数学悖论对数学发展的影响.docx
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数学悖论对数学发展的影响
毕业设计（论文）
题目数学悖论对数学发展的影响
EnglishTitleTheInfluenceofMathematicsParadox
toMathematicsDevelopment
学生姓名朱封文
学号04093217
指导教师陈火弟职称副教授
专业数学与应用数学
二00八年六月
目录
摘要I
ABSTRACTI
第一章数学悖论的概述1
1．1悖论的产生背景及定义1
1．2研究数学悖论的意义2
第二章数学史上的三次重要悖论4
2.1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机5
2.1.1第一次数学危机的出现5
2.1.2第一次数学危机的解决途径及影响5
2.2贝克莱悖论与第二次数学危机7
2.2.1第二次危机的产生7
2.2.2第二次危机的解决途径及影响10
2.3罗素悖论与第三次数学危机11
2.3.1第三次数学危机的出现11
2.3.2第三次危机的解决途径及影响12
2.4若干其他数学悖论15
2.5数学悖论对数学发展的影响17
结束语20
致谢22
参考文献23
附录一24
附录二24
摘要
从悖论的产生背景和定义出发，得出数学悖论是由矛盾引起的。
数学悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。
因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。
分析了数学悖论的历史和发展，得出数学悖论既引起了著名的三次数学危机，又推动数学的各个分支不断向前发展，并提出研究和解决悖论问题，不但可以丰富数学理论，还可以创造出新的科学观点，促进数学的研究和推动数学的发展。
可见数学中悖论的产生，不单是给数学带来危机和失望，也给数学的发展带来新的生机和希望。
从而说明数学悖论的出现，会引导人们向未知领域进行探索，促进数学的繁荣和发展，具有重要的历史意义。
关键字悖论；数学危机；矛盾；数学发展；意义
ABSTRACT
Fromthegeneratingbackroundandthedefinitionoftheparadox,wedrawaconclusionthatthemathematicsparadoxiscausedbythecontradiction.Itdoesgreatandenormousinfluencetothedevelopmentofmathematics.Thereforeitisessencialtostudythedefinition,generatingbackgroundoftheparadox,andthesolutionplansforthedevelopmentofmathematics.Analyzingthehistoryanddevelopmentofmathematicsparadox,welearnedthatitnotonlycausedthefamous“threemathematicscrisis”,pushedforwardthebranchesofMaths,butalsoproposedtostudyandsolvetheparadox.ThisenrichedtheMathstheory,creatednewscientificviewpoints,andpromotedtheMathsstudyanddevelopment.Thusit’sclearthattheproductionoftheparadoxnotonlybringsthecrisisanddisappointment,butalsobringsthenewlifeandhopetoMaths.Consequently,theappearanceoftheMathsparadoxwillguidehumantoexploittheunknownareasandadvancedtheprosperityanddevelopmentofMaths.Ithasimportanthistoricalmeaningtotheworld.
KeywordParadox；Mathematicalcrisis；Contradictions；Mathematicaldevelopment；Significance
第一章数学悖论的概述
1．1悖论的产生背景及定义
悖论问题是一个古老而又常新的话题。
“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代。
但严格意义下的悖论是在19世纪末、20纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的。
当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论。
1897年意大利数学家布拉里—弗蒂（Buraliforti，1861-1931）在超穷序数理论中发现了第一个悖论，接着，集合论的创始人康托尔（cantor，1845-1918）于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素（Russell，1872-1970）在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”。
1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”。
由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡。
那么，究竟什么是悖论呢？
对此，当前流行的说法是：
“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题。
这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的。
”又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真。
”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面。
本文认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确：
1．任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的。
例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对于朴素集合论和真理性理论而言的。
