小学奥数2.docx

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小学奥数2

第七讲份数法

把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。

（一）以份数法解和倍应用题

已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。

例1.妈妈给了李平10.80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。

李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒，剩下0.60元。

求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？

（二）以份数法解差倍应用题

已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做差倍应用题。

例1三湾村原有的水田比旱田多230亩，今年把35亩旱田改为水田，这样今年水田的亩数正好是旱田的3倍。

该村原有旱田多少亩？

例2和平小学师生步行去春游。

队伍走出10.5千米后，王东骑自行车去追赶，经过1.5小时追上。

已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的2.4倍。

王东和师生每小时各行多少千米？

（三）以份数法解变倍应用题

已知两个数量原来的倍数关系和两个数量变化后的倍数关系，求这两个数量的应用题叫做变倍应用题。

变倍应用题是小学数学应用题中的难点。

解答这类题的关键是要找出倍数的变化及相应数量的变化，从而计算出“1”份（倍）数是多少。

例1大、小两辆卡车同时载货从甲站出发，大卡车载货的重量是小卡车的3倍。

两车行至乙站时，大卡车增加了1400千克货物，小卡车增加了1300千克货物，这时，大卡车的载货量变成小卡车的2倍。

求两车出发时各载货物多少千克？

例2甲、乙两个班组织体育活动，选出15名女生参加跳绳比赛，男生人数是剩下女生人数的2倍；又选出45名男生参加长跑比赛，最后剩下的女生人数是剩下男生人数的5倍。

这两个班原有女生多少人？

（四）以份数法解按比例分配的应用题

把一个数量按一定的比例分成几个部分数量的应用题，叫做按比例分配的应用题。

例1一个工程队分为甲、乙、丙三个组，三个组的人数分别是24人、21人、18人。

现在要挖2331米长的水渠，若按人数的比例把任务分配给三个组，每一组应挖多少米？

例2生产同一种零件，甲要8分钟，乙要6分钟。

甲乙两人在相同的时间内共同生产539个零件。

每人各生产多少个零件？

（五）以份数法解正比例应用题

成正比例的量有这样的性质：

如果两种量成正比例，那么一种量的任意两个数值的比等于另一种量的两个对应的数值的比。

含有成正比例关系的量，并根据正比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做正比例应用题。

这里是指以份数法解正比例应用题。

例1某化肥厂4天生产化肥32吨。

照这样计算，生产256吨化肥要用多少天？

例2每400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克？

（六）以份数法解反比例应用题

成反比例的量有这样的性质：

如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数值的比，等于另一种量的两个对应数值的比的反比。

含有成反比例关系的量，并根据反比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做反比例应用题。

这里是指以份数法解反比例应用题。

例1有一批水果，每箱装36千克，可装40箱。

如果每箱多装4千克，需要装多少箱？

（七）以份数法解分数应用题

分数应用题就是指分数的三类应用题，即求一个数的几分之几是多少；求一个数是另一个数的几分之几；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

例1长征毛巾厂男职工人数比女职工人数少1/3，求女职工人数比男职工人数多百分之几？

（八）以份数法解工程问题

工程问题就是研究工作量、工作时间及工作效率之间相互关系的问题，这种问题的工作量常用整体“1”表示。

例1一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出，经12小时相遇。

相遇后，快车又行8小时到达乙站。

相遇后慢车还要行几小时才能到达甲站？

（九）以份数法解几何题

*例1一个正方形被分成了大小、形状完全一样的三个长方形（如图11-3）。

每个小长方形的周长都是16厘米。

这个正方形的周长是多少？

*例2长方形长宽的比是7∶3。

如果把长减少12厘米，把宽增加16厘米，那么这个长方形就变成了一个正方形。

求原来这个长方形的面积。

第八讲消元法

在数学中，“元”就是方程中的未知数。

“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法。

当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做不到的。

这时要先消去一些未知数，使未知数减少到一个，才便于找到解题的途径。

这种通过消去未知数的个数，使题中的数量关系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将所求结果代入原题，逐步求出其他未知数的解题方法叫做消元法。

