黄时中大学物理下册答案.docx
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黄时中大学物理下册答案
黄时中--大学物理下册答案
习题九
一、选择题
9.1关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：
（A）如果高斯面上处处为零，则该面内必无电荷．
（B）如果高斯面内无电荷，则高斯面上处处为零．
（C）如果高斯面上处处不为零，则高斯面内必有电荷．
（D）如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零．
［A（本章中不涉及导体）、D］
9.2有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为
（A）．（B）（C）．（D）
［D］
9.3面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为
（A）（B）（C）（D）
[B]
9.4如题图9.2所示，直线长为，弧是以点为中心，为半径的半圆弧，点有正电荷，点有负电荷．今将一试验电荷从点出发沿路径移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功
（A）A＜0,且为有限常量．（B）A＞0,且为有限常量．
（C）A＝∞．（D）A＝0．［D，］
9.5静电场中某点电势的数值等于
（A）试验电荷q0置于该点时具有的电势能．
（B）单位试验电荷置于该点时具有的电势能．
（C）单位正电荷置于该点时具有的电势能．
（D）把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功．［C］
9.6已知某电场的电场线分布情况如题图9.3所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？
（A）电场强度．（B）电势．
（C）电势能．（D）电场力的功A＞0．
［C］
二、计算题
9.7电荷为和的两个点电荷分别置于和处．一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？
x
解：
设试验电荷置于x处所受合力为零，根据电力叠加原理可得
即：
。
因点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不
长为的等边三角形。
已知处场强方向垂直于，求:
和间的关系。
解：
如图建立坐标系。
根据题意可知
。
9.10如题图9.6所示，一电荷面密度为的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．
解：
电荷面密度为的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为：
。
以图中O点为圆心，取半径为的环形面积，其电量为。
它在距离平面为a的一点处产生的场强
则半径为的圆面积内的电荷在该点的场强为
由题意，，得到
，
。
9.11如题图9.7所示，一均匀带电直导线长为，电荷线密度为。
过导线中点作一半径为[]的球面，为带电直导线的延长线与球面的交点。
求：
（1）、通过该球面的电场强度通量。
（2）、处电场强度的大小和方向。
解：
（1）利用静电场的高斯定理即可得：
。
（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。
在带电导线上坐标为处取长度为的带电元，其所带电荷量为，在点产生的电场强度为
点的电场强度为
9.12题图9.8中，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：
，,。
高斯面边长a＝0.1m，常量b＝1000N/（C•m）．试求该闭合面中包含的净电荷．（真空介电常数＝8.85×10-12C2•N-1•m-2）
解：
设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得：
则
9.13体图9.9所示，有一带电球壳，内、外半径分别为、，电荷体密度为，在球心处有一点电荷。
证明：
当时，球壳区域内电场强度的大小与半径无关。
证：
用高斯定理求球壳内场强：
而
要使的大小与无关，则应有：
，即。
9.14如题图9.10所示，一厚为的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为（），式中为一正的常量．求：
（1）平板外两侧任一点和处的电场强度大小；
（2）平板内任一点处的电场强度；
（3）场强为零的点在何处？
解：
（1）由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为．作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S，如图所示．
按高斯定理，即：
得到：
，（板外两侧）
（2）过点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该处场强为，如图所示．按高斯定理有：
得到：
（）
（3），必须是，可得。
9.15一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体挖去半径为的一个小球体，球心为，两球心间距离，如题图9.11所示。
求：
（1）在球形空腔内，球心处的电场强度；
（2）在球体内点处的电场强度。
设、、三点在同一直径上，且。
解：
挖去电荷体密度为的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场，而另在挖去处放上电荷体密度为的同样大小的球体，求出电场，并令任意点的场强为此二者的矢量叠加，即：
。
在图（a）中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，则可求出O与P处场强的大小。
得：
方向分别如图所示。
在图（b）中，以点为小球体的球心，可知在点.又以为心，为半径作球面为高斯面可求得P点场强。
，
（1）求点的场强。
由图（a）、（b）可得
，方向如图（c）所示.
（2）求P点的场强.由图（a）、（b）可得
方向如（d）图所示.
