圆的知识分部分及例题.docx

圆的知识分部分及例题.docx

《圆的知识分部分及例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆的知识分部分及例题.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

圆的知识分部分及例题

（一）圆的有关性质

 1.圆的有关概念：

   圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；

   弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；

   圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

 2.圆的对称性

   圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

   圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

   圆具有旋转不变性。

 3.圆的确定

   不在同一条直线上的三点确定一个圆。

 4.垂直于弦的直径

   垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

   推论1 

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

   （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

   垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的一两个，就可推出另外三个：

①过圆心；

②垂直于弦；

③平分弦（不是直径）；

④平分弦所对的优弧；

⑤平分弦所对的劣弧。

   推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。

 5.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

   定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

   推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

   此定理和推论可以理解成：

在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：

①两个圆心角相等；

②两个圆心角所对的弧相等；

③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；

④两条弦的弦心距相等。

   圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

6.圆周角

   定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

   推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；

   推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

   推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

   圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

7.圆内接四边形的性质

   圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

※8.轨迹

 轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。

（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；

（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；

（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。

 例1.已知：

如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。

图1

②AB＝

，ON＝1，求MN的长；

   ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。

 例2.已知：

如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求

的度数。

图2

例3.已知：

如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。

 例4.已知：

如图4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CD延长线上一点，AF交⊙O于E。

求证：

AE·EF＝EC·ED

图4

例5.已知：

如图5，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。

图5

（1）如果CD⊥AB，求证：

EN＝NM；

（2）如果弦CD交AB于点F，且CD＝AB，求证CE2＝EF·ED；

（3）如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CD＝AB，那么

（2）的结论是否仍成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（二）直线与圆的关系

 1.直线与圆的位置关系

直线和圆的位置

相离

相切

相交

公共点的个数

0

1

2

公共点名称

无

切点

交点

直线名称

无

切线

割线

圆心到直线的距离d与半径r的关系

 2.切线的判定

   经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

 3.切线的性质

（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；

（2）推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

   （3）推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

   此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：

①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心。

 4.切线长定理

 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

 5.弦切角定理

（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；

（2）推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；

 （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

 6.和圆有关的比例线段

（1）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；

（2）推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；

 （3）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

 （4）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

 7.三角形的内切圆

（1）有关概念：

三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；

（2）作图：

作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。

 例6.已知：

如图6，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CG切⊙O于D，

DE⊥AB于E。

图6

  求证：

∠CDB＝∠EDB。

例7.已知：

如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D点，若PA：

PC＝1：

2，DB＝4，求tan∠PCA及PC的长。

图7

 例8.已知：

如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。

图8

求证：

（1）AC是⊙D的切线；

（2）AB＋EB＝AC

例9.已知：

如图9，AB为⊙O的弦，P为BA延长线上一点，PE与⊙O相切于点E，C为

中点，连CE交AB于点F。

图9

  求证：

 例10.

（1）如图10，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD

图10图10－1

  求证：

①∠BAD＝∠CAG；

   ②AC·AD＝AE·AF

（2）在问题

（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其它条件不变。

2你在图10－1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；

②问题

（1）中的两个结论是否成立？

如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。

例11.如图11，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E。

图11

（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？

（要求，不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）。

（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？

并画出图形。

（三）圆和圆的位置关系

 1.基本概念

（1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义。

（2）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义。

   （3）两圆的连心线、圆心距、公共弦。

 2.圆和圆的位置关系

两圆的位置

圆心距d与两圆的

半径R、r的关系

外公切线条数

内公切线条数

公切线条数

外离

2

2

4

外切

2

1

3

相交

2

0

2

内切

1

0

1

内含

0

0

0

 3.相交两圆的性质：

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

 4.相切两圆的性质：

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。

例12.已知两圆外切时，圆心距为10cm，两圆内切时，圆心距为4cm，求两圆半径的长。

例13.已知：

如图12，两圆相交于A、B，过点A的直线交两圆于C、D，过点B的直线交两圆于E、F。

图12

 求证：

CE∥FD。

（四）正多边形和圆

1.基本概念

正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角以及平面镶嵌等。

2.正多边形的判定与性质

（1）把圆分成

等份：

依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

3.正多边形的有关计算

 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

 如图16所示，设正n边形的中心角为

，半径为R，边长为

，边心距为rn，周长为Pn，面积为Sn，则由有关图形的性质可以推得：

图16

（1）

（2）

；

   （3）

；   （4）

；

   （5）

；   （6）

；

4.与圆有关的计算

（1）圆的周长

；   

（2）弧长

；

   （3）圆的面积

；   （4）扇形面积

；

   （5）弓形面积

（如图16）

5.与圆有关的作图

（1）过不在同一条直线上的三点作圆；

（2）作三角形的内切圆；

 （3）等分圆周（三、六、十二、四、八、五等分），作正三角形、正四边形、正六边形。

6.圆柱和圆锥的侧面展开图

（1）圆柱的侧面积：

（r：

底面半径，h：

圆柱高）

（2）圆锥的侧面积：

（L＝2πR，R是圆锥母线长，r是底面半径）。

（n为侧面展开图扇形的圆心角的度数，R为母线长）。

 例14.已知：

如图17，在两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB的长为12cm，求两个圆所围成的环形面积。

图17

  例15.在正五边形ABCDE中，AC、BE相交于F，若AB＝a，求BF的长。

图18

 例19.已知：

如图19，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作

圆弧交AD于F，交BA的延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积。

图19

例16.已知，如图20，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m。

现准备打掉部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要打掉墙体的面积是多少？

（精确到0.1m2）

图20

 例17.已知：

如图21，在一个长18cm，宽12cm的矩形ABCD内，有一个扇形，扇形的圆心O在AB上，以OB为半径作弧与CD相切于E，与AD相交于F，若将扇形剪下，围成一个圆锥，求圆锥底面积（接缝不计）。

图21