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定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用
摘要：
定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。
文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。
关键词：
定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余
引言
积分学是微分学和积分学的总称。
由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。
可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。
微积分是与应用联系着并发展起来的。
定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。
本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1利用定积分求原经济函数问题
在经济管理中,由边际函数求总函数（即原函数）,一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。
可以求总需求函数,总成本函数,总收入函数以及总利润函数。
设经济应用函数u（x）的边际函数为u（x）,则有
x
u（x）u（0）u（x）dx
例1生产某产品的边际成本函数为c（x）3x214x100,固定成本C（0）=10000,求出生产x个产品的总成本函数。
解总成本函数
x
c（x）c（0）c（x）dx
x2
=10000（3x214x100）dx
=10000[x3_7x2100x]|0x
=10000x37x2100x
2利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量,则直接采用定积分来解决。
例2已知某产品总产量的变化率为Q（t）4012t（件/天）,求从第5天到第10天产品的总产量。
解所求的总产量为
0
Q5Q（t）dt
10
5（2012t）dt（40t6t2）|510（400600）（200150）650（件）
3
例3设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为c01000元,产品单价规定为500元。
假设生产出的产品能完全销售,
问生产量为多少时利润最大?
并求出最大利润
x
解总成本函数为c（x）（1002t）dtc（0）
=100xx21000
400xx21000
总收益函数为R（x）=500x总利润函数为L（x）=R（x）-C（x）=
L=400-2x令L=0,得x=200因为L（200）<0
所以,生产量为200单位时,利润最大。
最大利润为L（200）=400200-2002-1000=39000（元）。
例4某企业生产x吨产品时的边际成本为c（x）1x30（元/50
吨）。
且固定成本为900元,试求产量为多少时平均成本最低?
解：
首先求出成本函数
得平均成本函数为
求一阶导数
令c0,解得x1300（x2=-300舍去）。
因此,c（x）仅有一个驻点x1=300,再由实际问题本身可知c（x）有最小值,故当产量为300吨时,平均成本最低。
例5、某煤矿投资2000万元建成，在时刻t的追加成本和增加收益分别
/3
C/（t）62t3
为2（百万元/年）
R/（t）18t3试确定该矿的何时停止生产可获得最大利润？
最大利益是多少？
解：
有极值存在的必要条件R/（t）C/（t）0，即
22
33
18t3（62t3）0
可解得t=8
12
R//（t）C//（t）2t34t3
33
R//（t）C//（t）0
故t*=8时是最佳终止时间，此时的利润为
8//
L0[R/（t）C/（t）]dt20
22
833
0[（18t3）（62t3）]dt20
5
938
（12tt）|8020
5
38.420
18.4
因此最大利润为18.4百万元
4利用定积分求消费者剩余与生产者剩余
在经济管理中,一般说来,商品价格低,需求就大;反之,商品价格高,需求就小,因此需求函数Q=f（P）是价格P的单调递减函数。
同时商品价格低,生产者就不愿生产,因而供给就少;反之,商品价格高,供给就多,因此供给函数Q=g（P）是价格P的单调递增函数。
由于函数Q=f（P）与Q=g（P）都是单调函数,所以分别存在反函数P=f1（Q）与P=g1（Q）,此时函数P=f1（Q）也称为需求函数,而P=g1（Q）也称为供给函数。
需求曲线（函数）P=f1（Q）与供给曲线（函数）P=g1（Q）的交点A（P*,Q*）称为均衡点。
在此点供需达到均衡。
均衡点的价格P*称为均衡价格,即对某商品而言,顾客愿买、生产者愿卖的价格。
如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格（如均衡价格）购得某种商品,由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。
假设消费者以较高价格P=f1（Q）购买某商品并情愿支付,Q*为均衡商品量,则在[Q,Q+Q]内消费者消费量近似为f1（Q）Q,故消费者的总消费量为0f1（Q）dQ,它是需求曲线P=f1（Q）在Q与Q*之间的曲边梯形OQ*Ap1的面积,如图
如果商品是以均衡价格P*出售,那么消费者实际销售量为P*Q*,因此,消费者剩余为
Q*
f（Q）dQp*Q*
它是曲边三角形P*AP1的面积。
如果生产者以均衡价格P*出售某商品,而没有以他们本来计划的以较低的售价Pg1（Q）出售该商品,由此所获得的额外收入,称它为生产者剩余。
同理分析可知:
P*Q*是生产者实际出售商品的收入总额,Q*
0Qg1（Q）dQ是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总
额,故生产者剩余为
**Q*1
P*Q*g1（Q）dQ
它是曲边三角形p0Ap*的面积。
例6设某产品的需求函数是P=300.2Q。
如果价格固定在每件10元,试计算消费者剩余。
解已知需求函数P=f1（Q）300.2Q,
首先求出对应于P*=10的Q*值,令300.2Q=10,得Q*=10000于是消费者剩余为
Q*1**
0f1（Q）dQP*Q*
15
=（30Q-2Q2）|100000100000
=66666.67（元）。
例7设某商品的供给函数为P=250+3Q+0.01Q2,如果产品的单价为425元,计算生产者剩余。
解首先求出对应于p*=425的Q*的值,
令425=250+3Q+0.01Q2,得一正解Q*=50,于是生产者剩于为
**Q*1
p*Q*g1（Q）dQ
=4583.339（元）
10%.根据公司以往的经验,广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线1106e0.02t（t以月为单位）,公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为1.3105美元的广告活动.按惯例,对于超过1106美元的广告活动,如果新增销售额产生的利润超过广告投资的10%,则决定做广告。
试问该公司按惯例是否应该做此广告?
