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三维计算几何.docx

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三维计算几何

1.计算几何

1.1注意

1.注意舍入方式（0.5的舍入方向）;防止输出-0.

2.几何题注意多测试不对称数据.

3.整数几何注意xmult和dmult是否会出界;

符点几何注意eps的使用.

4.避免使用斜率;注意除数是否会为0.

5.公式一定要化简后再代入.

6.判断同一个2*PI域内两角度差应该是

abs（a1-a2）pi+pi-beta;

相等应该是

abs（a1-a2）pi+pi-eps;

7.需要的话尽量使用atan2,注意:

atan2（0,0）=0,

atan2（1,0）=pi/2,atan2（-1,0）=-pi/2,atan2（0,1）=0,atan2（0,-1）=pi.

8.crossproduct=|u|*|v|*sin（a）

dotproduct=|u|*|v|*cos（a）

9.（P1-P0）x（P2-P0）结果的意义:

正:

在顺时针（0,pi）内

负:

在逆时针（0,pi）内

0:

,共线,夹角为0或pi

10.误差限缺省使用1e-8!

1.2几何公式

三角形:

1.半周长P=（a+b+c）/2

2.面积S=aHa/2=absin（C）/2=sqrt（P（P-a）（P-b）（P-c））

3.中线Ma=sqrt（2（b^2+c^2）-a^2）/2=sqrt（b^2+c^2+2bccos（A））/2

4.角平分线Ta=sqrt（bc（（b+c）^2-a^2））/（b+c）=2bccos（A/2）/（b+c）

5.高线Ha=bsin（C）=csin（B）=sqrt（b^2-（（a^2+b^2-c^2）/（2a））^2）

6.内切圆半径r=S/P=asin（B/2）sin（C/2）/sin（（B+C）/2）

=4Rsin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）=sqrt（（P-a）（P-b）（P-c）/P）

=Ptan（A/2）tan（B/2）tan（C/2）

7.外接圆半径R=abc/（4S）=a/（2sin（A））=b/（2sin（B））=c/（2sin（C））

四边形:

D1,D2为对角线,M对角线中点连线,A为对角线夹角

1.a^2+b^2+c^2+d^2=D1^2+D2^2+4M^2

2.S=D1D2sin（A）/2

（以下对圆的内接四边形）

3.ac+bd=D1D2

4.S=sqrt（（P-a）（P-b）（P-c）（P-d））,P为半周长

正n边形:

R为外接圆半径,r为内切圆半径

1.中心角A=2PI/n

2.内角C=（n-2）PI/n

3.边长a=2sqrt（R^2-r^2）=2Rsin（A/2）=2rtan（A/2）

4.面积S=nar/2=nr^2tan（A/2）=nR^2sin（A）/2=na^2/（4tan（A/2））

圆:

1.弧长l=rA

2.弦长a=2sqrt（2hr-h^2）=2rsin（A/2）

3.弓形高h=r-sqrt（r^2-a^2/4）=r（1-cos（A/2））=atan（A/4）/2

4.扇形面积S1=rl/2=r^2A/2

5.弓形面积S2=（rl-a（r-h））/2=r^2（A-sin（A））/2

棱柱:

1.体积V=Ah,A为底面积,h为高

2.侧面积S=lp,l为棱长,p为直截面周长

3.全面积T=S+2A

棱锥:

1.体积V=Ah/3,A为底面积,h为高

（以下对正棱锥）

2.侧面积S=lp/2,l为斜高,p为底面周长

3.全面积T=S+A

棱台:

1.体积V=（A1+A2+sqrt（A1A2））h/3,A1.A2为上下底面积,h为高

（以下为正棱台）

2.侧面积S=（p1+p2）l/2,p1.p2为上下底面周长,l为斜高

3.全面积T=S+A1+A2

圆柱:

1.侧面积S=2PIrh

2.全面积T=2PIr（h+r）

3.体积V=PIr^2h

圆锥:

1.母线l=sqrt（h^2+r^2）

2.侧面积S=PIrl

3.全面积T=PIr（l+r）

4.体积V=PIr^2h/3

圆台:

1.母线l=sqrt（h^2+（r1-r2）^2）

2.侧面积S=PI（r1+r2）l

3.全面积T=PIr1（l+r1）+PIr2（l+r2）

4.体积V=PI（r1^2+r2^2+r1r2）h/3

球:

