广州市二模文科数学试题及答案解析.docx
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广州市二模文科数学试题及答案解析
试卷类型：
B
2013年广州市普通高中毕业班综合测试
（二）
数学（文科）
2013.4
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
2．如果函数的定义域为，则实数的值为
A．B．C．D．
3．对于任意向量、、，下列命题中正确的是
A．B．C．D．
4．若直线与圆相交于、两点，则的值为
A．B．C．D．与有关的数值
5．若（是虚数单位）是关于的方程（）的一个解，则
A．B．C．D．
6．执行如图1所示的程序框图，输出的值为
A．225B．196C．169D．144
（注：
框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“﹕”）
7．若函数的一个对称中心是，则的最小值为
A．2B．3C．6D．9
8．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于
圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两
部分，则截面的面积为
A．B．
C．D．
9．已知，，且，那么的取值范围是
A．B．C．D．
10．某校高三
（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A、B、C三个模块中进行选择，且至少需要
选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：
模块
模块选择的学生人数
模块
模块选择的学生人数
A
28
A与B
11
B
26
A与C
12
C
26
B与C
13
则三个模块都选择的学生人数是
A．7B．6C．5D．4
二、填空题：
本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域（图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点，则点落在区域内的概率为．
12．已知为锐角，且，则．
13．数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列
为：
1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则；．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
在△中，是边的中点，点在线段上，且满足，延长交于点，
则的值为．
15．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，已知点，点是曲线上任一点，设点到直线
的距离为，则的最小值为．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三
（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
视力数据
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
人数
2
2
2
1
1
（1）用上述样本数据估计高三
（1）班学生视力的平均值；
（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为、、、、．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于的概率．
17．（本小题满分12分）
某单位有、、三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为，，．假定、、、四点在同一平面上．
（1）求的大小；
（2）求点到直线的距离．
18．（本小题满分14分）
如图4，在三棱锥中，．
（1）求证：
平面平面；
（2）若，，当三棱锥的体积最大时，
求的长．
19．（本小题满分14分）
在等差数列中，，，记数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数、，且，使得、、成等比数列？
若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）若在定义域上为增函数，求实数的取值范围；
（2）求函数在区间上的最小值．
21．（本小题满分14分）
经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为．点、在轨迹上，且关于轴对称，过线段（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹在点处的切线平行，设直线与轨迹交于点、．
（1）求轨迹的方程；
（2）证明：
；
（3）若点到直线的距离等于，且△的面积为20，求直线的方程．
2013年广州市普通高中毕业班综合测试
（二）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：
1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：
本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
A
C
B
B
C
A
B
二、填空题：
本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．
11．12．13．；14．15．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分）
解：
（1）高三文科
（1）班抽取的8名学生视力的平均值为
．
据此估计高三文科
（1）班学生视力的平均值约为．………………………………………………3分
（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为、、、、、，
所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有，，，，
，，，，，，，，
，，，共15种情形．…………………………………………………7分
其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于的有，，，
，，，，，，，共10种．
……………………10分
所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于的概率为．………………12分
17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）
解：
（1）在△中，因为，，，
由余弦定理得………………………………………………………2分
．……………………………………………………3分
因为为△的内角，所以．……………………………………………………4分
（2）方法1：
因为发射点到、、三个工作点的距离相等，
所以点为△外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分
设外接圆的半径为，
在△中，由正弦定理得，……………………………………………………………7分
因为，由
（1）知，所以．
所以，即．…………………8分
过点作边的垂线，垂足为，…………………………9分
在△中，，，
所以………………………………………………………11分
．
所以点到直线的距离为．……………………………………………………………12分
方法2：
因为发射点到、、三个工作点的距离相等，
所以点为△外接圆的圆心．……………………5分
连结，，
过点作边的垂线，垂足为，…………………6分
由
（1）知，
所以．
所以．…………………………………………………………………………………………9分
在△中，，
所以．…………………………………………………………11分
所以点到直线的距离为．……………………………………………………………12分
18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）
（1）证明：
因为，所以，．………………………………1分
因为，所以平面．…………………………………………………………2分
因为平面，所以．………………………………………………………………3分
因为，所以．……………………………………………………………………4分
因为，所以平面．…………………………………………………………5分
因为平面，所以平面平面．………………………………………………6分
（2）方法1：
由已知及
（1）所证可知，平面，，
所以是三棱锥的高．……………………………7分
因为，，设，……………8分
所以．…………9分
因为
………………………………………………………………………………10分
…………………………………………………………………………11分
．…………………………………………………………………………………………12分
当且仅当，即时等号成立．………………………………………………………13分
所以当三棱锥的体积最大时，．…………………………………………………14分
方法2：
由已知及
（1）所证可知，平面，
所以是三棱锥的高．………………………………………………………………………7分
因为，设，……………………………………………………8分
则，．……………………………………………9分
所以．………………………………………10分
所以
．………………………………………………………………………………11分
因为，
所以当，有最大值．…………………………………………………………………12分
此时．………………………………………………………………………………13分
所以当三棱锥的体积最大时，．…………………………………………………14分
19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）
解：
（1）设等差数列的公差为，
因为即………………………………………………………………………2分
解得…………………………
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