解由公式知,12个月后总销售额是当t=12时的定积分
即总销售额=
01000000e0.02tdt1000000e|102
00.020
50000000e0.2411356000（美元）
公司的利润是销售额的10%,所以新增销售额产生的利润是
0.10（1356000012000000）156000（美元）
156000美元利润是由花费130000美元的广告费而取得的,因此,广告所产生的实际利润是156000-130000=26000（美元）这表明赢利大于广告成本的10%,故公司应该做此广告。
6利用定积分计算资本现值和投资若有一笔收益流的收入率为f（t）,假设连续收益流以连续复利率r计息,从而总现值y=Tf（t）ertdt。
例9现对某企业给予一笔投资A,经测算,该企业在T年中可以按每年a元的均匀收入率获得收入,若年利润为r,试求:
（1）该投资的纯收入贴现值;
（2）收回该笔投资的时间为多少?
解
（1）求投资纯收入的贴现值:
因收入率为a,年利润为r,故投资后的T年中获总收入的现值为
从而投资所获得的纯收入的贴现值为
RyAa（1erT）A
r
（2）求收回投资的时间:
收回投资,即为总收入的现值等于投资。
由a（1erT）A得T=1lna
rraAr
即收回投资的时间为T=1lna
raAr
例如,若对某企业投资A=800（万元）,年利率为5%,设在20年中的均匀收入率为a=200（万元/年）,则有投资回收期为1200
Tln
0.052008000.05
=20ln1.25
4.46（年）
由此可知,该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元,投资回收期约为4.46年.
例10,投资成本为A=10000（万元）,投资
年利率为5%,每年的均匀收入率为a=2000（万元）,求该投资为无限期时的纯收入的贴现值（或称为投资的资本价值）.
解由已知条件收入率为a=2000（万元）,年利率r=5%,故无限期的投资的总收入的贴现
y0aertdt
2000e0.05tdt
bLimb2000e0.05tdt
0
20000.05bbLim1eb0.05
1
2000
0.05
=40000（万元）从而投资为无限期时的纯收入贴现值为R=y-A=40000-10000=30000（万元）=3亿元.
例11一对夫妇准备为孩子存款积攒学费,目前银行的存款的年利率为5%,以连续复利计算,若他们打算10年后攒够5万元,计算这对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱?
解设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A元（即存款流为f（t）=A）,使得10年后存款总额的将来值达到5万元,由公式得
10
Ae0.02（10t）dt50000
100.2
又10Ae0.02（10t）dtAe1
00.02
得A500000.20.024517（元）。
e1
即这对夫妇每年应等额地存入4517元,10年后才能为孩子攒够5万元的学费。
总结定积分在数学中占主导地位。
同时，它和经济学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分,定积分还有很多在经济学中的应用之处。
只要勤于学习,善于思考,勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力,同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。
参考文献[1]误传生，《经济数学—微积分》，高等教育出版社，2003
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[7]白银凤罗蕴玲,《微积分及其应用》,高等教育出版社
Theapplicationofdefiniteintegralintheeconomics
Abstract:
Definiteintegralisanessentialofcalculus,anditisalsoanimportantmeanstosolvemanypracticalproblemsDefiniteintegralisappliedineconomicswidely,andisabundantincontent.Inthispaper,theapplicationofdefiniteintegralinsuchcasesasaggregateproductionsfunction,investmentstrategy,consumerssurplusandproducerssurplus,isillustratedwithspecificexamples.
KeyWords:
definiteintegra;theorginalfunction;margrnalfunctions;minimumandmaximum;aggregateproductionfuncion,investment;surplus.
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