1.全面积T=4PIr^2

2.体积V=4PIr^3/3

球台:

1.侧面积S=2PIrh

2.全面积T=PI（2rh+r1^2+r2^2）

3.体积V=PIh（3（r1^2+r2^2）+h^2）/6

球扇形:

1.全面积T=PIr（2h+r0）,h为球冠高,r0为球冠底面半径

2.体积V=2PIr^2h/3

Euler的任意四面体体积公式（已知边长求体积）

已知4点坐标求体积（其中四个点的坐标分别为（x1,y1,z1）,（x2,y2,z2）,（x3,y3,z3）,（x4,y4,z4））

1.3多边形

#include

#include

#defineMAXN1000

#defineoffset10000

#defineeps1e-8

#definezero（x）（（（x）>0?

（x）:

-（x））

#define_sign（x）（（x）>eps?

1:

（（x）<-eps?

2:

0））

structpoint{doublex,y;};

structline{pointa,b;};

doublexmult（pointp1,pointp2,pointp0）{

return（p1.x-p0.x）*（p2.y-p0.y）-（p2.x-p0.x）*（p1.y-p0.y）;

}

//判定凸多边形,顶点按顺时针或逆时针给出,允许相邻边共线

intis_convex（intn,point*p）{

inti,s[3]={1,1,1};

for（i=0;i

s[_sign（xmult（p[（i+1）%n],p[（i+2）%n],p[i]））]=0;

returns[1]|s[2];

}

//判定凸多边形,顶点按顺时针或逆时针给出,不允许相邻边共线

intis_convex_v2（intn,point*p）{

inti,s[3]={1,1,1};

for（i=0;i

s[_sign（xmult（p[（i+1）%n],p[（i+2）%n],p[i]））]=0;

returns[0]&&s[1]|s[2];

}

//判点在凸多边形内或多边形边上,顶点按顺时针或逆时针给出

intinside_convex（pointq,intn,point*p）{

inti,s[3]={1,1,1};

for（i=0;i

s[_sign（xmult（p[（i+1）%n],q,p[i]））]=0;

returns[1]|s[2];

}

//判点在凸多边形内,顶点按顺时针或逆时针给出,在多边形边上返回0

intinside_convex_v2（pointq,intn,point*p）{

inti,s[3]={1,1,1};

for（i=0;i

s[_sign（xmult（p[（i+1）%n],q,p[i]））]=0;

returns[0]&&s[1]|s[2];

}

//判点在任意多边形内,顶点按顺时针或逆时针给出

//on_edge表示点在多边形边上时的返回值,offset为多边形坐标上限

intinside_polygon（pointq,intn,point*p,inton_edge=1）{

pointq2;

inti=0,count;

while（i

for（count=i=0,q2.x=rand（）+offset,q2.y=rand（）+offset;i

if（zero（xmult（q,p[i],p[（i+1）%n]））&&（p[i].x-q.x）*（p[（i+1）%n].x-q.x）

returnon_edge;

elseif（zero（xmult（q,q2,p[i]）））

break;

elseif（xmult（q,p[i],q2）*xmult（q,p[（i+1）%n],q2）<-eps&&xmult（p[i],q,p[（i+1）%n]）*xmult（p[i],q2,p[（i+1）%n]）<-eps）

count++;

returncount&1;

}

inlineintopposite_side（pointp1,pointp2,pointl1,pointl2）{

returnxmult（l1,p1,l2）*xmult（l1,p2,l2）<-eps;

}

inlineintdot_online_in（pointp,pointl1,pointl2）{

returnzero（xmult（p,l1,l2））&&（l1.x-p.x）*（l2.x-p.x）

}

//判线段在任意多边形内,顶点按顺时针或逆时针给出,与边界相交返回1

intinside_polygon（pointl1,pointl2,intn,point*p）{

pointt[MAXN],tt;

inti,j,k=0;

if（!

inside_polygon（l1,n,p）||!

inside_polygon（l2,n,p））

return0;

for（i=0;i

if（opposite_side（l1,l2,p[i],p[（i+1）%n]）&&opposite_side（p[i],p[（i+1）%n],l1,l2））

return0;

elseif（dot_online_in（l1,p[i],p[（i+1）%n]））

t[k++]=l1;

elseif（dot_online_in（l2,p[i],p[（i+1）%n]））

t[k++]=l2;

elseif（dot_online_in（p[i],l1,l2））

t[k++]=p[i];

for（i=0;i

for（j=i+1;j

tt.x=（t[i].x+t[j].x）/2;

tt.y=（t[i].y+t[j].y）/2;

if（!

