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sars数学建模获奖论文
二．数学模型的分析与建立
2.1分析与假设
将人群分为四类：
健康者（易受感染者）：
用S表示健康者在人群中的比例。
潜伏期者（已感染，尚未发病）：
用E表示他们在人群众的比率。
发病期者（已发病者）：
用I表示病人在人群中的比例。
退出者（死亡者）：
用R表示退出者在人群中的比例。
2.2模型的建立
1．参数设定
——每个病人平均每天有效接触（足以使被接触者感染）的人数。
q——退出率，为SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。
——（流入）流出人口占本地总人口的比率。
——处于潜伏期的病人的日发病率。
P——流入人口中带菌者所占的比例。
2．控前方程的建立
根据我们的分析和各变量的分析，结合实际的疫情的传播规律，我们可以建立如下的方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
（初值）
3．参数的确定
1）
——根据医学资料和有关数据推导而得。
2）q——由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。
3）
——由城市的出入人口流动情况（主要由经济发达程度和交通状况决定）。
可查有关资料。
4）
——根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。
5）P——由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。
控后模型的建立
1．参数设定
——不可控人群（在后面的分析中可得到）在发病后到被隔离前平均每天接触的人的数目。
q——退出率，为SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。
β——接触病源的人的发病率。
ε——每天由可控人群和不可控人群转化为病人的日转化率。
2．控后方程的建立
根据上面我们的各种假设和各变量和参数的实际意义,我们可以建立如下控制后的疾病模型的方程组：
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（初值）
在得到这个模型后,我们对模型和数据进行了进一步的分析,发现这个模型中存在以下的问题:
（1）该模型中,没有充分考虑疑似病例,即“疑似者”和“隔离者”的之间的关系不明确。
（2）从收集到的数据中我们无法得到有关隔离者和未被隔离者的信息，因此无法对其做出分析。
从以上两点出发,我们对模型进行了改进,我们仍将将人群分为五类,但这五类人的界定作了改动：
我们将隔离者和未被隔离者改为“疑似者”和“自由带菌者”，用Y和M分别代表这两者在人群中所占的比例。
以下是对“疑似者”和“自由带菌者”的说明：
疑似者：
所有未确诊的非健康者。
包括已出现有关症状但未确诊的被隔离者和还未出现症状但已疑为带菌者而被隔离观察的。
在此我们假设这一阶段中的所有的病人产生都是被前几阶段的病人传染而来的。
自由带菌者：
不可控的病毒携带者。
综合上面的未考虑因素和部分不确定因素，我们提出以下改进模型：
控后优化模型的建立
1．参数说明
——疑似中每日被排除的人数占疑似人数的比例；
——疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例；
——每个自由带菌者转化为病人的日转化率；
——每个自由带菌者发病后被收治前平均每天感染的有效人数；
——被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率；
2．方程的建立
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（初值）
与前一个模型相比，此优化模型的优点在于：
