高中学业水平考试数学知识点总结.docx
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高中学业水平考试数学知识点总结
高中学业水平考试
数学知识点总结
老师的话：
同学们，学业水平考试快到了！
如何把数学复习好？
老师告诉你：
回到课本中去！
翻开课本，可以重温学习的历程，回忆学习的情节，知识因此被激活，联想由此而产生。
课本是命题的依据，学业水平考试试题难度不大，大多是在课本的基础上组合加工而成的。
因此，离开书本的复习是无源之水，那么如何运用课本呢？
复习不是简单的重复，你们应做到以下6点：
1、在复习每一专题时，必须联系课本中的相应部分。
不仅要弄懂课本提供的知识和方法，还要弄清定理、公式的推导过程和例题的求解过程，揭示例、习题之间的联系及变换
2、在做训练题时，如果遇到障碍，应有查阅课本的习惯，通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷，尽可能把问题回归为课本中的例题和习题
3、在复习训练的过程中，我们会积累很多解题经验和方法，其中不少是规律性的东西，要注意从课本中探寻这些经验、方法和规律的依据
4、注意在复习的各个环节，既要以课本为出发点，又要不断丰富课本的内涵，揭示课本内涵与试题之间的联系
5、关于解题的表达方式，应以课本为标准。
很多复习资料中关键步骤的省略、符号的滥用、语言的随意性和图解法的泛化等，都是不可取的，就通过课本来规范
6、注意通过对课本题目改变设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能。
现行课本一般是常规解答题，应从选择、填空、探索等题型功能上进行思考，并从背景、现实、来源等方面加以解释
必修一
一、集合
1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么？
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3
注意下列性质：
4.你会用补集思想解决问题吗？
（排除法、间接法）
5.一元一次不等式的解法：
已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为_______（答：
）
6.一元二次不等式的解集：
解关于
的不等式：
。
（答：
当
时，
；当
时，
或
；当
时，
；当
时，
；当
时，
）
7.对于方程
有实数解的问题。
（1）
对一切
恒成立，则
的取值范围是_______（答：
）；
（2）若在
内有两个不等的实根满足等式
，则实数
的范围是_______.（答：
）
二、函数
1．映射：
注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2.函数
:
A
B是特殊的映射。
若函数
的定义域、值域都是闭区间
，则
＝（答：
2）
3.研究函数问题时要树立定义域优先的原则：
（1）函数
的定义域是____（答：
）；
（2）设函数
，①若
的定义域是R，求实数
的取值范围；②若
的值域是R，求实数
的取值范围（答：
①
；②
）
（3）复合函数的定义域：
①若函数
的定义域为
，则
的定义域为__________（答：
）；②若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为________（答：
[1,5]）．
4.求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法―①当
时，函数
在
时取得最大值，则
的取值范围是___（答：
）；
（2）换元法①
的值域为_____（答：
）；②
的值域为_____（答：
）（令
，
。
运用换元法时，要特别要注意新元
的范围）；
的值域为____（答：
）；
的值域为____（答：
）；
（3）函数有界性法―求函数
，
，
的值域（答：
、（0,1）、
）；
（4）单调性法――求
，
的值域为______（答：
、
）；
（5）数形结合法――已知点
在圆
上，求
及
的取值范围（答：
、
）；
（6）不等式法―设
成等差数列，
成等比数列，则
的取值范围是____________.（答：
）。
5.分段函数的概念。
（1）设函数
，则使得
的自变量
的取值范围是____（答：
）；
（2）已知
，则不等式
的解集是___（答：
）
6.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法―已知
为二次函数，且
，且f（0）=1,图象在x轴上截得的线段长为2
求
的解析式。
（答：
）
（2）配凑法―①已知
求
的解析式___（答：
）；②若
，则函数
=___（答：
）；
（3）方程的思想―已知
，求
的解析式（答：
）；
7.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
⑵
是奇函数
；
⑶
是偶函数
；
⑷奇函数
在原点有定义，则
；
⑸在关于原点对称的单调区间内：
奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；
8.函数的单调性。
如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
（外层），
（内层），则
当内、外层函数单调性相同时，
为增函数，否则
为减函数
如：
求
的单调区间。
设
，由
，则
且
，
，如图
当
时，
，又
，∴
当
时，
，又
，∴
∴……）
9.函数图象⑴图象作法：
①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
⑵图象变换：
1平移变换：
ⅰ
，
———左“+”右“-”；
ⅱ
———上“+”下“-”；
2伸缩变换：
ⅰ
，（
———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的
倍；
ⅱ
，（
———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的
倍；
3对称变换：
ⅰ
；ⅱ
；
ⅲ
；ⅳ
；
4翻转变换：
ⅰ
———右不动，右向左翻（
在
左侧图象去掉）；
ⅱ
———上不动，下向上翻（|
|在
下面无图象）；
10．常用函数的图象和性质
（1）
（2）反比例函数：
推广为
是中心
的双曲线。
（3）二次函数
的图像为抛物线
顶点坐标为
，对称轴
开口方向：
，向上，函数
，向下，
应用：
①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
，
时，两根
为二次函数
的图像与
轴的两个交点，也是二次不等式
解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
如：
二次方程
的两根都大于
，一根大于
，一根小于
（4）指数函数：
（5）对数函数：
由图象记性质！
（注意底数的限定！
）
（6）“对勾函数”
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
必修二一、立体几何
1．平行、垂直关系证明的思路
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线面平行的判定：
线面平行的性质：
三垂线定理（及逆定理）：
，
为
在
内射影，
，则
线面垂直：
面面垂直：
，
2．三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（3）二面角：
二面角
的平面角
三垂线定理法：
A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。
证明：
为线面成角，
（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD1和AD所成的角；
③求二面角C1—BD1—B1的大小。
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……
3．空间距离
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：
三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：
正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB1C1的距离为___________；
（2）点B到面ACB1的距离为____________；
（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；
（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；
（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。
4．正棱柱、正棱锥的定义性质
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
和
它们各包含哪些元素？
（
—底面周长，
为斜高），
5．球的性质
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。
为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（4）
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。
正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：
r＝3：
1。
如：
一正四面体的棱长均为
，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为
A．
B．
C．
D．
答案：
A
二解析几何
1．熟记下列公式
（1）
直线的倾斜角
，
，
是
上两点，直线
的方向向量
（2）直线方程：
点斜式：
（
存在）
斜截式：
截距式：
一般式：
（
不同时为零）
（3）点
到直线
：
的距离
（4）
到
的到角公式：
；
与
的夹角公式：
2．如何判断两直线平行、垂直？
，
（反之不一定成立）
，
3．怎样判断直线l与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
必修三一、算法初步
1．构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
处理框
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
2、算法的三种基本逻辑结构：
顺序结构、条件结构、循环结构。
①顺序结构：
②条件结构：
③循环结构：
r=0?
否求n除以i的余数
输入n是
n不是质素n是质数i=i+1
i=2
i
n或r=0?
否
是
注：
循环结构分为：
Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。
3．基本算法语句：
⑴输入语句：
INPUT“提示内容”；变量；输出语句：
PRINT“提示内容”；表达式
赋值语句：
变量=表达式
⑵条件语句：
①②
IF条件THENIF条件THEN
语句体语句体1
ENDIFELSE
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