inside_polygon（tt,n,p））

return0;

}

return1;

}

pointintersection（lineu,linev）{

pointret=u.a;

doublet=（（u.a.x-v.a.x）*（v.a.y-v.b.y）-（u.a.y-v.a.y）*（v.a.x-v.b.x））

/（（u.a.x-u.b.x）*（v.a.y-v.b.y）-（u.a.y-u.b.y）*（v.a.x-v.b.x））;

ret.x+=（u.b.x-u.a.x）*t;

ret.y+=（u.b.y-u.a.y）*t;

returnret;

}

pointbarycenter（pointa,pointb,pointc）{

lineu,v;

u.a.x=（a.x+b.x）/2;

u.a.y=（a.y+b.y）/2;

u.b=c;

v.a.x=（a.x+c.x）/2;

v.a.y=（a.y+c.y）/2;

v.b=b;

returnintersection（u,v）;

}

//多边形重心

pointbarycenter（intn,point*p）{

pointret,t;

doublet1=0,t2;

inti;

ret.x=ret.y=0;

for（i=1;i

if（fabs（t2=xmult（p[0],p[i],p[i+1]））>eps）{

t=barycenter（p[0],p[i],p[i+1]）;

ret.x+=t.x*t2;

ret.y+=t.y*t2;

t1+=t2;

}

if（fabs（t1）>eps）

ret.x/=t1,ret.y/=t1;

returnret;

}

1.4多边形切割

//多边形切割

//可用于半平面交

#defineMAXN100

#defineeps1e-8

#definezero（x）（（（x）>0?

（x）:

-（x））

structpoint{doublex,y;};

doublexmult（pointp1,pointp2,pointp0）{

return（p1.x-p0.x）*（p2.y-p0.y）-（p2.x-p0.x）*（p1.y-p0.y）;

}

intsame_side（pointp1,pointp2,pointl1,pointl2）{

returnxmult（l1,p1,l2）*xmult（l1,p2,l2）>eps;

}

pointintersection（pointu1,pointu2,pointv1,pointv2）{

pointret=u1;

doublet=（（u1.x-v1.x）*（v1.y-v2.y）-（u1.y-v1.y）*（v1.x-v2.x））

/（（u1.x-u2.x）*（v1.y-v2.y）-（u1.y-u2.y）*（v1.x-v2.x））;

ret.x+=（u2.x-u1.x）*t;

ret.y+=（u2.y-u1.y）*t;

returnret;

}

//将多边形沿l1,l2确定的直线切割在side侧切割,保证l1,l2,side不共线

voidpolygon_cut（int&n,point*p,pointl1,pointl2,pointside）{

pointpp[MAXN];

intm=0,i;

for（i=0;i

if（same_side（p[i],side,l1,l2））

pp[m++]=p[i];

if（!

same_side（p[i],p[（i+1）%n],l1,l2）&&!

（zero（xmult（p[i],l1,l2））&&zero（xmult（p[（i+1）%n],l1,l2））））

pp[m++]=intersection（p[i],p[（i+1）%n],l1,l2）;

}

for（n=i=0;i

if（!

i||!

zero（pp[i].x-pp[i-1].x）||!

zero（pp[i].y-pp[i-1].y））

p[n++]=pp[i];

if（zero（p[n-1].x-p[0].x）&&zero（p[n-1].y-p[0].y））

n--;

if（n<3）

n=0;

}

1.5浮点函数

//浮点几何函数库

#include

#defineeps1e-8

#definezero（x）（（（x）>0?