✓明确了疑似者所指的范围；
✓基本可从数据中分析出所需的参数和变量初值；
✓将
定义为“有效接触人数”既有利于数据的分析也可减少未知参数的数量；
3．参数的确定
鉴于每个地区的情况（医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等）不同，所以对于模型中各参数不能用全国总的情况来分析，而应该各个城市分别对待。
由于北京在强化控制阶段采取措施相当严格，而且找到的数据也比较齐全，故我们以北京为例来说明参数的分析方法。
1）
——疑似者的日排除比例：
计算公式：
=
以北京为例说明：
首先我们直观的观察一下y1的变化趋势，根据卫生部的每日疫情公布数据求出每天对应的y1（见后面列表5），用matlab画图，如下图1所示：
图1
初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图2所示：
（光滑的线为cubIc拟合曲线）
图2
可以看出y1大概有两个峰值，第一个峰值是由于采取措施力度很大，加之强化控制初期市民有较恐慌的心理，导致疑似病例中非感染者比例较高；第二个峰值则是因大部分真正带病的疑似者已转化为确诊后，未带菌者相对比例增大造成的。
虽然三阶拟合能在一定程度上反映y1的规律，但如果用这个图来分析就会发现误差特别大，为此，我们去除几个偏离太大的点，得到下图3：
图3
其中，平直的线为lIneaR拟合直线。
再用威布尔分布观察一下处理后的y1的值的分布情况，如图4所示：
（对威布尔分布做解释）
图4
可以看出y1的值主要分布2%—4.5%之间，其中概率最大的取值为：
3.51%，故我们在模型建立过程中，就取3.51%为y1的概率平均值。
2）
——疑似转化为病例的日转化比：
计算公式：
=
以北京为例
同y1的分析方法一样，首先我们直观的观察一下由已知数据算得的各天的y2（见后面的列表5）的变化趋势如下图5所示：
图5
原始的数据有一些点偏离太大，去除这些点后，得到下图6：
图6
从原始数据可以看出y2总的趋势是下降的，先用曲线拟合处理一下如图7：
（光滑的线是y2的五阶拟合线）
图7
显然，y2在病情得到较大重视之后总的趋势是下降的，但是初期因初始的自由带菌者较多，还有一个较大的峰值。
最后，我们依然用威布尔分布来观察一下y2的值的分布情况，如图8所示：
图8
可以看出y2的值主要分布0.05%—2%之间，但是y2不同于y1的分布那么均匀，所以我们不能用一个有效值来取代y2的值。
在这里，我们把y2的值分布人为划分为两个阶段值：
2.229%和0.59%。
如下图9所示，y2的两个有效值分布在中直线的两侧。
图9
从对y1与y2的数据处理来看，我们可以将强化控制后的这段时间分为两个阶段：
过渡期和平稳期；这两个阶段的产生是与非典自身的特性分不开的。
由于非典具有潜伏期，所以在强化控制初期，由于前一段时间对非典的控制力度不够，造成较多的人处于非典潜伏期，这一部分人最终将转化为非典病人；且因为他们为自由带菌者，在被收治以前会传染较多的人；加之各项措施从颁布到实行总会有一段反应时间，所以上述原因直接导致了过渡期的形成，其特征为：
y2较大，q（退出率）较小。
（有关q的分析见对q数据处理）
3）q的计算公式=
以北京为例：
从q的原始数据（见附表5）中我们可以看出，q的值也存在阶段性。
5.16日以前，q的值大概在1%左右摆动，不存在较大的波动；而5.16日以后,q的值基本都在1%以下。
由于q的定义中包括了治愈率与死亡率两部分，在过渡期，由于发病人数较多，治愈率相对较低；当进入平稳期后，发病人数减少，治愈率必然增高。
故这与我们上面对于过渡期和平稳期的假设是吻合的。
4）——从数据可推算出其值在12%—30%之间我们在这里令
。
5）——与城市的人口密度、生活习惯等因素有关，由于在强化控制阶段对人员的流动控制的相当严格，还采取了比如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施，故我们可估计