（一）以同类数量相减的方法消元

例买1张办公桌和2把椅子共用336元；买1张办公桌和5把椅子共用540元。

求买1张办公桌和1把椅子各用多少钱？

（二）以和、积、商、差代换某数的方法消元

解题时，可用题中某两个数的和，或某两个数的积、商、差代换题中的某个数，以达到消元的目的。

1.以两个数的和代换某数

例1甲、乙两个书架上共有584本书，甲书架上的书比乙书架上的书少88本。

两个书架上各有多少本书？

2.以两个数的积代换某数

例2双皮鞋和7双布鞋共值242元，一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同。

求每双皮鞋、布鞋各值多少钱？

3.以两个数的商代换某数

例3支钢笔和12支圆珠笔共值48元，一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多。

每支钢笔、圆珠笔各值多少钱？

4.以两个数的差代换某数

例4甲、乙、丙三个人共有235元钱，甲比乙多80元，比丙多90元。

三个人各有多少钱？

（三）以较小数代换较大数的方法消元

在用较小数量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的数量加上，做到等量代换。

*例18名男学生和14名女学生共采集松树籽78千克，每一名男学生比每一名女学生少采集1千克。

每一名男、女学生各采集松树籽多少千克？

（四）以较大数代换较小数的方法消元

在用较大数量代换较小数量时，要把较大数量比较小数量多的数量减去，做到等量代换。

*例胜利小学买来9个同样的篮球和5个同样的足球，共付款432元。

已知每个足球比每个篮球贵8元，篮球、足球的单价各是多少元？

五）通过把某一组数乘以一个数消元

当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时，应通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量，然后再消元。

*例2匹马、3只羊每天共吃草38千克；8匹马、9只羊每天共吃草134千克。

求一匹马和一只羊每天各吃草多少千克？

（六）通过把两组数乘以两个不同的数消元

当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类的数量，并且不能通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，而达到消元的目的时，应当通过把两组数量分别乘以两个不同的数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，然后再消元。

*例1买3块橡皮和6支铅笔用1.68元钱，买4块橡皮和7支铅笔用2元钱。

求一块橡皮和一支铅笔的价格各是多少钱？

*例2有大杯和小杯若干个，它们的容量相同。

现在往5个大杯和3个小杯里面放满砂糖，共420克；又往3个大杯和5个小杯里面放满砂糖，共380克。

求一个大杯和一个小杯分别可以放入砂糖多少克？

第九讲比较法

通过对应用题条件之间的比较，或难解题与易解题的比较，找出它们的联系与区别，研究产生联系与区别的原因，从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。

在用比较法解应用题时，有些条件可直接比较，有些条件不能直接比较。

在条件不能直接比较时，可借助画图、列表等方法比较，也可适当变换题目的陈述方式及数量的大小，创造条件比较。

（一）在同一道题内比较

在同一道题内比较，就是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较，不涉及其他题目。

1.直接比较

例1四季茶庄购进两批茶叶，第一批有35箱绿茶和15箱红茶，共重2925千克。

第二批有35箱绿茶和28箱红茶，共重3640千克。

两种茶叶每箱各重多少千克？

2.列表比较

有些应用题适于借助列表的方法比较条件。

在用列表的方法比较条件时，要把题中的条件摘录下来，尽量按“同事横对，同名竖对”的格式排列成表。

这就是说，要尽量使同一件事情的数量横着对齐，使单位名称相同的数量竖着对齐。

例赵明准备买2千克苹果和3千克梨，共带6.8元钱。

到水果店后，他买了3千克苹果和2千克梨，结果缺了0.4元钱。

求每千克苹果、梨各多少元钱？

（二）创造条件比较

对那些不能以题中现有条件与相关条件进行比较的应用题，应适当变换条件，创造可以比较的条件，再进行比较。

*例1学校食堂第一次买来2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次买来5袋大米和4袋面粉，共600千克。