2．悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示。
这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：
一种是借助于语义学上的概念（真、假）而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑-数学悖论”。
例如：
古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德（J.Richard,1862-1956）悖论、格里林（kartCirelling,1886-1941）悖论等就属于第一类型的悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类型的悖论。
3．对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”或“诡辩”。
因为悖论与诡辩有含义上的不同。
后者不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论逻辑可以论述其错误的原因，而前者虽感到其是不妥的，却不能阐明其错误的原因。
我们认为，布拉里—弗蒂与希尔伯特（Hibert,1862-1943）关于悖论的陈述是精确的，如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含一个悖论。
数学悖论也叫逆论或反论，他包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。
这些结论会让你无比的惊讶：
他们有的看起来肯定错了，但实际上却是对的；有的看起来是对的，但实际却是错的；还有的会让你陷入对也不是、错也不是的困境。
数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后逐步发展为对某些数学基础的动摇，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩。
历史上人们对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革。
1．2研究数学悖论的意义
数学科学历来被视为是严格、和谐、精确的典型学科，但数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。
数学史上的三次危机皆由数学产生悖论而引起。
悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使高明的数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考。
可以说悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的。
悖论是一种思辩的方法,是研究问题的一种方式,也是历史上一种旧理论被新理论替代的前奏,数学少不了悖论,数学公理系统没有悖论就不是完备的,我们不是去容忍悖论,而是去消解悖论,在消解悖论的过程中提高认知水平。
消除悖论的过程常常是完善，发展原有理论的过程。
悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻。
从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。
因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。
数学悖论是一种特殊的逻辑矛盾，它的形成与客观对象的复杂性、多样性，每一代人认识的有限性和局限性，以及人类的主观认识与客观现实的不一致性相关。
在数学发展的过程中，人的认识是不断深化的。
在不同的历史阶段，人的认识具有一定的片面性和相对性，就会出现“悖论”。
因此，它的发生是必然的、不可避免的。
数学悖论的发现改变了人们以往的思维方式，迫使人们重新建构理论，从而，在数学认识史中具有积极的意义。
第二章数学史上的三次重要悖论
数学发展是矛盾运动的结果。
爱因斯坦指出：
“提出问题比解决问题更重要。
”问题就是矛盾，解决问题就是促使矛盾转化。
数学探索与研究起源于数学问题，数学问题的源泉存在于自然科学、社会科学及数学自身的矛盾运动。
数学问题一经提出，数学家一般要先经过各种尝试（如类比、归纳、演绎、分析、综合、实验等），经过长时期（甚至几代人）的不懈努力，最终目的促使数学问题得以解决，或说促使数学矛盾得以转化。
从而创造出新的数学理论、新的数学成果及新的数学思想方法。
数学的历史，就是不断解决数学矛盾又产生新的数学矛盾。
从哲学上看，数学是现实世界量的侧面在人们头脑中的反映，因为现实世界是充满着矛盾的，所以数学也必然充满了矛盾。
正像恩格斯所指出的：
不仅高等数学充满着矛盾，连初等数学也充满着矛盾。
比如：
正与负、直与曲、平行与相交、已知与未知、常量与变量、有限与无限、连续与不连续、精确与近似、必然与或然、加法与减法、乘法与除法，乘方与开方、微分与积分、几何变换与其逆变换、数学算子与逆算子、实在的与虚构理性的，等等。
当然在整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾。
例如：
有穷与无穷、连续与离散，乃至存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算，等等。
他们可以说贯穿整个数学发展史，而这些大大小小的矛盾的产生，发展到激化，到解决，总是不断为数学产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的危机。
危机实际上是一种激化的、非解决不可的矛盾，而这些矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力的基本原理。
纵观数学与数学文化的发展史，数学问题是数学中的一种疑难和矛盾，他的提出和解决是推动数学发展的重要力量。
2.1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
2.1.1第一次数学危机的出现
在公元前6世纪，古希腊有一个著名学派叫毕达哥拉斯学派，他们认为“万物皆数”，所谓数就是指整数，他们确定数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：
宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在着整数与分数，除此之外，他们不认识也不承认有别的数。