3．模型的求解：
很明显从我们建立的模型是无法得到s，i，r，y，m的解析解的。
为了解决这个问题，我们求助于matlab中的龙格—库塔方法来求出它们的数值解。
我们先通过采集到的实际数据算出每一天的s，i,r,y,m，做出它们与时间的函数图象，然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图象。
对比这两组图，可以发现实际和理论存在着一定的差异。
这必然是因为我们的参数估计不合理造成的。
所以，我们必须通过不断调整那些非计算得到的参数（λ2，ε，α）来使实际图象和理论图象趋于一致。
经过多次调试,我们发现，当λ2=0.71人,ε=0.2,α=0.8时,实际图象和理论图象有最好的符合。
而这三个值均在我们估计的范围内，所以我们认为这三个值的得到是合理的。
（matlab程序及画图结果附于论文后）
三.各地疫情分析
⏹北京地区
首先从已知数据看一下北京地区病人比率图（如下图10所示）：
图10
显而易见，北京的发病人数在4月29日到5月15日这段时间内有最大的增长率即这段时间是北京非典疫情的“高潮期”；由于政府措施得力，公众健康意识增强，非典病情从5月16号之后开始趋于缓和，在我们的参数分析中，北京各参数取值如下：
:
=0.0351，
=0.0299，
=0.00555;
=0.0087
=0.025，
=0.71,α=0.8，
0.2。
取的是0.71，即每个未被隔离的病人平均每天感染0.71人，所以，北京地区政府采取的隔离措施是较为得力和及时的，在疫情完全扩散之前就阻断了大部分病源与健康人群的接触，使传染链受阻，有效的阻止了疫情的进一步扩大；在政府正式采取措施后
=0.025，可以看出此时的治愈率是比较高的，与其他疫区相比北京的治愈率也是相对较高的，这说明：
北京的卫生部门对非典的预防措施比较及时的控制了病人与医护人员以及其他易感染人群的交叉感染，从而基本断绝了病毒传播的一个主要途径；同时其治疗措施相对较为完善，稳定了疫情。
从北京的地理位置和特定的社会环境（全国政治、经济、文化、交通的中心）来看，北京要想有效控制疫情的传播，应该注意以下几点：
✓首先必须强化对流动人口的管理，即认真抓好流入人口是否患有非典或携带有非典病毒的检查和确认。
这样的话，北京才可能在不受输入病人侵袭的前提下，打好抵御非典的攻坚战。
✓其次，要强化对公共场合（如公交、商场、餐厅、娱乐场所等）的管理，要采取责任到部门，责任到单位，责任到个人的管理方式，明确责任，规范管理，做到环环相扣，一丝不漏。
✓最后还要注意那些人口流动比较快的场合（如汽车站、火车站、飞机场、宾馆等）的管理，要强化这些场所的卫生宣传，增加防护工具以及消毒工具、药品的使用，以减少病毒大肆蔓延的可能性。
⏹内蒙古地区
下图11为根据内蒙古公布的数据画出的内蒙古每日病人累计所占比率的统计图，
图11
可以看到由于内蒙古的地理位置比较偏僻，人口密度比较小，经济较不发达，其疫情的控制相比较于北京而言难度要小一些，从而出现了疫情很快得到较好控制的局面，在分析内蒙古模型时我们的参数设定如下：
=0.0271,
=0.06，
=0.0456,
=0.0078;
=0.014，
=0.030，λ2=0.75,α=0.78，ε=0.2。
可以看到λ2取得是0.75比北京的稍高一些，这是由于内蒙人口比较分散、自由带菌者不好控制而导致的；但是，由于内蒙古疫情始期较晚，其时全国对非典已较为重视，因此采取措施就相对比较及时，所以尽管措施实施有一定难度，疫情还是被有效地控制了下来。
同时，由
=0.014而
=0.030，
明显比
大，说明内蒙古卫生部门在后来采取的措施是更有效的，这从一定程度上促进了疫情得以快速缓解。
考虑到内蒙古的地理位置偏远，人口较分散，经济较不发达，内蒙古非典的防治主要应做到以下几点：
✓做好非典卫生知识的宣传，在比较偏远的乡村和人口密度很小的地区要专门进行有关非典的传播特点、典型病症、预防常识等知识的大力宣传。