9.16如题图9.12所示，两个点电荷＋q和－3q，相距为d.试求：
（1）在它们的连线上电场强度的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？
（2）若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？
解：
设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线．
（1）设的点的坐标为，则
解出：
另有一解不符合题意，舍去．
（2）设坐标x处，则
得：
9.17一均匀静电场，电场强度，空间有两点和，（以米计）。
求两点之间的电势差。
解：
空间某点的位矢表示为，则
9.18题图9.13所示，为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为，为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．
解：
在任意位置x处取长度元，其上带有电荷。
它在O点产生的电势
O点总电势：
9.19题图9.14所示，电荷q均匀分布在长为的细杆上。
求
（1）、在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势（设无穷远处为电势零点）。
（2）、杆的中垂线上与杆中心距离为a的P点的电势。
（设无穷远处为电势零点）．
解：
（1）设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示．
细杆的电荷线密度，在x处取电荷元，它在P点产生的电势为
整个杆上电荷在P点产生的电势：
（2）设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示.
杆的电荷线密度．在x处取电荷元，它在P点产生的电势
整个杆上电荷产生的电势：
9.20两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03m和R2＝0.10m．已知两者的电势差为450V，求内球面上所带的电荷．
解：
设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为
（R1＜r＜R2）
两球的电势差：
∴＝2.14×10-9C
9.21电荷以相同的面密度分布在半径为r1＝10cm和r2＝20cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300V．［＝8.85×10-12C2/（N•m2）］
（1）求电荷面密度．
（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？
解：
（1）球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即
＝8.85×10-9C/m2
（2）设外球面上放电后电荷面密度为，则应有：
即：
外球面上应变成带负电，共应放掉电荷：
＝6.67×10-9C
9.22如题图9.15所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）．
解：
设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元，其上电荷为，
该线元在带电球面的电场中所受电场力为：
整个细线所受电场力为：
，方向沿x正方向．
电荷元在球面电荷电场中具有电势能：
整个线电荷在电场中具有电势能：
9.23一真空二极管，其主要构件是一个半径R1＝5×10-4m的圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2＝4.5×10-3m的同轴圆筒形阳极B，如题图9.16所示．阳极电势比阴极高300V，忽略边缘效应.求电子刚从阴极射出时所受的电场力．（基本电荷e＝1.6×10-19C）
解：
与阴极同轴作半径为r（R1＜r＜R2）的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为．按高斯定理有：
即两极间的电场强度可表示为：
，（R1＜r＜R2），
的方向沿半径指向轴线．两极之间电势差
所以，两极间的电场强度为：
在阴极表面处电子受电场力的大小为
＝4.37×10-14N
方向沿半径指向阳极．
9.24题图9.17为一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？
求这个最小电场强度的大小．
解：
设内球壳带电量为，则根据高斯定理可得出两球壳之间半径为的同心球面上各点电场强度的大小为
内外导体间的电势差：
当内外导体间电势差为已知时，内球壳上所带电荷即可求出为：
内球表面附近的电场强度大小为：
欲求内球表面的最小场强，令，则
得到：
并有
可知这时有最小电场强度：
9.25题图9.18所示，一半径为R的“无限长”圆柱形带电体，电荷体密度为（），式中A为常量．求：
（1）圆柱体内、外各点场强大小分布；
（2）选与圆柱轴线的距离为l（l＞R）处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布．
解：
（1）取半径为r、高为h的高斯圆柱面（如图所示）．面上各点场强大小为E并垂直于柱面．则穿过该柱面的电场强度通量为：
为求高斯面内的电荷，时，取一半径为，厚、高的圆筒，其电荷为：
则包围在高斯面内的总电荷为
由高斯定理得：
解出：
（）
时，包围在高斯面内总电荷为：
由高斯定理：
解出：
（）
（2）计算电势分布
当时：
当时：
9.26已知某静电场的电势函数（SI）．求点（4，3，0）处的电场强度各分量值．
解：
由场强与电势梯度的关系式得
=-1000V/m；；
9.27如题图9.19所示，在电矩为的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，电偶极子正负电荷之间距离）移到B点，求此过程中电场力所作的功。