求1袋大米和1袋面粉各重多少千克？

*例21支铅笔、2块橡皮、3把卷笔刀共值2.35元；2支铅笔、3块橡皮、4把卷笔刀共值3.30元；3支铅笔、3块橡皮、5把卷笔刀共值4.05元。

求1支铅笔、1块橡皮、1把卷笔刀各值多少钱？

*例3甲、乙两人共需做140个零件，甲做了自己任务的80％，乙做了自己任务的75％，这时甲、乙共剩下32个零件未完成。

求甲、乙两人各需做多少个零件？

第十讲演示法

对于那些不容易理解和分析数量关系的应用题，利用身边现成的东西，如铅笔、橡皮、小刀、文具盒等，进行演示，使应用题的内容形象化，数量关系具体化，这种解题的方法叫做演示法。

*例1有一列火车，长120米，以每小时18千米的速度通过一座长150米的隧道。

求从火车头进隧道到火车尾部离开隧道共需要多长时间？

*例2一个5分米高的圆柱体，它的侧面积是62.8平方分米，求圆柱体的体积。

*例3从三点钟到四点钟之间，钟面上时针和分针什么时刻会重合？

什么时刻成一直线？

（选做）

*例4一列快车全长151米，每秒钟行15米，一列慢车全长254米，每秒钟行12米。

两车相对而行，从相遇到离开要用几秒钟？

第十一讲列表法

把应用题中的条件简要地摘录下来，列表分类整理、排列，并借助这个表格分析、解答应用题的方法叫做列表法。

在用列表法解题时，要仔细判断题中哪些数量是同一件事中直接相关联的，哪些数量是同一类的。

排列数量时，要尽量做到“同事横对”，“同名竖对”。

这就是说，要使同一件事中直接相关联的数量横向排列，使同一类的、单位名称相同的数量竖着排列，还要使它们的数位上、下对齐。

这样就可以在读题、列表的过程中正确识别数量，选择数量，理解数量之间的联系、区别，理清思路，为下一步的分析、推理作好准备。

（一）通过列表突出题目的解法特点

有些应用题的解法具有一定的特点，如果把题中的条件按一定的格式排列，整理成表，则表格会起到突出题目解法特点的作用。

例1要把卖5角钱500克的红辣椒和卖3角5分钱500克的青辣椒混合起来，卖4角1分钱500克，应按怎样的比例混合，卖主和顾客才都不吃亏？

例2甲种酒每500克卖1元4角4分，乙种酒每500克卖1元2角，丙种酒每500克卖9角6分。

现在要把三种酒混合成每500克卖1元1角4分的酒，其中乙种酒与丙种酒的比是3∶2。

求混合酒中三种酒的重量比。

（二）通过列表暴露题目的中间问题

解答复合应用题的关键，是找出解答最后问题所需要的中间问题（隐藏量），应用题的步骤越多，需要找出的中间问题就越多，解答的过程就越复杂。

在用列表法解应用题时，由于题中数量是按“同事横对，同名竖对”的规律排列在表中，所以便于思考求最后的问题需要哪些数量，这些数量中哪些是已知的、哪些是未知的中间问题。

同时也便于思考怎样求出中间问题，并在必要时把求中间问题的算式写在表中。

这样，中间问题便暴露于表格中，和已知数处于平等的地位，从而排除了思维道路上的障碍，减轻了解题的难度。

*例1张老师买了2千克苹果，3千克梨，共用5元钱。

王老师买的苹果是张老师的2倍，买的梨是张老师的3倍，比张老师多用6.8元。

问每一千克苹果、每一千克梨的价钱各是多少元？

*例2有甲、乙、丙三桶油，先取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中；再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙两桶中；最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙两桶中。