✓强化对农村人口的管理。
农村是相对人口密度比较小，但是医疗水平最低，人们健康意识最低的区域。
一旦农村人口染病，就可能导致一大批人的交叉感染，出现新的疫情。
因此，保证农村人口不被感染具有很重要的意义。
✓强化消毒工具、药品的使用。
由于内蒙古的经济不是很发达，可能导致人们不重视或不能有效的使用消毒工具和药品，政府应该拿出专门的资金和人力来弥补由于经济原因带来的隐患，而不要等到病毒死灰复燃之时再来采取应急措施。
✓其他。
比如改善建筑物的通风条件、改善人们的卫生环境、提高人的自然免疫力等都是政府应该想到的有效措施。
⏹广东地区
还是先看一下广东地区的病人累计所占比率统计图（如下图12所示）：
图12
从上图可以看出，广东地区发病人的比率在4月21号到5月10号左右是上升的很快的，这主要是因为本地区疫情持续的时间较长，政府采取的措施不是很得力造成的，我们在模型分析中采用的参数得值如下：
=0.0694,
=0.01，
=0.25,
=0.001;
=0.006，
=0.005，λ2=0.8,
=0.8，
=0.85，ε=0.2。
从
=0.006，
=0.005，可以看出广东的卫生部门采取的措施开始不是很得力，疫情的初期没有得到政府的充分重视，从而导致了疫情的持续，快速增长，一直到国家下达严防命令后才采取有效的措施，故广东的疫情缓解也是从5月10号左右才开始的。
针对这一情况，我们对广东的非典疫情的控制提出以下建议：
✓强化流动人口的控制和管理。
广东地区，经济比较发达，人流量大，且和北京不同的是外来打工者占流动人口的比率很大，这些人口是不易控制和管理的潜在非典传播者，因此，做好外来人口的管理工作在这里显得特别重要了。
✓强化潜在、分散的病毒转播者的控制。
广州地区由于疫情的传播时间长，地区比较分散，造成了潜在的病毒携带者比较多且分布很分散，所以，在非典开始呈缓解趋势的这段时间，我们一定不能放松对这些潜在危险的警惕，提前做好相关的宣传和制定相关的切实可行的法规，做到有章可循，有法可依，真正消除大面积的交叉感染。
✓注意卫生环境的改善。
据专家研究发现非典的传播和天气有一定的关系，病毒容易在日温差比较小，气压产生回差的气候下大肆传播，因此，随着夏日的来临，大家要注意不要把工作环境营造成特别利于病毒传播的小气候。
而应该注意开窗通风，保持室内空气的流通。
✓注意消毒液的合理使用。
如使用像过氧乙酸之类的消毒液时，由于过氧乙酸等溶液容易挥发、分解，其分解物是醋酸、水和氧，腐蚀性较强，因此，室内消毒后，一定要保持室内空气中的药液的相对浓度不能太高。
避免对人体造成大的刺激。
⏹香港
下图13是根据香港特区卫生署的非典疫情发布数据画出的原始统计图：
图13
从图上可以看出：
香港地方政府采取的措施比较早，而且成效不错。
但是由于人口流动快，社会各层面的人相互交往频繁，导致不可控的病毒传播者比较多，因此，疫情一直呈现出上升趋势，而且，我们可以看到在近期内病人比率还不会有较大幅度的下降，因此香港的非典工作需加大力度。
结合香港的实际情况，我们有以下建议：
✓加强散发病人的管理。
由于香港的人口流动快，潜在传播者的危害就更明显了，所以一定要强化和关注零散病人的及时隔离和医治，以防再次引起大片的感染人群。
✓强化确诊病例和疑似病人的医治和隔离。
香港的疑似病人和确症人数基数很大，在病情出现缓和的阶段如果放松对这些人的医治和隔离可能会导致再次的大量的交叉感染的发生，因此，一定要坚持不懈的抓好对他们的医治和管理。
✓注意对流动人口的管理。
由于香港是亚洲的金融中心，人口流动明显不可避免，这给疫情的控制带来了一定的难度，同时也是导致病毒大量传播的潜在因素，控制好流动人口不仅仅对香港的疫情有很重要的意义，同时对祖国大陆的疫情的早日消失也有着较强的作用和影响的。
四.各地疫情预测
●分析与假设
✓本模型根据现有的控制程度进行预测。
假设政府和公众采取的措施不会下降，如果随着疫情的缓解人们的警惕心理下降，政府的措施不再特别得力，将会导致病菌的传播死灰复燃，引起病人的比率又出现小的峰值（这在“各地疫情分析”中已经对各地进行了假设分析）。