解：
用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势
式中为从电偶极子中心到场点的矢径．于是知A、B两点电势分别为
；
q从A移到B电场力作功（与路径无关）为
三、小论文写作练习
1、讨论电势零点的选择问题。
2、利用Mathematica软件画电偶极子的电场线和等势面分布图。
习题十
一、选择题
10.1当一个带电导体达到静电平衡时：
（A）表面上电荷密度较大处电势较高
（B）表面曲率较大处电势较高．
（C）导体内部的电势比导体表面的电势高．
（D）导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零．［D］
10.2在一个孤立的导体球壳内，若在偏离球中心处放一个点电荷，则在球壳内、外表面上将出现感应电荷，其分布将是：
（A）内表面均匀，外表面也均匀．
（B）内表面不均匀，外表面均匀．
（C）内表面均匀，外表面不均匀．
（D）内表面不均匀，外表面也不均匀．［B］
10.3在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分布．如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现：
（A）球壳内、外场强分布均无变化．
（B）球壳内场强分布改变，球壳外不变．
（C）球壳外场强分布改变，球壳内不变．
（D）球壳内、外场强分布均改变．［B］
10.4选无穷远处为电势零点，半径为R的导体球带电后，其电势为，则球外离球心距离为处的电场强度的大小为
（A）．（B）．（C）．（D）．［C］
10.5如题图10.1所示，一厚度为的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为，则板的两侧离板面距离均为的两点a、b之间的电势差为：
（A）0．（B）．（C）．（D）．［A］
10.6一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R．在腔内离球心的距离为处（）固定一点电荷，如题图10.2所示.用导线把球壳接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心处的电势为
（A）0．（B）．（C）．（D）［D］
10.7关于的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？
（A）高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量为零．
（B）高斯面上处处为零，则面内必不存在自由电荷．
（C）高斯面的通量仅与面内自由电荷有关．
（D）以上说法都不正确．［C］
10.8静电场中，关系式
（A）只适用于各向同性线性电介质．
（B）只适用于均匀电介质．
（C）适用于线性电介质．
（D）适用于任何电介质．［D］
10.9一导体球外充满相对介电常量为的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度为：
（A）（B）（C）（D）［B］
10.10一平行板电容器中充满相对介电常量为的各向同性均匀电介质．已知介质表面极化电荷面密度为，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：
（A）．（B）．（C）．（D）．［A］
10.11一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强度为，电位移为，而当两极板间充满相对介电常量为的各向同性均匀电介质时，电场强度为，电位移为，则
（A），．（B），．
（C），．（D），．［B］
10.12如题图10.3所示,一球形导体，带有电荷q，置于一任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将
（A）增大．（B）减小．
（C）不变．（D）如何变化无法确定．［B］
二、计算题
10.13如题图10.4所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷，在球壳空腔内距离球心处有一点电荷．设无限远处为电势零点，试求：
（1）球壳内外表面上的电荷．
（2）球心点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．
（3）球心点处的总电势．
解：
（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷，外表面上带电荷．
（2）不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离点的距离都是a，所以由这些电荷在点产生的电势为
（3）球心点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷在点产生的电势的代数和
10.14有一"无限大"的接地导体板，在距离板面处有一电荷为的点电荷．如题图10.5（a）所示，试求：
（1）导体板面上各点的感生电荷面密度分布（参考题图10.5（b））；
（2）面上感生电荷的总电荷（参考题图10.5（c））。
解：
（1）选点电荷所在点到平面的垂足为原点，取平面上任意点P，P点距离原点为，设P点的感生电荷面密度为．在P点左边邻近处（导体内）场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，
（2）以点为圆心，为半径，为宽度取一小圆环面，其上电荷为
总电荷为
10.15如题图10.6所示，中性金属球A，半径为R，它离地球很远．在与球心相距分别为a与b的B、C两点，分别放上电荷为和的点电荷，达到静电平衡后，问：
（1）金属球A内及其表面有电荷分布吗？
（2）金属球A中的P点处电势为多大？
（选无穷远处为电势零点）
解：