这时3桶油正好都是16千克。

问原来每桶中各有油多少千克？

（选做）

第十二讲倍比法

解应用题时，先求出题中两个对应的同类数量的倍数，再通过“倍数”去求未知数，这种解题的方法称为倍比法。

（一）用倍比法解归一问题

可以用倍比法解答的应用题一般都可以用归一法来解（除不尽时，可以用分数、小数来表示），但用倍比法解答要比用归一法简便。

实际上，倍比法是归一法的特殊形式。

为计算方便，在整数范围内，如果用归一法除不尽时，可以考虑用倍比法来解。

反之，运用倍比法除不尽时，也可以考虑改用归一法来解。

要根据题目中的具体条件，选择最佳解法。

例1某粮食加工厂，3台磨粉机6小时磨小麦1620千克。

照这样计算，5台磨粉机8小时可以磨小麦多少千克？

例2甲、乙两辆车分别从东、西两城同时相对开出，4小时后相遇，相遇后甲车再经过2小时到达西城。

求乙车再经过几小时可以到达东城？

（二）用倍比法解工程问题

用倍比法解工程问题，不用设总工作量为“1”，学生较易理解，尤其是解某些较复杂的工程问题，用倍比法解比较简捷。

例1一项工程，由甲工程队修建，需要20天完成；由乙工程队修建，需要30天完成。

两队合修需要多少天完成？

例2一件工作单独由一个人完成，甲要用8小时，乙要用12小时。

若甲先单独做5小时，剩下的由乙单独做完，则乙需要做多少小时？

例3某工程由甲、乙两队合做12天完成，现在两队合做4天后，余下的再由甲队单独做10天可以完成。

问甲队单独完成这项工程需要多少天？

例4一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。

现在先由乙队做若干天后，甲再参加，4天就做完了。

那么乙先单独做了多少天？

*例5甲、乙两人同做一件工作，甲做4天的工作量，等于乙做3天的工作量，若由甲单独做这项工作需要12天完成。

现在甲、乙两人合做4天后，剩下的工作由乙单独做需要几天完成？

第十三讲逆推法

小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。

有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。

由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。

解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果出发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。

这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。

用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。

（一）从结果出发逐步逆推

*例1粮库存有一批大米，第一天运走450千克，第二天运进720千克，第三天又运走610千克，粮库现有大米1500千克。

问粮库原来有大米多少千克？

*例2解放军某部进行军事训练，计划行军498千米，头4天每天行30千米，以后每天多行12千米。

求还要行几天？

*例3仓库里原有化肥若干吨。

第一次取出全部化肥的一半多30吨，第二次取出余下的一半少100吨，第三次取出150吨，最后剩下70吨。

这批化肥原来是多少吨？

（二）借助线段图逆推

*例有一堆煤，第一次运走一半多10吨，第二次运走余下的一半少3吨，还剩下25吨。

问这堆煤原来是多少吨

三）借助思路图逆推

例1某工程队原计划12天修公路2880米，由于改进了工作方法，8天就完成了任务。

问实际比原计划每天多修多少米？

例2某机床厂去年每月生产机床5台，每月用去钢材4000千克；今年每月生产的机床台数是去年的4倍，平均每台机床比去年少用钢材200千克。

今年每月用的钢材是去年每月所用钢材的几倍？

（四）借助公式逆推

例1一个三角形的面积是780平方厘米，底是52厘米。

问高是多少？

例2一个圆锥体的体积是84.78立方厘米，底面的直径是6厘米。

求它的高是多少。

（五）借助假设法逆推

例供销社分配给甲、乙、丙三个乡若干吨化肥。

甲乡分得总数的一半少2吨，乙乡分得剩下的一半又多半吨，最后剩下的8吨分给丙乡。

问原来共有化肥多少吨？

第十四讲图解法

图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。

在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。

图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。

有时，作出了图形，答案便在图形中。

（一）示意图

示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。

小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。

例把2米长的竹竿直立在地面上，量得它的影长是1.8米，同时量得电线杆的影长是5.4米。

这根电线杆地面以上部分高多少米？

（二）线段图

线段图是以线段的长短表示数量的大小，以线段间的关系反映数量间关系的一种图形。

在小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。

例托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年82岁。

他在19世纪中度过的时间比在20世纪中

（三）正方形图

借助正方形图解应用题，就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量，使应用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来，从而达到便于解题的目的。