✓预测依据现在的医疗及防控水平，因SARS是一种非典型的病疫，医学界对它的认识不足，既没有有效的预防措施，也没有较完善的治疗方案，因此在控制初期治愈率较低，自由带菌者的日传染人数
较大；但是，随着医学研究的深入，SARS治疗方案的完善，治愈率可能会有较大的提高，同时，预防措施也会更加有效（据有关资料，在不久的将来可能会研制出非典预防针），因此实际疫情可能会比我们预测的提前结束。
⏹北京地区的疫情预测
利用我们建立的优化模型对北京地区的SARS发病人数进行预测，下图14是我们通过matlab画图得到的病人比率图。
（其中的不规则的点是卫生部公布的累计确诊人数占的比率）
图14
从上图我们可以看出：
Ø病情在5月3号到5号左右达到“高潮期”，即图中曲线上升最快到开始平缓的时期；
Ø发病人的比率在x=30即5月28~31号左右出现最大值，且
；但此时已经不是病情的“高潮期”，因为这个比率是累计确诊的人数的比率；
Ø疫情大约在5月30号之后开始缓解，并逐渐趋向缓解。
从5月30号到10月份左右是庾情的“缓解期”；
Ø发病者的比率在x=80左右即7月20号左右下降到4月25号左右的水平，此时，
;但是，需要指出的是，我们的预测是依据现在的医疗水平和药疗效果进行的，因此，预测可能会因为将来新药的研发而提前进入SARS的完全控制期；
Ø发病者所占的比率大概在x=300时将到0，因此，我们预计北京的SARS疫情将在明年2月份左右得到完全的消除，即疫情的“最终控制期”；
⏹内蒙古地区的疫情预测
利用我们建立的内蒙古地区的SARS模型和我们前面的假设，我们可以利用matlab得到内蒙古的疫情预测图如下图15所示：
（其中的离散的不规则的点是根据卫生部公布的每日非典型肺炎疫情数据画出的原始图）
注意：
图中y轴值得数量级为
图15
从上图可以看出：
Ø病情在5月8号到9号左右达到“高潮期”，即图中曲线上升最快到开始平缓的过渡时期；
Ø发病人的比率在x=22即5月14~15号左右出现最大值，且
；但此时已经不是病情的“高潮期”，因为这个比率是累计确诊的人数的比率；
Ø疫情大约在5月30号之后开始缓解，并逐渐趋向缓解。
从5月30号到10月份左右是庾情的“缓解期”；
Ø发病人的比率在x=120左右即8月20号左右下降到4月23号左右的水平，此时，
，需要指出的是，我们的预测是依据现在的医疗水平和药疗效果进行的，因此，预测疫情可能会因为将来新药的研发而以更快的速度得到完全控制；
Ø发病者的比率大概在x=280时将降到0，因此，我们预计北京的SARS疫情将在明年1月份中下旬得到完全的消除，即疫情的“最终控制期”；
⏹广东地区的疫情预测
利用我们建立的内蒙古地区的SARS模型和我们前面的假设，我们可以利用matlab得到内蒙古的疫情预测图如下图所示：
（其中的离散的不规则的点是根据卫生部公布的每日非典型肺炎疫情数据画出的原始图）
从上图可以看出：
Ø病情在5月初达到“高潮期”，即图中曲线上升最快到开始平缓的过渡时期；
Ø发病人的比率在x=26即5月17号左右出现最大值，且
；但此时已经不是病情的“高潮期”，因为这个比率是累计确诊的人数的比率；
Ø疫情大约在7月20号之后开始缓解，并逐渐趋向缓解。
从7月20号到明年2月份左右是疫情的“缓解期”；
Ø发病人的比率在x=60左右即6月20号左右下降到4月21号左右的水平，此时，
；i—t曲线的下降阶段在6月初到明年2月一直都有较大斜率，这说明在这么长的一段时期内都将会有大量的病人出院。
以后的一段时期里虽然病人并没有完全消除，但我们可以说这少量病人都是在我们的控制之下的，治愈他们只是时间早晚的问题。
所以在明年2月份广东地区能达到其控制期。
但是由于发病者的比率大概在x=900时将降到0，因此，在未考虑医疗条件和新药的研发前提下，我们预计广东的SARS疫情将在2004年4月份中下旬得到比较好的控制到2005年12月得到完全的消除，即达到疫情的“最终控制期”。
