不等式的证明方法综述.docx

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不等式的证明方法综述

1引言1

2文献综述1

2.1国内外研究现状1

2.2国内外研究现状评价2

2.3提出问题2

3预备知识2

4不等式的概率证法3

4.1概率方法中利用事件的性质来证明的一类不等式3

4.2概率方法中运用数学期望来证明的一类不等式5

5结论16

5.1主要发现16

5.2启示16

5.3局限性17

5.4努力方向17

参考文献18

1引言

不等式的证明方法很多，技巧也很灵活，可以用初等数学的方法证明，也可以用高等数学的方法证明，不少问题需要几种方法综合使用才能解决．而概率论作为数学领域中的一个重要分支，与数学各个分支之间有着广泛的联系，因此通过不等式来探讨它们之间的内在联系具有十分重要的意义．[1]本文就利用了概率空间中所对应的形式来证明数学中一类常见的不等式，用以显示概率论思想在解决某些数学问题时所具有的独特而简洁的功效.[2]运用概率论方法证明不等式的关键是根据不同的数学问题建立相应的随机概率模型，然后利用函数、概率之间的相关性质作出问题的解答．[3]本文较全面的总结了用概率思想证明不等式的几种方法，为不等式的证明提供了一些具有概率背景的思路和方法.

2文献综述

2.1国内外研究现状

概率论的发展是建立在微积分的基础之上的，微积分的思想方法渗透在概率论的各个方面，没有微积分的推动就没有概率论的理论和系统化，概率论就难以形成一门独立的学科．概率论已广泛应用在社会经济生活的各个领域，同时在高等数学的教学过程中，把概率论的思想方法渗透到不等式的证明中以是重要研究方向之一．现查阅到的国内外参考文献[1-15]中，王林书在文献[1]中介绍了概率的相关知识，但用概率来证明不等式只是提到，未进行研究；华东师大数学系编的数学分析上册（第三版）即文献[2]中也只是提到了用概率来证明不等式的思想；李子强、茆诗松等2人分别在文献[3-4]中都介绍了概率的一些知识；王利霞、黄旭玲等2人分别在文献[5-6]中研究了概率方法在证明一些不等式等数学问题中的巧妙应用；侯茂文在文献[7]中研究了一类与凸函数有关的不等式的概率证法；钱小燕在文献[8]中研究了数学分析中一些著名不等式和极限式的概率证法；李智明在文献[9]中介绍了概率方法在其他数学问题中的应用；戴朝寿、林正炎、刘南山、刘龙章、贾兆丽等5人分别文献[9-14]中不同程度研究了不等式的概率证法；翁耀明在文献[15]中对不等式的概率证法给出了相应的理论方法并给出了一些应用，但研究都集中在比较简单的情形，对较一般的一类不等式并没有进行深入的研究．这些文献大多集中在概率论在一类不等式证明中的理论研究，并没有对其应用加以系统的阐述．

2.2国内外研究现状评价

在查阅到的国内文献［1-15］中，国内外研究比较多的是概率论在一类特殊不等式证明中的理论方法和应用的研究，而对于在解决高等数学中较一般的一类不等式的证明并没有进行太多的研究，并且这方面的资料极少，研究也不是很深入，因此，对概率论方法在一类不等式证明中的研究有着重要的意义.

2.3提出问题

概率论是对随机现象统计规律演绎的研究，随机现象的普遍性使得概率论具有极其

广泛的应用，而不等式的证明是数学中常见的问题，也始终是数学中的难点，因此,

为了解决一类不等式的证明问题，本文运用了一种巧妙的方法——概率方法•即根据不等式的主要特征结合概率论的一些基本概念和公式，通过建立一个适当的概率模型，赋予一些随机事件或随机变量的具体涵义，再利用概率论的理论加以证明，从而使一类不等式的证明大大简化.

3预备知识

（1）联合密度函数［4］

当随机变量X,Y相互独立时，我们规定

p（x,y）二px（x）PY（y）.

为其联合密度函数（其中pX（x）,pY（y）分别为X,Y的边际密度函数）.

（2）数学期望⑷

当y=f（x）时,

当Z二g（X,Y）时

□0

、f（xJ・pi,X为离散型

..'f（x）p（x）dx，X为连续型

Q0Q0

E（ZVvg（Xi,yJp（Xiy），（X,Y）为离散型

E（Y）二

E（Z）i“g（x,y）p（x,y）dxdy，（X,Y）为连续型.

（3）詹森Jensen不等式⑷

若f（x）为a,b上的连续凸函数，则对任意xr［a,b］「0（i=1,2,…,n）,「

f（X，訂Xi）_'■if（Xi）.