在那个时期，上述思想是绝对权威、是“真理”，后来这个学派发现了一个毕达哥拉斯定理（勾股定理）：
即任何直角三角形的两直角边a，b和斜边c都满足
，他们认为这是一件了不起的事，并宰了一百头牛
来庆祝，然而，具有戏剧性的是，由毕达哥拉斯建立的这一定
理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定
理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了这样一个问题：
边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？
他发现这一长度既不
能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕
索斯的发现导致了数学史上第一个无理数
的诞生。
小小
的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：
任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！
可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的
的存在而推翻了！
这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！
它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
也就是著名的“毕达哥拉斯悖论”。
2.1.2第一次数学危机的解决途径及影响
第一次数学危机出现后，古希腊人陷入了“失乐园”后的彷徨之中。
为了摆脱危机，当时的学者作了种种努力。
在这方面贡献最大的是柏拉图、欧多克索斯、欧几里得。
在大约公元前370年，这个矛盾被希腊数学家欧多克索斯等给出两个比相等的新定义作出处理，当然从理论上彻底克服这一危机还有待于实数理论的建立。
欧几里得则在柏拉图、欧多克索斯、亚里士多德等人工作的基础上,总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统。
并编写出《几何原本》一书。
这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次危机的产物。
第一次数学危机后承认除了整数和分数外还存在另外的数。
由于对这种“怪数”的接受很不情愿，于是就给它起了难听的名字—无理数。
不可通约量（即无理数）的发现引起人们思想上的困惑。
甚至直到十九世纪，无理数也没有一个名正言顺的地位，但随着分析学的飞速发展，它（或整个实数理论）已不得不被人们摆在前台，到十九世纪下半叶，数学分析的进一步发展需要有逻辑严谨的实数理论作为其基础，于是两种实数理论几乎在同一时期产生了，这两种实数理论分别是由戴德金与康托尔建立的，它有一个共同点，即都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”。
戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法。
这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具。
第一次数学危机也随之化解。
这一危机的化解，使“数”真正具有了表达一切量的可能，不仅是无理数，还使数的概念不断扩大和发展。
复数、四元数、超限数、理想数、非标准数等各种各样的数都被创造出来了。
第一次数学危机持续了两千多年。
1872年,数学家戴德金通过他的“戴德金分割”从有理数扩展到实数，建立起无理数理论。
十分有趣的是，在同一年，维尔斯特拉斯通过有界单调序列理论、康托尔通过有理数序列理论完成了同一目标：
他们都从有理数出发定义出无理数，从而建立起了实数理论。
实数的这三大派理论，从不同方面深刻揭示了无理数的本质。
实数域的构造成功，使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了。
直到此时，我们才可以说由毕达哥拉斯悖论引发的第一次数学危机圆满而彻底地解决了！
经过第一次数学危机的洗礼，希腊人不得不承认：
直觉、经验乃至实验都不是绝对可靠的（如用任何实验都只能得出一切量均可用有理数表示这个结果），推理论证才是可靠的，证明的思想在希腊人的心中扎下了根。
进一步，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识。
第一次数学危机的影响是巨大的。
首先，它推动了数学及其相关学科的发展。
例如,欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的。
其次，虽然第一次数学危机在一定程度上引起了数学思想上的混乱，但数学并没有在危机面前停滞，反而在克服危机的过程中产生了逻辑学和公理几何学，取得了重大发展。
总而言之，第一次数学危机的结果是产生了无理数概念的重大飞跃，使人们对实数有了完整的认识，同时，这也为后来欧几里得、阿基米德等人在数学上的杰出成就，直至牛顿、莱布尼兹创建微积分奠定了数的基础。
2.2贝克莱悖论与第二次数学危机
2.2.1第二次数学危机的产生
17、18世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为“第二次数学危机”。
这次危机的萌芽是大约公元前450年，埃利亚数学家芝诺（Zeno）注意到由于对无限的理解问题而产生的矛盾，提出了时空的有限与无限的四个悖论：
1．二分法悖论
“运动不存在”,理由是：
任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB的中点C，随后需要到达CB的中点D，再随后到达DB的中点E，依次类推。
如此进行下去,永无止境,所以物体永远也到不了终点
B。
不仅如此，换一种角度思考这个悖论，我们会得出，运
动是不可能发生的，或者说这种旅行连开始都很困难。
因为
在进行后半段路程之前，必须先完成前半段的路程，而在此
之前又必须先完成前1/4的路程，等等。
因此得到结论：
物
体运动是不可能的！
中国古代哲学家惠施（公无前370年—前310年）也提出过类似的悖论。
有些在《庄子》一书的“天下篇”中有记载。
如惠施的“飞鸟悖论”这样说：
“飞鸟之景，未尝动也”，这同芝诺的“飞箭悖论”如出一辙。
而惠施的另一句名言：
“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。
同芝诺的二分悖论也很相像。
2．阿基里斯追龟悖论
阿基里斯，荷马史诗《伊里亚特》中的神行太保，以善跑著称。
这个悖论说：
如果让跑得极慢的乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。