度过的时间多62年。

问托尔斯泰生于哪一年？

去世于哪一年？

例有大小两个正方形，其中大正方形的边长比小正方形的边长多4厘米，面积比小正方形的面积大96平方厘米。

求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？

（四）长方形图

借助长方形图解应用题，是以长方形的长表示一种数量，以长方形的宽表示另一种数量，以长方形的面积表示这两种数量的积。

它能把抽象的数量关系转化为具体形象的面积来计算问题。

*例1甲、乙两名工人做机器零件，每天甲比乙多做10个。

现在甲工作15天，乙工作12天，共做出1500个零件。

问甲、乙两人每天各做多少个零件？

*例2某商店卖出苹果、鸭梨和桔子共25筐，其中鸭梨的筐数是桔子筐数的2倍。

苹果每筐卖90元，鸭梨每筐卖72元，桔子每筐卖60元，共卖得1854元。

问卖出苹果、鸭梨和桔子各多少筐？

（五）条形图

条形图是把长方形的长画得比较长，把长方形的宽画得比较短的一种图形。

条形图一般以长方形的长表示数量。

条形图可以画成竖的，也可以画成横的。

题中不同的数量可用不同的阴影线或不同的颜色表示。

题中的数量可写在长方形内，也可写在长方形外面。

条形图比线段图更直观一些，在用来解某些应用题时效果要比线段图好。

*例一组割草人要把大、小两块草地的草割掉，其中大块草地的面积是小块草地面积的2倍。

全体组员用半天的时间割大块草地的草。

下午一半的组员仍停留在大块草地上割，另一半到小块草地上割。

到傍晚时，大块草地的草全部割完，而小块草地还剩下一小块。

这剩下的一小块，第二天一个人用一天的时间就割完了。

这组割草的一共有多少人？

（七）圆形图

借助圆形图解应用题，是以圆的面积或周长表示题中的数量，并在圆周内、外标上数字、符号，从而达到便于分析数量关系的目的。

例1甲、乙两个学生同时从同一起点沿着一个环形跑道相背而跑。

甲每秒钟跑8米，乙每秒钟跑7米，经过20秒钟两人相遇。

求环形跑道的周长。

例2甲、乙两人同时从环形路的同一点出发，同向环行。

甲每分钟走70米，乙每分钟走46米。

环形路的长是300米。

他们出发后，在1小时20分里相会几次？

到1小时20分时两人的最近距离是多少米？

（八）染色图

在图中用不同的颜色表示不同的内容或不同的数量，以利于解题的图形叫染色图。

染色图是解决数学题和智力题常用的一种图形。

*例1图18-18是某湖泊的平面图，图中的所有曲线都表示湖岸。

某人从岸边A点到B点至少要趟几次水？

B点是在水中还是在岸上？

（选做）

*例2如图18-20，某展览馆有36个展室，每两个相邻展室之间均有门相通。

问你能否从图中入口进去，不重复地参观完每个展室后，再从出口处出来？

（选做）

*例3将图18-22矩形ABCD的一边AD分成6小段，其中线段1+线段3+线段5=线段2+线段4+线段6。

连结对角线BD，用红（图中用横线表示）、蓝（图中用坚线表示）两色将图形分别染色。

问图中染红色部分面积与染蓝色部分面积哪个大？

（选做）

*例4图18-24的图形是从4×4的正方形纸上剪去两个1×1的小方纸片后得到的。

它们的面积都是14。

若把它们剪成1×2的小矩形，最多能剪几个？

为什么？

（选做）

第十五讲集合法

我们在研究一些问题时，可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。

例如，所有自然数就可以看作是一个集合。

在小学一般用画图的方式表示集合，这种图叫作韦恩图（韦恩是英国数学家）。

运用集合的思想，利用韦恩图进行解题的方法叫做集合法。

*例1学校气象小组有50名成员，其中负责观测的有19人，负责记录的有15人，既负责观测又负责记录的有7人。

问：

（1）只负责记录，不负责观测的有多少人？

（2）只负责观测，不负责记录的有多少人？

（3）气象小组有多少人负责其他工作？

（选做）

*例2某班有45名学生。

据统计，喜爱足球、篮球、排球这三项运动的各有26人，喜爱其中两项运动的分别有13、14、15人。

三项运动都喜爱的有多少人？

（选做）

*例355名学生中，有18人参加合唱队，25人参加美术组，17人参加运动队，参加合唱队与美术组的共有36人，没有人既参加合唱队又参加运动队，什么组都没有参加的有5人，请回答：

（选做）

（1）既参加合唱队又参加美术组的有多少人？

（2）只参加合唱队的有多少人？

（3）只参加美术组的有多少人？

（4）只参加运动队的有多少人？

（5）既参加运动队又参加美术组的有多少人？