（4）随机变量概率分布的性质

若X为",F,P上的随机变量，f（x）为定义在某区间a,b1上的连续凸函数，则X

的数学期望的函数值小于等于其函数值f（x）的数学期望，即

f（E（X）HE（f（x））.

若f（x）为定义在某区间a,b】上的连续凹函数，则x的数学期望的函数值大于等于

其函数值f（x）的数学期望，即

（5）施瓦茨（Schwarz）不等式[5]

设X,Y的数学期望和方差都存在，则l-E（XY）F

（6）对随机变量X，当E（X）存在时，有E（X2）_〔E（X）P.

（7）对任意两个事件代B若AB，则P（A）乞P（B）.

（8）对任意两个事件代B，P（AB）=P（A）•P（B）-P（AB）.

4不等式的概率证法

命题1.

21sin：

cos：

4.1概率方法中利用事件的性质来证明的不等式

•2cos（：

-）

而

31JI

cos—sin：

sin—

sink"cos：

J/江

证法一：

要证-1，即证V2cos（a-一）兰1+sin口cos。

1+sin。

cos。

又因为

1sin：

cos-（sin*亠cos：

）

=1—cost"sin_：

i（cos：

-1）=（1一cos_：

匚）（1一sin_：

i）_0.

所以

1sin:

cos;-sint11cos：

（1）

即得

.2cos（:

--“）乞1sin：

cos工.

r~JI

•、2cos（）即久胡.

1+sinacos。

证法二：

由方法一中的

（1）我们已经知道要证明结论成立，只需证明

cos：

，

cost"sin：

-sin:

cos：

_1.

我们先建立一个概率模型，设事件A,B相互独立，且事件A发生的概率为

事件B发生的概率为sin：

•，即卩

P（A）=cos=，P（B）=sin=.

P（AB）=P（A）P（B）_P（AB）.

而因为代B事件相互独立，所以

P（AB）=P（A）P（B）.

又因为P（AB）叮所以

P（A）P（B）-P（AB）二P（A）P（B）-P（A）P（B）_1.

即

cos-：

〉-sin：

-sin:

cos：

-1.

结论得证

命题2.若x,y,z,w都是大于等于0小于等于1的数，则有

（xy_xy）（zw-zw）丄xzyw-xyzw.

证法一：

因为

（xy_xy）（zw-zw）二xzzw-xzwyzyw_yzw-xyz-xywxyzw

=xzyw-xyzwxw（1_z）（1_y）yz（1_x）（1_w）_xzyw「xyzw.

所以结论即证

证法二：

通过观察要证的不等式，我们可以发现很像是概率的一些运算，所以我们想到构造这样的概率事件，设代B,C,D是概率分别为x,y,z,w的相互独立的事件，则由概率中事件之间的关系及运算得：

（AB）（CD）=ACADBCBD二ACBD.

又P（ACBD）^P（（AB）（CD））.

又因为代B,C,D是相互独立的事件，得

P（AB）=P（A）P（B）_P（AB）=xy_xy.

P（CD）=zw-zwP（ACBD）=xz+yw—xyzw.

P（（AB）（CD））=P（AB）P（CD）.

同理可得

而

因此

xzyw-xyzw乞（xy-xy）（zw-zw）.

从这两个例子中我们看到，尽管普通运算可能在步骤上简单些，但适当的使用概率方法使得解题思路很清晰、简洁，把抽象的数学问题具体化，具有创造性.

4.2概率方法中运用数学期望来证明的一类不等式

1n1n

命题3.*a（a2■--an兰一送a^J-Zai2

nyVny

证法一：

先证明不等式的前半部分，设f（x）=-ln（x），因为f”（x）=20所以

f（x）为连续的凸函数，由詹森不等式得’iXj岂V，if（Xi）

i#i=1

令x-aii=1,2,…，n，贝U

111111

-In（—aja2an）_-（InajIna2an）.

nnnnnn

即

ln（―⑻a2爲…质an））_In（口忌…an）.

所以

—（a〔*a2*■■■*anATa〔a2■■£n・n

再证明不等式的后半部分

一丄（a：

a2亠亠a；）,即

要证Ua：

「Ca2，即证-（a1a^an）

ny¥ny]n

（a1a2an）..222

a1a^■an・

（a1a^an）

222

-a-ia2亠亠an2a1a^亠2aan亠亠2an」an

222222222

+…+an+&+a?

+…+a1+a*+…+an_（+a“=n（a；a；*2）

后半部分得证，所以

（1n'T-"

nda?