（1）静电平衡后，金属球内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净带电荷为零．
（2）金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为．
∵
∴
10.16三个电容器如题图10.7联接，其中，，，当A、B间电压时，试求：
（1）A、B之间的电容；
（2）当被击穿时，在电容上的电荷和电压各变为多少？
解：
（1）
（2）上电压升到，电荷增加到
10.17一个可变电容器，由于某种原因所有动片相对定片都产生了一个相对位移，使得两个相邻的极板间隔之比为，问电容器的电容与原来的电容相比改变了多少？
解：
如图，设可变电容器的静片数为，定片数为，标准情况下，极板间的距离为[图a]，极板相对面积为。
则该电容器组为个相同的平行板电容器并联[图a]。
总电容为。
当动片由于某种原因发生相对位移而使相邻的极板间隔变为后，总电容为：
所以电容增加了：
10.18一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度＝1.77×10-6C/m2．将极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为的各向同性均匀电介质板．计算电介质中的电位移、场强和电极化强度的大小。
（真空介电常量＝8.85×10-12C2/N•m2）
解：
由的高斯定理求得电位移的大小为
由的关系式得到场强的大小为
＝2.5×104V/m
介质中的电极化强度的大小为
10.19如题图10.8所示，一空气平行板电容器，极板面积为，两极板之间距离为，其中平行地放有一层厚度为（、相对介电常量为的各向同性均匀电介质．略去边缘效应，试求其电容值。
解：
设极板上的自由电荷面密度为．应用的高斯定理可得两极板之间的电位移大小为
由得：
空气中的电场强度大小为；电介质中的电场强度的大小为。
两极板之间的电势差为
电容器的电容为
作法二：
看成二个电容串联，，，则
10.20一平行板电容器，极板间距离为10cm，其间有一半充以相对介电常量的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如题图10.9所示．当两极间电势差为100V时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量。
解：
设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为、和、，则
（1）
（2）
（3）
联立解得
；
方向均相同，由正极板垂直指向负极板．
10.21一导体球带电荷，放在相对介电常量为的无限大各向同性均匀电介质中．求介质与导体球的分界面上的束缚电荷。
解：
导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上．以为半径作一同心高斯球面．按的高斯定理，可求出介质内半径的同心球面上各点电位移的大小
介质与导体球的分界面上各点的电场强度大小为
电极化强度的大小为
极化电荷面密度为
分界面上的束缚电荷为
10.22半径为的介质球，相对介电常量为、其自由电体荷密度，式中为常量，是球心到球内某点的距离．试求：
（1）介质球内的电位移和场强分布．
（2）在半径多大处场强最大？
解：
（1）在介质中，取半径为的同心薄壳层，其中包含电荷
取半径为的同心球形高斯面，应用的高斯定理，
则介质内半径为的球面上各点的电位移为：
，（为径向单位矢量）
介质内半径为的球面上各点的电场为
，
（2）对求极值
得，且因，所以处最大。
10.23如题图10.10，一各向同性均匀电介质球，半径为R，其相对介电常量为，球内均匀分布有自由电荷，其体密度为．求球内的束缚电荷体密度和球表面上的束缚电荷面密度。
解：
∵介质是球对称的，且均匀分布，∴，也必为球对称分布．因而电场必为球对称分布．用的高斯定理，可求得半径为的同心球面上
；；
在介质内，取半径间的球壳为体元，则可求出介质内极化电荷体密度
略去的高次项，则
，（与异号）
介质表面极化电荷面密度：
（与同号）．
10.24如题图10.11所示，一平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为，中间充满介电常量按规律变化的电介质。
在忽略边缘效应的情况下，试计算该电容器的电容。
解：
设两极板上分别带自由电荷面密度，则介质中的电场强度分布为
两极板之间的电势差为
该电容器的电容值为
10.25如题图10.12所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为，外筒半径为，筒长都是，中间充满相对介电常量为的各向同性均匀电介质。
内、外筒分别带有等量异号电荷和．设，，可以忽略边缘效应，求：
（1）圆柱形电容器的电容；
（2）电容器贮存的能量．
解：
（1）、由题给条件（和，忽略边缘效应，应用高斯定理可求出两筒之间的场强为
两筒间的电势差
电容器的电容
（2）、电容器贮存的能量。
10.26两个相同的空气电容器，其电容都是，都充电到电压各为后断开电源，然后把其中之一浸入煤油（中，然后把两个电容器并联，求
（1）、浸入煤油过程中损失的静电能；
（2）、并联过程中损失的静电能。
解：
（1）电容器浸入煤油前的能量为
浸入煤油后，电容器的能量
在此过程中损失的能量为。
（2）、并联前，两个电容器的总能量为
并联后的总电容。
并联电容器上的总电量
并联后电容器的总能量为
并联过程中损失的能量为。
10.27电容的电容器在的电势差下充电，然后切断电源，并将此电容器的两个极板与原来不带电、的电容器的两极板相连，求：
（1）、每个电容器极板所带的电荷量；
（2）、连接前后的静电能。
解：
1）、电容器的总电荷量为：
设两个电容器极板所带的电荷量分别为和，则由，
得：
，
2）、连接前的静电场
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