比较三地疫情预测，我们可以看出广东地区是最晚达到“最终控制期”的，通过分析我们发现这是因为从数据来看，这段时期广东地区的病人治愈人数一直比较少，而我们是按现在的治愈率来预测疫情的发展，故疫情维持的时间比实际的可能长一些，但是总体趋势是不会有大的变化的。
再则，由于广东发布的数据表现出的统计规律不是很强，导致数据出现陡升陡降的情况，给我们的预测也多少带来了困难和误差，
还需要指出的是，我们采集到的数据是从4月21号才开始的，而广东的疫情是从2002年11月开始的，因此造成我们的数据点主要分布在广东地区的疫情已经开始趋于平缓的时段，造成我们的预测可能有较大的误差；
五.模型优缺点分析与改进方向
⏹模型优点：
●模型根据现有的数据资料设置变量，各变量之间关系明确，且各个参数可比较方便地得到。
●模型重点是分析规律和进行预测。
因为已知数据受很多随机因素的影响，规律性受到干扰，所以其变化情况不能较好地表达总体的规律性，进而不能对疫情进行较准确的预测；针对这个问题，我们对已知数据进行了统计平均，从总体的平均规律入手，没有局限于仅对现有数据的模拟。
但是也要根据现有的数据对模型进行检验。
从前面求解方程得到的图形结果来看，模拟的曲线确实较好地代表了现有数据的总体变化规律。
●控后模型具有较好的代表性，表现在以下两个方面：
1）欲对某疫区进行预测，只需对几个参数进行求解，代入方程组并给出初值即可；
2）对于控后的过渡期和稳定期两个阶段，只改变其中的三个参数和初值，即可得到较好的模拟和合理的预测。
⏹模型缺陷与改进：
●控前模型只考虑了流动人口对出入城市的影响，忽略了交通工具上的传播，实际上从北京、太原以及全国其他地区的SARS疫情来看，交通中的传播有一定的影响。
改进思路：
分析交通工具内的传播，除了容积、通风等外，还应考虑旅程时间的长短。
同样条件下，距离越远SARS传播的概率越大。
根据民工流动与SARS扩散趋势，可得：
以北京为输入地的民工流动主要态势是沿京港线、京包线、石太线分布；而以广东为输入地的民工流动主要态势是沿京港线分布。
因此可根据上述民工流动情况和交通路线的长短考虑交通过程对各地控前模型加以改进。
●控后模型中各参数对现有数据进行了概率平均，这在医疗水平和防控力度不变的假设下能较好地代表SARS的传播和控制规律，但实际情况必会随时间推移有较大的变化，针对此问题提出两点缺陷和改进方法：
a）退出率q的物理意义或获取方式有一定的误差。
为了使方程为常微分方程且使之适合用龙格-库塔法求其数值解，定义q为每天退出者占当天累计病人的比例。
但是随着病人数的减少q势必有特定的变化趋势，我们取其概率平均在较短时间内能较好地符合规律，但预测时间较长时就不能简单地取概率平均值了，这就是我们预测最终控制期很长的最主要原因。
作为改进方法，可以对根据已知数据求出的q（t）进行最大概率曲线拟合，得到关于q的函数，将此已知函数代入常微分方程组进行求解，则可能对提高预测结果的准确性有较大的帮助。
最简单的q（t）为t的一次函数。
b）对于由于医学突破引起的参数变化，可对模型参数进行适当的修正，便可得到符合规律的预测。
●控后模型在对香港进行分析时遇到了困难，因为香港的已知数据中对人群的分类与模型不一致，因此论文中没有对香港疫情进行预测，这里提出针对香港人群分类提出的修正模型：
✧将人群分为四类：
健康者S，确诊病人I，自由带菌者M，退出者R，
✧参数为：
α——被感染者中的可控比；ε——自由带菌者的日平均发病率；
λ——每个自由带菌者在被收治前平均每天传染的有效人数；
q——病人的日治愈率。
✧建立的微分方程组为：
（15）
（16）
（17）
（18）
●模型采用常微分方程方法进行分析自身就有一定的缺陷：
微分方程对SARS传播是以个体相互作用的情况而言，其计算结果的准确性、可靠性将受到限制。
且因数值解的不确定性，只能对不太长的阶段进行预测（不超过50
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