分别与椭圆交于异于点P的两点M，N，则直线MN的斜率为定值，类似地，已知双曲线上有一点，过P作倾斜角互补的两条直线PM，PN分别与双曲线交于异于点P的两点M，N，则直线MN的斜率为定值
。
七.立体几何
（一）向量法公式
1.直线与平面所成角（为平面的法向量）.
2．二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.
3.异面直线间的距离
（是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离）.
4.点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
（二）其他公式
1.
（长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.
2.
面积射影定理
3.球的半径是R，则其体积是,其表面积是．
4.
（三）与正多面体有关的结论
1.正多面体与球的关系（设正多面体棱长为,外接球.内切球半径分别为R.）
正多面体R
r
R/r
正四面体
3/1
正六面体
/1
正八面体
/1
2.与正多面体有关的角度问题.
（1）
正四面体相邻两侧面所成二面角的余弦值为,
（2）
正六面体相邻两侧面所成二面角的余弦值为0,
（3）
正八面体相邻两侧面所成二面角的余弦值为,（4）
正四面体中心对任两个顶点所张角的余弦值为,
（5）
正六面体中心对任两个顶点所张角的余弦值为,（6）
正八面体中心对任两个顶点所张角的余弦值为0,
（7）若正四棱锥的侧面与底面所成角为,相邻两侧面所成二面角为,则.
（四）两个小问题
1.若一个多面体的内切球半径分别为,多面体的表面积为S,则其体积为,
2.过正方体的任一顶点,作直线与都成,这样的直线能作_3__条;都成的直线能作_1__条;都成的直线能作_4__条.
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