…a.a^a：

•

ni仝\ni二

证法二：

与证法一类似，先证明不等式的前半部分再证后半部分，先构造离散的随机变量X，设其概率函数为

P（x=ai），i=1,2,;n.

则X的数学期望为

a1+a2

E（X）二

设f（x）=ln（x）,（x0）则f（x）的数学期望为

E（f（x））

_InaIna2Inan

因为f（X）J-2<0所以f（x）为连续的凹函数，故有

E（f（x））乞f（E（X））.

即

Ina!

Ina2梟“沱Inan,za.a2汇“;：

>anx

-2丄乞In（—12-）.

所以

二a.+…怜

aia2…ann'

后半部分的证明：

因为

222

2a.+a?

+■■■+an

E（X2）12n

a^an）乞丄佝2a；』；）.

」n

根据e（x2）_E（X）F,得

申a1

即

所以

n现…a.乞、'ai

ni=1

命题4.（柯西不等式）「XjyJ2乞「Xi2）「y：

）.

i#i=1im

证法一：

令f（x）=-1n（x），因为在X0时f（x）为连续的凸函数，由詹森不等式知

fCiXi）S'if（Xi）.

idiA

令^2，得

-1n（［捲’2x2）-In捲-21nx2。

即

x1乂2-必2x2.

令

-1=?

—J

X1=

任Xi2）2

i=1

则

_n，

寸2

込Xi

任

Yi2）2

寸2

送Yi

•

i=1

x2x1

1X2.

所以

）2

（Yi

iz4

XiYi

Xi22

Yi2

2yi

两边同时让i从1加到n时不等式的右边为1,得

'XiYi

i=1

1<1，所以,

2引

”nR

ZYi2

Xi21

八仝丿

nn]n]

'KYi空（Cx：

））2（Cyi））2

i=1i=1i=1

nnn

即得rXiYi）2乞LXi2）「Yi2）.

iAiAi=1

证法二：

先构造一个二维的随机变量X,Y它的联合分布为

由离散随机变量函数的数学期望的公式得

E（XY）二為XiYiP（XiYi）='

nXiYi

i4n

』XiYi.

ni丄

x2，Y2的数学期望分别为E（X2H-Xi2

E（Y）

Yi.

ni」

由施瓦茨不等式E（XY）f岂E（x2）E（Y2）,

XYi

ni4

i=4

/）（'Yi2）.

i=1

所以

2）（7

Yi2）.

命题5.（Holder不等式）设

ai1,ai2，…,ain

i=1,2,…,n

是n组正数，Pj0

（k

、

rk、

PcP1cP2—Pn-

La1ja2j…anj—

a1j

a2j

***

Lanj

j二

甘丿

证法一：

令f（x）—-In（x）（

0）

则

f（x）-

扛。

，

，则

所以f（x）为连续的凸

j=1,2,,n且P1p^Pn=1

函数，由詹森不等式

）八，if（Xi），有

送丸iXi[<-

2丿<

-In

E人iInXjL

In迟人XiH瓦人Inxi

丿li#

ki=1

j-'Inxi.丿i#

所以送mx/x?

i=1

令Pi

aij

'ay

i=1,2,…,n.则

aij

a2j

anj

为aij

艺aij

艺a2j

为anj

lj」丿

1j=丿

所以

'Pi

PiP25二1

两边同时对j求和，不等式的左边为

/kw

（kz

Zaij

Za2j

***

为anj

'•j-j

-〔aijP1a2j卩2■■-anj卩“

<1.

、Pi

、P2

广k、

Zaifa眷

■■胡<

Za-

乞a2j

***

Janj

）

^j~J

证法二：

先构造一个随机变量X，其分布为离散型分布

P（X=Xj）=Pixi0，iT,2,n.

取f（x）=ln（x），由f”（x）二-'2<0知它在（0,：

：

）上是连续的凹函数，又X数学期望为

E（X）=Xi口X2P2*nPn・

而In（x）的数学期望为

E（lnx）二pi1nxiP21nx2-「「PnlnXn=In（XiPix22x^）.

又f（E（X））_E（f（x））.

得

In（X1P1X2P2*nPn）—In（XiPixyxj）.

即

XiPiX2P2XnPn-X?

"xjn.

a2j

X2—

'a2j

anj

Xn二丁

anj

将其代入得

aij

r、

f、

a1j

a2j

-k

""k

送a1j

送a2j

"丿

'\.j-j

'aij

、P

anj

为anj

^j~J

fkw

为a1j

乞a2j

***

送anj

"丿

j丿

"丿

P.P2P

aij1a2；--anj

两边同时让j从1加到k，左边的和为1，则

fk、P2

…anPn<

为a1j

为a2j

为anj

（m兰n）

"丿

j丿

W丿

aai；a；2

命题6.（平均不等式）设pi0,ai0（i=1,2,n）则有

PlP2h』PnP1P2Pn「P1P?