芝诺的论证如下：
乌龟先行了一段距离，阿基里斯要追上在前面爬行的乌龟，必须先到达乌龟的出发点A，但当阿基里斯到达A时，此时乌龟又爬了一段距离到达B，而当阿基里斯到达B时，乌龟又到达B的前面C点……如此类推，两者的距离越来越近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面追不上乌龟。
3．飞矢不动悖论
芝诺的论证是：
任何一个东西呆在一个地方那不叫运动，可是飞动着的箭在任何一个时刻不也呆在一个地方吗？
既然飞矢在任何一个时刻都呆在同一个地方，那么飞矢当然是不动的。
4．操场悖论
设有A、B、C三列队伍，若在最小单位时间内，B往左移动一位，C往右移动一位，于是对于B（或C）而言，C（或B）就移动了两位。
因此必有一个使B与C相对移动一位的更小的时间单位，这与假设矛盾。
相对运动的起点 相对运动的终点
AAAA AAAA
BBBB→ BBBB
←CCCC CCCC
由于前提中有“时空有最小不可分单位”这一概念，那么在这里可将A，B，C物体所占的空间均视为最小不可分单位，并且设B和C的一步位移可以度量一个最小不可分的时间单位。
那么，在由相对运动起点到相对运动终点的运动过程当中，B相对于第一行越过了两个最小不可分单位，相对于第三行又越过了四个最小不可分单位。
这样就得出了一半的时间相当于整个的时间的谬论。
芝诺悖论的特点是道理简单，叙述也不复杂，仔细琢磨一下就能明白其意。
但是其结论却是如此出人意料之外。
凭我们的基本常识，我们知道芝诺论证的结果是不可能的，运动的真实性是无可置疑的。
芝诺悖论的提出在数学王国中激起一场轩然大波。
它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾。
芝诺悖论所涉及的对时间、空间、无限、连续、运动的看法，也都在极长一段历史岁月中困扰着后来的哲学家和数学家。
经过（亚里士多德、阿基米德等）许多人的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。
牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者，他们把有关运动、切线、极值和求积等各种问题的解决统一成微积分方法，有计算微分的明确步骤，确立它是（不定）积分的逆运算，得到牛顿—莱布尼茨公式，这一新生的有力的数学方法，受到数学家的欢迎，解决了大量过去无法解决的许多问题，同时，关于微积分基础的问题也越来越严重了。
这就是如何解释“无穷小”问题，牛顿给出瞬时速度的定义，又给出有效的计算方法：
第一步，他用无穷小作分母进行除法运算，第二步，他又把无穷小看作零，以去掉那些包含着它的项，而得到所要的公式.这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在着漏洞，还不能自圆其说。
例如，牛顿当时是这样求函数y=x
的导数的：
（x+△x）
=x
+n·x
·△x+n（n-1）2·x
·（△x）
+⋯+（△x）
，
然后把函数的增量△y除以自变量的增量△x，得到
△y/△x=[（x+△x
）–x
]/△x=n·x
+n（n-1）2·x
·△x+⋯+nx（△x）
+（△x）
，
最后，扔掉其中所有含△x的项，就得到函数y=x
的导数为nx
。
无穷小在逻辑推理上是零与非零的矛盾，牛顿却不能在逻辑上说清楚，他说：
“量在其中消失的终极比，严格地说来，不是终极量的比，而且它与无限减小的这些量所趋近的极限之差虽然能比任意给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前即不能超越也不能达到这个极限。
”无论牛顿用数学语言，还是利用物理意义，他都没有说清楚无穷小量是什么。
科学家们相信它，因为它使用起来十分有效，得出的结
果总是对的，但是由于逻辑上的漏洞，遭到一些人指责，甚
至嘲讽与攻击。
如1695年，荷兰数学家纽汶蒂（1654-1718）
在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清
”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据”等。
法国数学家罗尔（
1652-1719，罗尔中值定理以他的名字命名）也对微积分表示
怀疑。
然而，对新生的微积分攻击得最厉害的是爱尔兰主教贝
克莱，他的观点是“存在即被感知”，认为一切事物不过是人的感知的综合，他的哲学目的是论证上帝的存在。
贝克莱在1734年写了题为《分析学家》，副标题“致不信神的数学家”一书，该书批评微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。
他问道：
无穷小量究竟是不是0？
这个忽儿不是0，忽儿又是0，这不是自相矛盾吗?
尽管一些数学家对贝克莱的攻击进行反驳，但没有在逻辑上说清楚无穷小量引起的数学逻辑基础的混乱，从而导致了历史上的“第二次数学危机”。
这种“无穷小量到底是否为0”的悖论也就是著名的“贝克莱悖论”。
2.2.2第二次危机的解决途径及影响
贝克莱悖论的提出与第二次数学危机的出现，使微积分基础问题引起更大的重视。
十七八世纪，数学家们不顾贝克莱们的挑剔和攻击，受微积分有大用的鼓舞，继续在不牢固的基础上建筑微积分的大厦。
在英国，数学家马克劳林对贝克莱悖论做出最重要的回应。
虽然马克劳林巨大的努力回答了贝克莱的质疑，但在十八世纪的大多数数学家对他这种用几何方法严格论证微积分的工作并不欣赏。
后来欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等为微积分的基础严密化做出重大贡献，但是微积分逻辑基础在十八世纪结束的时候仍然是一个悬而未决的问题。
十九世纪初，许多迫切的问题基本上得到解决，一种追求严密性的风尚开始在数学界蔓延开来。
一些数学家开始沿着正确的途径建立微积分的严格基础。
例如波尔查诺、阿贝尔、柯西、魏尔斯特拉斯等，波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量，而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，并且定义了导数和积分；狄利克雷给出了函数的现代定义；在这些工作的基础上，魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，完成了一套被认为是天衣无缝的ε-N（ε-δ）语言，严格刻划了极限的定义。
人们放弃了无穷小，而以一个无限过程刻划的极限理论统一了导数和积
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