（x）:

-（x））

structpoint{doublex,y;};

structline{pointa,b;};

//计算crossproduct（P1-P0）x（P2-P0）

doublexmult（pointp1,pointp2,pointp0）{

return（p1.x-p0.x）*（p2.y-p0.y）-（p2.x-p0.x）*（p1.y-p0.y）;

}

doublexmult（doublex1,doubley1,doublex2,doubley2,doublex0,doubley0）{

return（x1-x0）*（y2-y0）-（x2-x0）*（y1-y0）;

}

//计算dotproduct（P1-P0）.（P2-P0）

doubledmult（pointp1,pointp2,pointp0）{

return（p1.x-p0.x）*（p2.x-p0.x）+（p1.y-p0.y）*（p2.y-p0.y）;

}

doubledmult（doublex1,doubley1,doublex2,doubley2,doublex0,doubley0）{

return（x1-x0）*（x2-x0）+（y1-y0）*（y2-y0）;

}

//两点距离

doubledistance（pointp1,pointp2）{

returnsqrt（（p1.x-p2.x）*（p1.x-p2.x）+（p1.y-p2.y）*（p1.y-p2.y））;

}

doubledistance（doublex1,doubley1,doublex2,doubley2）{

returnsqrt（（x1-x2）*（x1-x2）+（y1-y2）*（y1-y2））;

}

//判三点共线

intdots_inline（pointp1,pointp2,pointp3）{

returnzero（xmult（p1,p2,p3））;

}

intdots_inline（doublex1,doubley1,doublex2,doubley2,doublex3,doubley3）{

returnzero（xmult（x1,y1,x2,y2,x3,y3））;

}

//判点是否在线段上,包括端点

intdot_online_in（pointp,linel）{

returnzero（xmult（p,l.a,l.b））&&（l.a.x-p.x）*（l.b.x-p.x）

}

intdot_online_in（pointp,pointl1,pointl2）{

returnzero（xmult（p,l1,l2））&&（l1.x-p.x）*（l2.x-p.x）

}

intdot_online_in（doublex,doubley,doublex1,doubley1,doublex2,doubley2）{

returnzero（xmult（x,y,x1,y1,x2,y2））&&（x1-x）*（x2-x）

}

//判点是否在线段上,不包括端点

intdot_online_ex（pointp,linel）{

returndot_online_in（p,l）&&（!

zero（p.x-l.a.x）||!

zero（p.y-l.a.y））&&（!

zero（p.x-l.b.x）||!

zero（p.y-l.b.y））;

}

intdot_online_ex（pointp,pointl1,pointl2）{

returndot_online_in（p,l1,l2）&&（!

zero（p.x-l1.x）||!

zero（p.y-l1.y））&&（!

zero（p.x-l2.x）||!

zero（p.y-l2.y））;

}

intdot_online_ex（doublex,doubley,doublex1,doubley1,doublex2,doubley2）{

returndot_online_in（x,y,x1,y1,x2,y2）&&（!

zero（x-x1）||!

zero（y-y1））&&（!

zero（x-x2）||!

zero（y-y2））;

}

//判两点在线段同侧,点在线段上返回0

intsame_side（pointp1,pointp2,linel）{

returnxmult（l.a,p1,l.b）*xmult（l.a,p2,l.b）>eps;

}

intsame_side（pointp1,pointp2,pointl1,pointl2）{

returnxmult（l1,p1,l2）*xmult（l1,p2,l2）>eps;

}

//判两点在线段异侧,点在线段上返回0

intopposite_side（pointp1,pointp2,linel）{

returnxmult（l.a,p1,l.b）*xmult（l.a,p2,l.b）<-eps;

}

intopposite_side（pointp1,pointp2,pointl1,pointl2）{

returnxmult（l1,p1,l2）*xmult（l1,p2,l2）<-eps;

}

//判两直线平行

intparallel（lineu,linev）{

returnzero（（u.a.x-u.b.x）*（v.a.y-v.b.y）-（v.a.x-v.b.x）*（u.a.y-u.b.y））;

}

intparallel（pointu1,pointu2,pointv1,pointv2）{

returnzero（（u1.x-u2.x）*（v1.y-v2.y）-（v1.x-v2.x）*（u1.y-u2.y））;

}

//判两直线垂直

intperpendicular（lineu,linev）{

returnzero（（u.a.x-u.b.x）*（v.a.x-v.b.x）+（u.a.y-u.b.y）*（v.a.y-v.b.y））;

}

intperpendicular（pointu1,pointu2,pointv1,pointv2）{

returnzero（（u1.x-u2.x）*（v1.x-v2.x）+（u1.y-u2.y）*（v1.y-v2.y））;

}

//判两线段相交,包括端点和部分重合

intintersect_in（lineu,linev）{

if（!

dots_inline（u.a,u.b,v.a）||!

dots_inline（u.a,u.b,v.b））

return!

same_side（u.a,u.b,v）&&!

same_side（v.a,v.b,u）;

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