去…’PnK

\a1a2，‘’anS

口+P2+…+Pn

证法

令f（x）一In（x）（x.0），则f（x）

冷0，则f（x）为连续的凸函数，由

詹森不等式f（7■“）乞7打f（Xj），

-Init冷Xj

送人InXj1=ZIn处.

\\z1丿id：

P1P^Pn

Xi=ai，i=1,2,,n.

a1Pi卫2亠r

…anP1P2亠"Pn

所以

a+a2

P-PnP1P2Tn

+'''+Pnan

P1P2

=PQP2a2

P1+P2+

^a„

1P1a?

■■anPn乞

PGP?

a2Pnan

P1P^Pn

证法二：

首先我们注意到不等式的右端

PiaiP2a2Pnanp1p2pn

~~~ai+a2*…+an.

PlP2亠亠Pn5P2亠亠PnP!

P2亠亠PnPlP^Pn

而B1，很像是在求数学期望，所以我们构造一个离散随机变量X,

i4P1'P^…Pn

其分布列为P（X=a」=Pi，则其数学期望为

Pl+P2+…+Pn

PlaiP2&2Pnan

E（X）

Pi+P2+■•+Pn

再构造一个函数f（x）=—In（x），f（x）20（x0）知它在（0,：

：

）上是凸函数，所以

-In（E（X））空E（—Inx）.

而

E（-lnx）二

P25

Ina1

PlP^Pn

Inan

PiP^Pn

_PiP2

Ina

PiP25

Inan

PiP2raiPia『…a（n

PiaiP?

a2Pnan

PiP^Pn

故得证.

命题7.（Hadamar不等式）已知f（x）是〔a,b上的二阶可导函数，且f（x）为凸函数,

则f（^H丄

2b—a

.f（x）dx<

f（a）f（b）

证法一：

先证明前半部分，因为f（x）为a,b］上的凸函数，所以对任意的

Xi,X2•[a,b]，任意的'[0,1]，有

f（xi（1一）x2）乞f（xi）（1一）f（x2）.

当，=i时，有

f（^l）弓f（Xi）f（x2）l.

所以r[a,b],有

a亠ba亠b—t亠t1

f（-—）「（-—）=【f（ab-t）f（t）].222

又因为f在-,b1上连续，对上述式子关于t求积分，即

1bb

（b-a）f（乎）[f（ab-t）dtf（t）dt].

2La“a

令x=ab-t,有

1bbb

-[f（ab—t）dt亠if（t）dt]=f（x）dt.

2-a-a-a

所以

ab、..1b,

f兰——-f（x）dx.

2b-aa

再证后部分：

任意的x・[a,b],则令x二tb•（1-t）a,t・0,1.

b11

f（x）dx二f（tb（1—t）a）（b—a）dt乞[tf（b）（1—t）f（a）]（b—a）dt

a0'0

=（b-a）[；f（a）；f（b）]

所以

丄bf（xg^L3

b-aa2

结论得证.

方法二：

由中间的式子ff（x）dx观察发现，此式子很像是在求均匀分布函数为

b_aa

f（x）的数学期望，所以我们可以先构造一个连续的随机变量X为a,b1上的均匀分布,

其密度函数为

丄

p（x,y）二b-a

x[a,b]

0,x[a,b]

b1ab

EWxpgdxjb二〒

eWE"-—

1bf（x）dx=—^afgdX.

又因为f（x）在闭区间a,b上是连续的凸函数，而f（E（X））乞E（f（x）），所以

b-a

af（x）dx.

下证后半部分：

若用概率方法还得使用f（E（X））乞E（f（x））（f（x）为凸函数时）,

、b

而我们观察[f（x）dx,如果能构造一个函数分布使其数学期望E（X）=x就行了所以我们

想到构造一个离散的随机变量X，

当X为a时，p（x）二—；

当X为b时，p（x）=1—

b—a

所以

b_xb_x——

E（X）=a—b（1-一）=x.=f（E（X）Hf（x）.

b—ab—a

而

E（f（x））=f（a）屮f（b）（1-戶）—〔f（a）（b-x）f（b）（x-a）L

b—ab—ab—a

又因为f（x）在闭区间a,b1上是连续的凸函数，所以f（E（X））乞E（f（x））.得且

f（x）f（a）（b-x）f（b）（x-a）1.

b—a

不等式两边从a到b求积分，即得

f（x）dx匚f（a）（b-x）f（b）（x-a）dx=

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